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第十五章 轴对称
第十五章 轴对称 基础诊断卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.电影《哪吒之魔童闹海》票房一飞冲天，你发现藏在画面里的精彩纹样了吗？这些纹样不仅
让画面更加丰盈，更是浓厚的中国传统文化的体现.以下四个从纹样中变形出来的图形不属于
轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
解析：选项 A 的图案不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能
够完全重合，所以不是轴对称图形；选项 B、C、D 的图案能找到这样的一条直线，使图形沿
这条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形.故选 A.
2.某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了 4 棵桂花树.分别以两条
小路为 轴、 轴建立如图所示的平面直角坐标系.若 ， 两处桂花树的位置关于 轴对称，点
的坐标为( 3,3)，则点 的坐标为( )
A.(3,3) B.(3, 3) C.( 3,3) D.( 3, 3)
解析：∵ ， 两处桂花树的位置关于 轴对称，点 的坐标为( 3,3)，
∴ 点 的坐标为( 3, 3) .故选 D.
3.如图，在△ 中， = ， ⊥ ，且 = 4，则 的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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第十五章 轴对称
解析：∵ = ， ⊥ ，∴ 是△ 的边 的中线，
∴ = = 1 = 2 ，故选 B.
2
等腰三角形“三线合一”
在等腰三角形中，运用“三线合一”时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”.
根据等腰三角形“三线合一”的性质可以得到等线段、等角以及垂直的关系.
4.如图，由 5 个“ ”和 3 个“ ”组成的图形关于某条直线对称，则该直线是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：由题图可知，该图形关于直线 3 对称.故选 C.
5.某平板电脑支架及其示意图如图所示，其示意图中， = ， = .为了使用的舒适
性，可调整∠ 的大小.若∠ 增大16 ，则∠ 的变化情况是( )
A.增大16 B.减小16 C.增大8 D.减小8
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第十五章 轴对称
解析：∵ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 2∠ . ∵ ∠ 增大16 ，
∴ ∠ 增大8 . ∵ ∠ = 180 ∠ ，∴ ∠ 减小8 .故选 D.
6.桌面上有 ， 两个球，若要将 球射向桌面任意一边，使其反弹一次后击中 球，则如图
所示的 4 个点（点 , , , ）中，可以瞄准的点是（注:反弹前后球的路线与桌面边沿的夹角相
等）( )
A. B. C. D.
解析：根据题中所给的信息进行判断可得将 球射向桌面的点 ，可使一次反弹后击中 球，
如图 ，故选 A.
7.如图为某家具设计图，其中△ 和△ 为“大三斜”组件（“大三斜”组件为两个全等的等
腰直角三角形）.已知某人位于点 处，点 与点 关于直线 对称，连接 ， .若∠ = 25
，则∠ 的度数为( )
A.25 B.24 C.21 D.20
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第十五章 轴对称
解析：
角 边
分析 点 与点 关于直线 对称 ∠ = ∠ = 25 =
图形 △ 和△ 为两个全等
∠ = ∠ = 45 =
特征 的等腰直角三角形
∠ = ∠ + ∠ + ∠ +
综合判断 =
∠ = 140
计算角度 ∠ = 1 (180 ∠ ) = 20 2
答案：D.
8.如图，点 为线段 上一点，分别以 ， 为边，在 同侧作等边△ 和等边△ ，
连接 ， 相交于点 ，则∠ 的度数为( )
A.100 B.110 C.120 D.130
解析：设 , 交于点 . ∵ △ 和△ 是等边三角形，∴ = ，
∠ = ∠ = 60 ， = ，∴ ∠ = ∠ = 180 60 = 120 .在
= ,
△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS)，∴ ∠ = ∠ .
= ,
又∵ ∠ = ∠ ,∴ 由三角形内角和定理可得∠ = ∠ = 60 ，
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第十五章 轴对称
∴ ∠ = 180 ∠ = 180 60 = 120 .故选 C.
9.如图，△ 中，∠ = 90 ，∠ = 60 ，动点 在斜边 所在的直线 上运动，连
接 .当点 在直线 上运动时，能使图中出现等腰三角形的点 的位置有( )
A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个
解析：如图，
以 为圆心， 长为半径画弧，交直线 于点 4， 2，以 为圆心， 长为半径画弧，交直
线 于点 1， 3，∴ = 1 = 3 , = 2 = 4. ∵ ∠ = 60 ,∠ = 90 ,
∴ ∠ = 30 ,△ 是等边三角形，∴ ∠ = 60 3 3 = ∠ 3 + ∠ 3,∴ ∠ 3 = 30 =
∠ 3 ,∴ 3 = 3 .
因此出现等腰三角形的点 的位置有 4 个，即 1, 2, 3, 4 .故选 C.
10.如图，线段 ， 的垂直平分线交于点 ，且∠ = ∠ = 72 ，∠ = 92 ，则
∠ 的度数为( )
A.118 B.128 C.158 D.168
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第十五章 轴对称
解析：如图，
连接 . ∵ 线段 ， 的垂直平分线交于点 ，
∴ = ， = ,
∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 72 ， ∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，即∠ = ∠ .在△
= ,
和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) ，
= ,
∴ ∠ = ∠ .设∠ = ∠ = ，则∠ = 72 ，
∠ = 92 ，∴ ∠ = ∠ ∠ = 72 (92 ) = 20 ，
∴ 在△ 中，∠ = 180 (72 ) ( 20 ) = 128 ，故选 B.
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第十五章 轴对称
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.命题“如果 = ，那么 + = + ”的逆命题为____________________________.
解析：将原命题的结论改为条件，条件改为结论，即可得出原命题的逆命题为
如果 + = + ，那么 = .故答案为如果 + = + ，那么 = .
12.如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 60 ， ⊥ ，垂足为 .若 = 2，则
的长为___.
解析：∵ ∠ = 90 ，∠ = 60 ， ⊥ ，
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 30 ，∠ = 180 ∠ ∠ = 30 ，
∴ = 2 = 4，∴ = 2 = 8 .故答案为 8.
13.每两个圆环相交的部分叫作曲边四边形，如图所示，从左至右共有八个曲边四边形，分别
给它们标上序号.观察图形，我们发现标号为 2 的曲边四边形（下简称 2）经过平移能与 6 重合，
2 还与_________成轴对称. （请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上）
解析：根据轴对称图形的定义可知,标号为 2 的曲边四边形与 1，3，7 成轴对称.故
答案为 1，3，7.
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第十五章 轴对称
14.如图，在△ 中， = = 10 cm， 垂直平分 ，垂足为 ，交 于 .若△
的周长为 18 cm，则 的长为___cm .
解析：∵ 垂直平分 ，∴ = . ∵ △ 的周长为 + + = 18 cm，
∴ + + = 18 cm .
∵ = = + = 10 cm，∴ = 18 10 = 8(cm) ，故答案为 8.
15.折纸是一项有趣的活动，蕴含着丰富的数学知识.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两
次折叠.折痕分别为 ， ，点 落在 上.若 // ，且∠ = 1∠ ，则∠1 = ______.
3
解析：由折叠可知，2∠ + ∠ = 180 . ∵ ∠ = 1∠ ，∠ = ∠ + ∠ ，
3
∴ ∠ = 2∠ ，∴ 4∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ = 36 . ∵ // ，
∴ ∠ = 180 ∠ = 144 .由折叠可知，
2∠ + ∠1 = 180 . ∵ ∠ = ∠1 + ∠ ，∴ 2(144 ∠1) + ∠1 = 180 ，
∴ ∠1 = 108 ，故答案为108 .
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第十五章 轴对称
16.如图，在△ 中， = ，点 在 上, = = .
（1）∠ =____ ；
解析：∵ = ，∴ ∠ = ∠ . ∵ = = ，∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ . ∵ ∠ = ∠ + ∠ ，∴ ∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 2∠ . ∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180 ,
∴ 5∠ = 180 ，∴ ∠ = 36 .故答案为 36.
（2）若 = ， = ， ⊥ 于点 ,则 =________.（用含 ， 的式子表示）
解析：在 上截取 = ，如图, 连接 ,则 = ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 2∠ = 72 ,∴ ∠ = 180 72 × 2 = 36 . ∵ ∠ = 180
∠ ∠ = 180 72 72 = 36 ，∴ ∠ = ∠ = 36 ，
∴ = = = . ∵ = ，∴ = = = ，
∴ = 2 = = 2 ，∴ = 1 .故答案为1 .
2 2
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第十五章 轴对称
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）在平面直角坐标系 中，△ 的位置如图所示.
（1）分别写出以下顶点的坐标： （____，___）； （___，___）.
解析：由题图可得， ( 4,3)， (3,0) ，故答案为 4 ，3，3，0.…………（4 分）
（2）顶点 关于 轴对称的点 ' 的坐标为（___，___）.
解析：顶点 关于 轴对称的点 '的坐标为(2,5) ，故答案为 2，5.…………（6 分）
（3）顶点 关于直线 = 1 的对称点的坐标为（____，___）.
解析：顶点 关于直线 = 1 的对称点的坐标为( 5,0).故答案为 5 ，0.…………（8 分）
18.（10 分）如图， 是△ 的角平分线， // ，与 的延长线相交于点 ，点 在
的延长线上，且 = .求证：
（1）△ 是等腰三角形；
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第十五章 轴对称
【证明】∵ 是△ 的角平分线，
∴ ∠ = ∠ .…………（2 分）
∵ // ，∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ = ，
∴ △ 是等腰三角形.…………（5 分）
（2） // .
解：∵ = ，∴ ∠ = ∠ .…………（7 分）
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ // .…………（10 分）
19.（10 分）如图，在△ 中， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ， 为线段
的中点， = .
（1）求证： ⊥ ;
【证明】连接 . ∵ 垂直平分 ，
∴ = .…………（2 分）
∵ = ，∴ = . ∵ 是 的中点，∴ ⊥ .…………（4 分）
（2）若∠ = 75 ，求∠ 的度数.
解：连接 .设∠ = .由题意得， = ，∴ ∠ = ∠ = ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 2 . ∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 2 .…………（6 分）
在△ 中，∠ + ∠ + ∠ = 180 ,∴ 3 + 75 = 180 ，∴ = 35 ，
∴ ∠ = 35 .…………（10 分）
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第十五章 轴对称
20.（12 分）如图，在△ 中， = ， 平分∠ ，交 于点 .
（1）过点 作 ⊥ 直线 于点 .（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
解：如图， 即为所求.…………（5 分）
（2）∠ 与∠ 之间有何数量关系？请说明理由.
解：∠ = 90 3∠ .理由：
∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∠ = 2∠ .…………（8 分）
∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 2∠ . ∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ = 90 ∠ ∠ = 90 ∠ 2∠ = 90 3∠ . …………（12 分）
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第十五章 轴对称
21.（12 分）如图，在△ 中， = ， 是 边上的中线，点 是 边上一动点，点
是 上一动点，连接 , ， .
（1）若∠ = 37 ，求∠ 的度数；
解：∵ = ， 是 边上的中线，∴ ∠ = ∠ ， ⊥ ,
∴ ∠ = 90 .…………（2 分）
∵ ∠ = 37 ，∴ ∠ = 90 ∠ = 53 ，∴ ∠ = 53 .…………（4 分）
（2）若 = 6， = 4， = 5，且 ⊥ ，求 的长；
解：∵ ⊥ ，∴ △ =
1 = 1 . ∵ = 6， = 4， = 5 ，
2 2
∴ = 24 .…………（8 分）
5
（3）在（2）的条件下，请直接写出 + 的最小值.
解：24 .…………（12 分）
5
连接 .由（1）可知 垂直平分线段 ，∴ = ，
∴ + = + ≥ ，∴ + 的最小值为24 .
5
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第十五章 轴对称
22（. 14 分）如图，点 是等边△ 内一点， 是△ 外的一点，∠ = 110 ，∠ =
，△ ≌△ ，∠ = 60 ，连接 .
【初步探究】
（1）求证：△ 是等边三角形；
【证明】∵ △ ≌△ ，∴ = .…………（1 分）
又∵ ∠ = 60 ，∴ △ 是等边三角形.…………（3 分）
【深入探究】
（2）当 = 150 时，试判断△ 的形状，并说明理由；
解：△ 是直角三角形.…………（4 分）
理由如下：∵ △ 是等边三角形，∴ ∠ = 60 .…………（5 分）
∵ △ ≌△ ， = 150 ，∴ ∠ = ∠ = = 150 ，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 150 60 = 90 ，∴ △ 是直角三角形.…………
（7 分）
【解决问题】
（3）当 为多少度时，△ 是等腰三角形？
解：∵ △ 是等边三角形，∴ ∠ = ∠ = 60 .
∵ ∠ = 110 ，∠ = ∠ = ，
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第十五章 轴对称
∴ ∠ = 360 ∠ ∠ ∠ = 360 110 60 = 190 ， ∠ =
∠ ∠ = 60 ，∴
∠ = 180 ∠ ∠ = 180 (190 ) ( 60 ) = 50 .…………（11 分）
①当∠ = ∠ 时，190 = 60 ，∴ = 125 .
②当∠ = ∠ 时，190 = 50 ，∴ = 140 .
③当∠ = ∠ 时， 60 = 50 ，∴ = 110 .
综上所述，当 = 110 或125 或140 时，△ 是等腰三角形.…………（14 分）
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第十五章 轴对称 基础诊断卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.电影《哪吒之魔童闹海》票房一飞冲天，你发现藏在画面里的精彩纹样了吗？这些纹样不仅
让画面更加丰盈，更是浓厚的中国传统文化的体现.以下四个从纹样中变形出来的图形不属于
轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了 4 棵桂花树.分别以两条
小路为 轴、 轴建立如图所示的平面直角坐标系.若 ， 两处桂花树的位置关于 轴对称，点
的坐标为( 3,3)，则点 的坐标为( )
A.(3,3) B.(3, 3) C.( 3,3) D.( 3, 3)
3.如图，在△ 中， = ， ⊥ ，且 = 4，则 的长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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第十五章 轴对称
4.如图，由 5 个“ ”和 3 个“ ”组成的图形关于某条直线对称，则该直线是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.某平板电脑支架及其示意图如图所示，其示意图中， = ， = .为了使用的舒适
性，可调整∠ 的大小.若∠ 增大16 ，则∠ 的变化情况是( )
A.增大16 B.减小16 C.增大8 D.减小8
6.桌面上有 ， 两个球，若要将 球射向桌面任意一边，使其反弹一次后击中 球，则如图
所示的 4 个点（点 , , , ）中，可以瞄准的点是（注:反弹前后球的路线与桌面边沿的夹角
相等）( )
A. B. C. D.
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第十五章 轴对称
7.如图为某家具设计图，其中△ 和△ 为“大三斜”组件（“ 大三斜”组件为两个全等的等
腰直角三角形）.已知某人位于点 处，点 与点 关于直线 对称，连接 ， .若∠ = 25
，则∠ 的度数为( )
A.25 B.24 C.21 D.20
8.如图，点 为线段 上一点，分别以 ， 为边，在 同侧作等边△ 和等边△ ，
连接 ， 相交于点 ，则∠ 的度数为( )
A.100 B.110 C.120 D.130
9.如图，△ 中，∠ = 90 ，∠ = 60 ，动点 在斜边 所在的直线 上运动，连
接 .当点 在直线 上运动时，能使图中出现等腰三角形的点 的位置有( )
A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个
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10.如图，线段 ， 的垂直平分线交于点 ，且∠ = ∠ = 72 ，∠ = 92 ，
则∠ 的度数为( )
A.118 B.128 C.158 D.168
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.命题“如果 = ，那么 + = + ”的逆命题为____________________________.
12.如图，在△ 中，∠ = 90 ，∠ = 60 ， ⊥ ，垂足为 .若 = 2，则
的长为___.
13.每两个圆环相交的部分叫作曲边四边形，如图所示，从左至右共有八个曲边四边形，分别
给它们标上序号.观察图形，我们发现标号为 2 的曲边四边形（下简称 2）经过平移能与 6 重合，
2 还与_________成轴对称. （请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上）
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第十五章 轴对称
14.如图，在△ 中， = = 10 cm， 垂直平分 ，垂足为 ，交 于 .若△ 的
周长为18 cm，则 的长为___cm .
14 题图 15 题图
15.折纸是一项有趣的活动，蕴含着丰富的数学知识.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两
1
次折叠.折痕分别为 ， ，点 落在 上.若 // ，且∠ = ∠ ，则∠1 = _____
3
_.
16.如图，在△ 中， = ，点 在 上, = = .
（1）∠ =____ ；
（2）若 = ， = ， ⊥ 于点 ,则 =________.（用含 ， 的式子表示）
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第十五章 轴对称
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）在平面直角坐标系 中，△ 的位置如图所示.
（1）分别写出以下顶点的坐标： （____，___）； （___，___）.
（2）顶点 关于 轴对称的点 ′ 的坐标为（___，___）.
（3）顶点 关于直线 = 1 的对称点的坐标为（____，___）.
18.（10 分）如图， 是△ 的角平分线， // ，与 的延长线相交于点 ，点 在
的延长线上，且 = .求证：
（1）△ 是等腰三角形；
（2） // .
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第十五章 轴对称
19.（10 分）如图，在△ 中， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ， 为线段 的
中点， = .
（1）求证： ⊥ ;
（2）若∠ = 75 ，求∠ 的度数.
20.（12 分）如图，在△ 中， = ， 平分∠ ，交 于点 .
（1）过点 作 ⊥ 直线 于点 .（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）∠ 与∠ 之间有何数量关系？请说明理由.
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第十五章 轴对称
21.（12 分）如图，在△ 中， = ， 是 边上的中线，点 是 边上一动点，点
是 上一动点，连接 , ， .
（1）若∠ = 37 ，求∠ 的度数；
（2）若 = 6， = 4， = 5，且 ⊥ ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出 + 的最小值.
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22.（14 分）如图，点 是等边△ 内一点， 是△ 外的一点，∠ = 110 ，∠
= ，△ ≌△ ，∠ = 60 ，连接 .
【初步探究】（1）求证：△ 是等边三角形；
【深入探究】（2）当 = 150 时，试判断△ 的形状，并说明理由；
【解决问题】（3）当 为多少度时，△ 是等腰三角形？
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