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第十五章 轴对称
第十五章 轴对称 素养检测卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.下列图形中，对称轴最多的是( )
A.等边三角形 B.角 C.等腰三角形 D.线段
解析：等边三角形有三条对称轴，角和等腰三角形各有一条对称轴，线段有两
条对称轴.故选 A.
2.下列图形中，点 , 关于直线 对称的是( )
A. B. C. D.
解析：∵ 点 ， 关于直线 对称，∴ 直线 垂直平分线段 ，故选项 C 符合题意，故选 C.
3.如图，在等腰△ 中， = ， 是 边上的高，若∠ = 42 ，
则∠ 的度数为( )
A.48 B.42 C.31 D.21
解析：∵ = ，∠ = 42 ，∴ ∠ = ∠ = 1 × (180 42 ) = 69 .又
2
∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ = 90 69 = 21 .故选 D.
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第十五章 轴对称
4.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是( )
A.在同一个三角形中，等边对等角
B.两个角互余的三角形是等腰三角形
C.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D.如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形
解析：原命题的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，
故选 C.
5.如图，在△ 中，以点 为圆心， 的长为半径作圆弧交 于点 ，再分别以点 和点
为圆心，大于1 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点 和点 ，连接 交 于点 ,连接 ,
2
.若 = 9， = 7 ，则△ 的周长为( )
A.22 B.20 C.18 D.16
解析：由作图可知 = ， 垂直平分 ，∴ = ，∴ △ 的周长为 + + =
+ + = + . ∵ = 9， = 7，∴ △ 的周长为 9 + 7 = 16 ，故选 D.
6.如图，在平面直角坐标系中， ( 1, ) ， (1, )， (2, )， (3.5, ) 分别是四盏灯笼的顶
点，平移一盏灯笼，使得四盏灯笼关于一条垂直于 轴的直线成轴对称，则平移的方法可以是
( )
A.将 向右平移 0.5 个单位 B.将 向左平移 3 个单位
C.将 向左平移 3.5 个单位 D.将 向左平移 4.5 个单位
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第十五章 轴对称
解析：将 ( 1, )向右平移 0.5 个单位，∴ 此时 ( 0.5, ). ∵ (1, )， (2, ) ， (3.5, )，
∴ 0.5+3.5 = 1.5，1+2 = 1.5,∴ 此时这四盏灯笼有一条对称轴为直线 = 1.5，∴ A 选项符合题意.
2 2
将 (1, )向左平移 3 个单位，∴ 此时 ( 2, ). ∵ ( 1, )， (2, )， (3.5, )，∴ 2+3.5 = 0.75，
2
1+2 = 0.5，∴ 此时这四盏灯笼没有对称轴，∴ B 选项不符合题意.将 (2, )向左平移 3.5 个单
2
位，∴ 此时 ( 1.5, ). ∵ ( 1, )， (1, )， (3.5, )，∴ 1.5+3.5 = 1， 1+1 = 0，∴ 此时
2 2
这四盏灯笼没有对称轴，∴ C 选项不符合题意.将 (3.5, )向左平移 4.5 个单位，∴ 此时 (
1, ). ∵ ( 1, )， (1, )， (2, )，∴ 1+2 = 0.5 ≠ 1，∴ 此时这四盏灯笼没有对称轴,∴ D
2
选项不符合题意.故选 A.
7.如图所示为钢架的示意图，∠ = 25 ，焊上等长的钢条 1 2， 2 3， 来加固钢架.若 1 =
1 2 ，则这样的钢条至多需要( )
A.2 根 B.3 根 C.4 根 D.5 根
解析：∵ 1 = 1 2，∴ ∠ = ∠ 1 = 25 2 ，∴ ∠ 2 1 3 = ∠ + ∠ 1 2 = 50 .若 2 3 可
以焊接，∵ 1 2 = 2 3，∴ ∠ 1 3 2 = ∠ 2 1 3 = 50 ，∴ ∠ 1 2 3 = 80 .若 3 4 可以焊接，
则∠ 3 2 4 = 75 . ∵ 2 3 = 3 4,∴ ∠ 3 4 2 = 75 .若 4 5 可以焊接，则∠ 5 3 4 = 100 . ∵
4 5 = 3 4 ,∴ ∠ 4 5 = 100 3 ,∴ 此时不能继续焊接.综上所述，这样的钢条至多需要 3 根.
故选 B.
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8.如图，已知 = = ，则∠1 与∠2 的关系是( )
A.∠1 + 3∠2 = 180 B.2∠1 + ∠2 = 180
C.3∠1 ∠2 = 180 D.∠1 = 2∠2
解析：∵ = = ，∴ ∠ = ∠ = 180 2∠1 ，
∴ ∠1 ∠2 = ∠ = 180 2∠1，∴ 3∠1 ∠2 = 180 .故选 C.
9.如图，△ 和△ 都是等边三角形，点 ， ， 分别在边 ， ， 上.若△ 的周
长为 15， = 2，则 的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：
利用等边三角形 ∵ △ 是等边三角形，∴ ∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ + ∠ = 120 .
的性质得出边角 ∵ △ 是等边三角形，∴ ∠ = 60 ， = ,
关系 ∴ ∠ + ∠ = 120 ，∴ ∠ = ∠
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ,△ ≌△ (AAS) ，
证明全等 = ,
∴ = = 2， =
∵ △ 的周长为 15 且△ 是等边三角形，∴ = 5 ，
计算线段长
∴ AD = AB BD = 5 2 = 3，∴ BE = 3
答案：B.
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第十五章 轴对称
10.如图，直线 ⊥ ，垂足为 ，点 是射线 上一点， = 2，以 为边在 右侧作
∠ = 17 ，且满足 = 4.若点 是射线 上的一个动点（不与点 重合），连接 .作
△ 的两个外角平分线交于点 ，在点 的运动过程中，当线段 取最小值时，∠ 的度
数为( )
A.62 B.67 C.68 D.90
解析：如图，
连接 ，过 作 ⊥ 于点 ，作 ⊥ 于点 ，作 ⊥ 于点 .
∵ 平分∠ ， 平分∠ ，∴ = ， = ，∴ = ，
∴ 平分∠ . ∵ ⊥ ,∴ ∠ = 90 ,
∴ ∠ = 45 . ∵ ∠ = 17 ，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 28 . ∵ 当 ⊥ 时， 最小，此时∠ = 90 ，
∴ ∠ = 90 ∠ = 62 .故选 A.
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第十五章 轴对称
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.已知△ 中， = ，∠ = 65 ，则∠ = ____.
解析：∵ 在△ 中， = ，∠ = 65 ，∴ ∠ = ∠ = 65 ，
∴ ∠ = 180 65 × 2 = 50 .故答案为50 .
12.如图，一艘轮船由海平面上 地出发向南偏西25 方向行驶 50 海里到达 地，再由 地向北
偏西35 方向行驶 50 海里到达 地，则 ， 两地相距____海里.
解析：如图，
连接 .由题意得∠ = 25 ，∠ = 35 ，
= = 50 海里， // ，∴ ∠ = ∠ = 25 ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 60 ，∴ △ 是等边三角形，
∴ = = 50 海里，∴ ， 两地相距 50 海里，故答案为 50.
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第十五章 轴对称
13.如图，在△ 中， = ， = ，∠ = 150 ，则 △ = _____.
解析：如图，
作 ⊥ 交 的延长线于点 .在直角三角形 中，∠ = 180 ∠ = 30 ，
∴ = 1 = 1 ，则 = 1 = 1 1 1△ = .故答案为
1 .
2 2 2 2 2 4 4
14.如图，在△ 中，∠ = 32 ，∠ = 36 ，点 是边 上一点，点 关于直线 的对称
点为 '，当 ' // 时，∠ 的度数为____.
解析：∵ ' // ，∴ ∠ ' = ∠ = 32 ，
∴ ∠ ' = 180 ∠ ' = 148 . ∵ 点 关于直线 的对称点为 ' ，
∴ ∠ ' = ∠ = 1 × (360 ∠ ') = 106 ，
2
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 38 .故答案为38 .
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第十五章 轴对称
15.如图，在△ 中， = ，∠ = 36 ，过点 作 // ，连接 ，作线段 的
垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，若 = ，则∠ =____ .
解析：∵ ∠ = 36 ， = ，
1 1∴ ∠ = ∠ = × (180 ∠ ) = × (180 36 ) = 72 .
2 2
∵ // ，∴ ∠ = ∠ . ∵ 垂直平分 ，∴ = ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 2∠ . ∵ = ，
∴ ∠ = ∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 2∠ + ∠ = 3∠ = 72 ，∴ ∠ = 24 ，故答案为 24.
16.如图，△ 中，∠ = 90 ，点 在边 上，连接 ，∠ = 2∠ ，点 在线段
上， = .若 = 4，则 = ___.
解析：
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第十五章 轴对称
设∠ = ，∠ = ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = + . ∵ ∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = 2∠ = 2 + 2 . ∵ = ，
∴ ∠ = ∠ = . ∵ ∠ + ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ∠ = . ∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180 ，
∴ 2 + 2 + + + = 180 ，
∴ + 2 = 90 . ∵ ∠ = ∠ + ∠ = + + = 2 ，∠ + ∠ = 90 ，
∴ ∠ = 90 ∠ = 90 2 = .如图，延长 至 ，使 = ，连接 .
∵ ∠ = 90 ，∴ ⊥ ，∴ = ，∴ ∠ = ∠ = ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ + ∠ = + + = + ，
∴ ∠ = ∠ = + ，∴ = ，∴ = . ∵ = + ，
= + ， = ，∴ = = 4，∴ = = 1 = 2 .故答案为 2.
2
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）如图，在 3 × 3 的网格中，△ 的三个顶点均在格点上，这样的三角形叫作“格
点三角形”.在下面四个图中分别画出一个“格点三角形”与原△ 关于某条直线成轴对称（. 将
画出的三角形涂上阴影，画出的“格点三角形”不要重复）
图（1） 图（2） 图（3） 图（4）
解：如图，阴影部分即为所作（答案不唯一）.…………（8 分）
图（1） 图（2） 图（3） 图（4）
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第十五章 轴对称
18.（10 分）如图，△ 是等腰三角形， = ，∠ = 72 ，点 是 的中点.
（1）求∠ 的度数；
解：∵ = ，∠ = 72 ，
∴ ∠ = ∠ = 1 × (180 72 ) = 54 . …………（3 分）
2
（2）求∠ 的度数；
解：∵ = ，点 是 的中点，
∴ ∠ = 1∠ = 1 × 72 = 36 . …………（6 分）
2 2
（3）点 在边 上，若 = ，试说明： // .
解：∵ = ，点 是 的中点，∴ ⊥ ，∴ ∠ = 90 .…………（7 分）
∵ = ，∴ ∠ = ∠ = 36 ，
∴ ∠ = 90 36 = 54 . ∵ ∠ = 54 ，∴ ∠ = ∠ ，∴ // .…………（10 分）
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第十五章 轴对称
19.（10 分）某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图（1）所示.发射杆 始终
平分同一平面内两条固定轴所成的∠ ，且∠ = 120 ， = = 20 cm，发射中心
能沿着发射杆滑动， ， 为橡皮筋.
图（1） 图（2）
（1）证明： = ；
【证明】∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ .…………（1 分）
= ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ,
= ,
∴ △ ≌△ (SAS) ，…………（4 分）
∴ = .…………（5 分）
（2）在△ 由图（2）中的等边△ 1变成 Rt △ 2的过程中，发射中心 向下滑动的距
离 1 2 是多少？
解：∵ △ 1是等边三角形， = 20 cm，∴ 1 = = 20 cm .…………（6 分）
在 Rt △ 2中，∠ =
1
2 ∠ = 60 ，∴ ∠ 2 2 = 30 ，
∴ 2 = 2 = 40 cm ，…………（8 分）
∴ 1 2 = 2 1 = 40 20 = 20(cm) .
答：发射中心 向下滑动的距离 1 2是 20 cm .…………（10 分）
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第十五章 轴对称
20.（12 分）如图，在△ 中， = ，点 在△ 内， = ，∠ = 60 ，点
在△ 外，∠ = 150 ，∠ = 60 .
（1）求∠ 的度数；
解：∵ = ，∠ = 60 ，
∴ △ 是等边三角形，…………（1 分）
∴ = ，∠ = ∠ = ∠ = 60 .
= ,
在△ 和△ 中， = , ∴ △ ≌△ (SSS) ，…………（4 分）
= ,
∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = 1 × (360 60 ) = 150 .…………（6 分）
2
（2）判断△ 的形状并加以证明.
解：△ 是等边三角形.证明：
∵ ∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ .…………（7 分）
∠ = ∠ = 150 ,
在△ 和△ 中， = , ∴ △ ≌△ (ASA) ，…………（9 分）
∠ = ∠ ,
∴ = .…………（10 分）
∵ ∠ = 60 ，∴ △ 是等边三角形.…………（12 分）
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第十五章 轴对称
21.（12 分）如图，在四边形 中， // ， 是 的中点，连接 并延长交 的延长
线于点 ，点 在边 上，且∠ = ∠ .
（1）求证：△ 是等腰三角形；
证明：∵ // ，∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ,∴ △ 是等腰三角形.…………（4 分）
（2）连接 ，若 = 2，∠ = 60 ，求 的长.
解：∵ // ，∴ ∠ = ∠ .
∵ 为 的中点，∴ = .…………（5 分）
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS) ，…………（8 分）
= ,
∴ = .…………（9 分）
由（1）可知，△ 为等腰三角形，∴ ⊥ . ∵ // ，∠ = 60 ，
∴ ∠ = ∠ = 60 . ∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = 30 ，∴ 在 Rt △ 中，
= 2 = 2 × 2 = 4 .…………（12 分）
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第十五章 轴对称
22.（14 分）如图（1），已知 ， 为直线 同侧的两点，连接 ， ，若∠ = ∠ ，
则称点 为点 ， 关于直线 的“等角点”.
图（1） 图（2）
图（3）
【理解运用】（1）如图（2），在△ 中， 为 上一点，点 , 关于直线 对称，连接
并延长至点 ，判断点 是否为点 , 关于直线 的“等角点”，并说明理由；
解：点 是点 , 关于直线 的“等角点”.…………（2 分）
理由如下：∵ 点 , 关于直线 对称，∴ ∠ = ∠ .…………（4 分）
∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ 点 是点 , 关于直线 的“等角点”（6 分）
【拓展提升】（2）如图（3），在△ 中，∠ ，∠ 的平分线交于点 ，点 到 的距
离为 2，直线 垂直平分边 ，点 为点 ， 关于直线 的“等角点”，连接 ， ，当∠ = 60
时，求 + 的值.
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第十五章 轴对称
解：如图，
连接 ， ，过点 作 ⊥ 于 ，则 的长为点 到 的距离，令直线 与 的交点为 ，
与 的交点为 .
∵ ∠ ，∠ 的平分线交于点 ，∴ 易知 平分∠ ，
∴ ∠ = 1∠ = 30 .∵ ⊥ ，∴ = 2 = 4 .…………（9 分）
2
∵ 直线 垂直平分边 ，∴ ∠ = ∠ ， = .…………（10 分）
∵ 点 为点 ， 关于直线 的“等角点”，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ （12 分）
∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ + ∠ + ∠ = 180 ，
∴ 点 ， ， 在同一条直线上，∴ + = + = = 4 .…………（14 分）
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第十五章 轴对称 素养检测卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.下列图形中，对称轴最多的是( )
A.等边三角形 B.角 C.等腰三角形 D.线段
2.下列图形中，点 , 关于直线 对称的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在等腰△ 中， = ， 是 边上的高，若∠ = 42 ，
则∠ 的度数为( )
A.48 B.42 C.31 D.21
4.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是( )
A.在同一个三角形中，等边对等角
B.两个角互余的三角形是等腰三角形
C.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D.如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形
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第十五章 轴对称
5.如图，在△ 中，以点 为圆心， 的长为半径作圆弧交 于点 ，再分别以点 和点
1
为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点 和点 ，连接 交 于点 ,连接 ,
2
.若 = 9， = 7 ，则△ 的周长为( )
A.22 B.20 C.18 D.16
6.如图，在平面直角坐标系中， ( 1, ) ， (1, )， (2, )， (3.5, ) 分别是四盏灯笼的顶
点，平移一盏灯笼，使得四盏灯笼关于一条垂直于 轴的直线成轴对称，则平移的方法可以是
( )
A.将 向右平移 0.5 个单位 B.将 向左平移 3 个单位
C.将 向左平移 3.5 个单位 D.将 向左平移 4.5 个单位
7.如图所示为钢架的示意图，∠ = 25 ，焊上等长的钢条 1 2， 2 3， 来加固钢架.若 1
= 1 2 ，则这样的钢条至多需要( )
A.2 根 B.3 根 C.4 根 D.5 根
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第十五章 轴对称
8.如图，已知 = = ，则∠1与∠2 的关系是( )
A.∠1 + 3∠2 = 180 B.2∠1 + ∠2 = 180
C.3∠1 ∠2 = 180 D.∠1 = 2∠2
9.如图，△ 和△ 都是等边三角形，点 ， ， 分别在边 ， ， 上.若△ 的
周长为 15， = 2，则 的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图，直线 ⊥ ，垂足为 ，点 是射线 上一点， = 2，以 为边在 右侧作∠
= 17 ，且满足 = 4.若点 是射线 上的一个动点（不与点 重合），连接 .作△
的两个外角平分线交于点 ，在点 的运动过程中，当线段 取最小值时，∠ 的度数为(
)
A.62 B.67 C.68 D.90
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.已知△ 中， = ，∠ = 65 ，则∠ = ____.
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第十五章 轴对称
12.如图，一艘轮船由海平面上 地出发向南偏西25 方向行驶 50 海里到达 地，再由 地向
北偏西35 方向行驶 50 海里到达 地，则 ， 两地相距____海里.
13.如图，在△ 中， = ， = ，∠ = 150 ，则 △ = _____.
14.如图，在△ 中，∠ = 32 ，∠ = 36 ，点 是边 上一点，点 关于直线 的对称
点为 ′，当 ′ // 时，∠ 的度数为____.
15.如图，在△ 中， = ，∠ = 36 ，过点 作 // ，连接 ，作线段 的
垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，若 = ，则∠ =____ .
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第十五章 轴对称
16.如图，△ 中，∠ = 90 ，点 在边 上，连接 ，∠ = 2∠ ，点 在线段
上， = .若 = 4，则 = ___.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）如图，在3 × 3的网格中，△ 的三个顶点均在格点上，这样的三角形叫作“格点
三角形”.在下面四个图中分别画出一个“格点三角形”与原△ 关于某条直线成轴对称（. 将画
出的三角形涂上阴影，画出的“格点三角形”不要重复）
图（1） 图（2） 图（3） 图（4）
18.（10 分）如图，△ 是等腰三角形， = ，∠ = 72 ，点 是 的中点.
（1）求∠ 的度数；
（2）求∠ 的度数；
（3）点 在边 上，若 = ，试说明： // .
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第十五章 轴对称
19.（10 分）某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图（1）所示.发射杆 始终
平分同一平面内两条固定轴所成的∠ ，且∠ = 120 ， = = 20 cm，发射中心
能沿着发射杆滑动， ， 为橡皮筋.
图（1） 图（2）
（1）证明： = ；
（2）在△ 由图（2）中的等边△ 1变成Rt △ 2的过程中，发射中心 向下滑动的距
离 1 2 是多少？
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第十五章 轴对称
20.（12 分）如图，在△ 中， = ，点 在△ 内， = ，∠ = 60 ，点 在
△ 外，∠ = 150 ，∠ = 60 .
（1）求∠ 的度数；
（2）判断△ 的形状并加以证明.
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第十五章 轴对称
21.（12 分）如图，在四边形 中， // ， 是 的中点，连接 并延长交 的延长
线于点 ，点 在边 上，且∠ = ∠ .
（1）求证：△ 是等腰三角形；
（2）连接 ，若 = 2，∠ = 60 ，求 的长.
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第十五章 轴对称
22.（14 分）如图（1），已知 ， 为直线 同侧的两点，连接 ， ，若∠ = ∠ ，则
称点 为点 ， 关于直线 的“等角点”.
图（1） 图（2）
【理解运用】（1）如图（2），在△ 中， 为 上一点，点 , 关于直线 对称，连接 并
延长至点 ，判断点 是否为点 , 关于直线 的“等角点”，并说明理由；
【拓展提升】（2）如图（3），在△ 中，∠ ，∠ 的平分线交于点 ，点 到 的
距离为 2，直线 垂直平分边 ，点 为点 ， 关于直线 的“等角点”，连接 ， ，当∠
= 60 时，求 + 的值.
图（3）
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