资源简介

第十六章 整式的乘法
第十六章 整式的乘法 基础诊断卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1. 计算 12 ÷ 4 的结果是( )
A. 3 B.3 C. 8 D.8
解析： 12 ÷ 4 = 12 4 = 8 .故选 C.
2. 下列各图中，能直观解释“(3 )2 = 9 2 ”的是( )
A. B. C. D.
解析：A 选项表示的面积是(3 ) = 3 2；B 选项表示的面积是 3(3 ) = 9 ；C 选项表示的面
积是(3 × 3) (3 ) = 27 ；D 选项表示的面积是(3 )2 = 9 2 .故选 D.
3.根据下列运算结果，实数 ， ， ， 中最大的是( )
A. 4 + 4 = 2 B. 2 3 = C. 10 ÷ 2 = D.( 2)3 =
解析：∵ 4 + 4 = 2 4，∴ = 4. ∵ 2 3 = 5，∴ = 5. ∵ 10 ÷ 2 = 8 ，
∴ = 8. ∵ ( 2)3 = 6，∴ = 6. ∵ 8 > 6 > 5 > 4，∴ 最大.故选 C.
4.已知 4 2 + + 9 2可以化成完全平方式，则 的值是( )
A.6 B.±6 C.12 D.±12
解析：∵ 4 2 + + 9 2 可以化成完全平方式的形式，
∴ 4 2 + + 9 2 = (2 ± 3 )2 = 4 2 ± 12 + 9 2，∴ =± 12 .故选 D.
96/144
第十六章 整式的乘法
5.调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推
测出被除式为( )
A. 2 + 3 6 B. 3 + 3 2 6 C. + 3 D. 3 + 3 2 6
6
解析：被除式为( 2 + 3 6) = 3 + 3 2 6 ，故选 D.
6.计算(4 × 106) × (5 × 103) 的结果是( )
A.2 × 109 B.9 × 109 C.2 × 1010 D.9 × 1010
解析：原式= (4 × 5) × (106 × 103) = 20 × 109 = 2 × 1010 ，故选 C.
7.若 = 1 ，则代数式 5 4 6 7 3 2 (10 8) 的值为( )
5
A.15 B.22 C. 15 D.9
解析：(5 4)(6 7) (3 2)(10 8) = 30 2 35 24 + 28 (30 2 24
20 + 16) = 30 2 35 24 + 28 30 2 + 24 + 20 16 = 15 + 12.将 = 1代入，
5
得原式= 15 × ( 1 ) + 12 = 15 ，故选 A.
5
8.比较344，433，522 的大小结果是( )
A.344 > 433 > 522 B.344 > 522 > 433
C.433 > 344 > 522 D.433 > 522 > 344
解析：∵ 344 = (34)11 = 8111，433 = (43)11 = 6411，522 = (52)11 = 2511 ，且 81 > 64 > 25，
∴ 344 > 433 > 522 .故选 A.
97/144
第十六章 整式的乘法
9.如图，在长方形 中正好放置两个正方形 和 ，若正方形 的面积等于 1
0，图中阴影部分的面积为 4，则正方形 的面积等于( )
A.3 B.2 C.4 D.5
解析：设正方形 和正方形 的边长分别为 ， ，则有 2 = 10 ，阴影部分面积为1 ×
2
( + )( ) = 4，即 2 2 = 8，∴ 2 = 2，∴ 正方形 的面积为 2 = 2 .故选 B.

10.18 世纪欧拉首先使用了求和符号“ ∑ ”（其中 ≤ ，且 和 表示正整数），对这个符号我
=

们进行如下定义：∑ 表示 从 开始取数一直取到 ，全部加起来，即 ∑ = + ( + 1) + ( +
= =

2) + ( + 3) + + .例如：当 = 1 时， ∑ = 1 + 2 + 3 + 4 + + .若 ∑ ( )( +
=1 =2
1) = 3 2 + + ，则 和 所表示的数分别为( )
A. 6 和 9 B. 15 和 20 C.30 和 81 D.27 和 243

解析：∵ ∑ ( )( + 1) = 3 2 + + ，且 3 2 + + 中二次项系数为 3，
=2
∴ = 4 ，
4
∴ ∑ ( )( + 1) = ( 2)( 1) + ( 3)( 2) + ( 4)( 3)
=2
= 2 3 + 2 + 2 5 + 6 + 2 7 + 12 = 3 2 15 + 20 ，
∴ 3 2 15 + 20 = 3 2 + + ，∴ = 15， = 20 ，故选 B.
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.如果( 8)0 有意义，写出任意一个符合题意的 的值：_________________.
98/144
第十六章 整式的乘法
解析：根据零指数幂的定义可知，当 8 ≠ 0，即 ≠ 8 时，( 8)0 有意义，故答案为 9（答
案不唯一）.
12.已知 2 + 2 = 0，则32 × 3 = ___.
解析：∵ 2 + 2 = 0，∴ 2 + = 2，∴ 32 × 3 = 32 + = 32 = 9 ，故答案为 9.
13.请在横线上填写合适的代数式：( 3)8 =_____ 6 .
解析：( 3)8 = 24 = ( 4)6.故答案为( 4) .
14.若( 2 + 8)( 2 3 + )的展开式中不含 2和 3 项，则 的值为____.
解析：原式= 4 3 3 + 2 + 3 3 2 + 8 2 + 24 8 = 4 + ( 3) 3 +
( 3 8) 2 + ( + 24) 8 . ∵ 展开式中不含 2和 3 项，
∴ 3 = 0, = 3, 3 8 = 0, ∴ = 17, 故答案为 17.
“不含”的含义
乘积中不含某一项的意思是这一项的系数为 0.
15.某社区组织老年人参加太极拳比赛，由于比赛场地的原因，要把每边 人的方队一边增加 2
人，另一边减少 2 人，实际参加比赛的人比原来_____人.
解析：根据题意得 2 ( + 2)( 2) = 2 ( 2 4) = 2 2 + 4 = 4 ，则实际参加比赛的
人比原来少 4 人.故答案为少 4.
16.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给
出了( + ) ( = 1,2,3,4, ) 的展开式的系数规律（按 的次数由大到小的顺序）.请根据规
律，写出( + 1)2 025的展开式中含 2 024 项的系数是_______.
99/144
第十六章 整式的乘法
解析：由题意易知含 2 024的项是( + 1)2 025的展开式中的第二项.∵ ( + )1 展开式中的第二
项系数为1，( + )2展开式中的第二项系数为 2，( + )3 展开式中的第二项系数为 3，( + )4
展开式中的第二项系数为 4， ，∴ ( + ) 展开式中的第二项系数为 ，∴ ( + 1)2 025的展
开式中的第二项系数为 2 025 ，故答案为 2 025.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）计算：
（1）( 2 3)2 + ( 2)3 2 3 .
解：原式= 4 6 + ( 6) 6 （1 分）
= 4 6 6 6
= 2 6 .（2 分）
（2）(12 4 6 3) ÷ 3 2 .
解：原式= 4 2 2 .（4 分）
（3）(5 + 2 )(3 2 ) .
解：原式= 15 2 10 + 6 4 2 （5 分）
= 15 2 4 4 2 .（6 分）
（4）(2 + 1)(2 1) ( 1)2 (2 )3 ÷ 8 .
解：原式= 4 2 1 ( 2 2 + 1) 8 3 ÷ 8 （7 分）
= 4 2 1 2 + 2 1 2
100/144
第十六章 整式的乘法
= 2 2 + 2 2 .（8 分）
18.（10 分）如图所示是人民公园的一块长为(2 + )米，宽为( + 2 ) 米的空地，预计在空
地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）.
（1）请用含 ， 的代数式表示观景台的面积；（结果化为最简）
解：阴影部分的面积为(2 + )( + 2 ) ( )2 (2 + )( )
= 2 2 + 4 + + 2 2 2 2 + 2 2 2 2 + 2
= 2 2 + 4 + + 2 2 2 + 2 2 2 2 + 2 + 2
= ( 2 + 7 + 2 2) 平方米.（5 分）
答：观景台的面积为( 2 + 7 + 2 2) 平方米.（6 分）
（2）如果修建观景台的费用为 200 元/平方米，且已知 = 5， = 3 ，那么修建观景台需要
费用多少元？
解：当 = 5， = 3 时，原式= 25 + 7 × 5 × 3 + 2 × 9 = 98 ，（8 分）
200 × 98 = 19 600 （元）.
答：修建观景台需要费用 19 600 元.（10 分）
101/144
第十六章 整式的乘法
19.（10 分）已知5 = 4，5 = 6，25 = 9 .
（1）求5 + 的值；
解：∵ 5 = 4，5 = 6，∴ 5 + = 5 5 = 4 × 6 = 24 .（3 分）
（2）求5 2 的值；
解：∵ 25 = 9，∴ (52) = 9 ，∴ 52 = 9 .（4 分）
又∵ 5 = 4，∴ 5 2 = 5 ÷ 52 = 4 .（6 分）
9
（3）写出 ， ， 之间的数量关系.
解：∵ 4 × 9 = 62，∴ 5 × 52 = (5 )2，即5 +2 = 52 ，（8 分）
∴ + 2 = 2 .（10 分）
20.（12 分）不同的计算方法背后蕴含的思维逻辑也不相同.小安发现有些问题可以用几何图形
来辅助计算.小安要计算 24 × 16 ，图（1）是他辅助计算时画的几何图形，图（2）方框中是
小安的计算过程.
图（1） 图（2）
102/144
第十六章 整式的乘法
图（3） 图（4）
（1）请你模仿小安的方法计算 37 × 28 .在辅助计算的图（3）的括号内标注对应的数据，并
写出区域⑧表示的算式：____，然后写出 37 × 28 的计算过程.
解：标注数据如图 所示：
（2分）; 区域⑧表示的算式为 7 × 8，故答案为 7 × 8（. 6分）; 37 × 28 = (30 + 7) × (20 + 8) =
30 × 20 + 7 × 20 + 30 × 8 + 7 × 8 = 600 + 140 + 240 + 56 = 1036 .（8 分）
（2）请你根据小安解决问题的方法，计算( + )( + ) .先在图（4）中画出辅助计算的几
何图形，然后写出计算过程.
解：辅助计算的几何图形如图（2）所示： （10 分）
( + )( + ) = + + + .（12 分）
21.（12 分）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法，求代数式 2 + 2 3 的最小值.
2 + 2 3 = 2 + 2 + 12 12 3 = ( + 1)2 4 .
103/144
第十六章 整式的乘法
∵ ( + 1)2 ≥ 0，∴ 当 = 1 时， 2 + 2 3 有最小值 4 .
请根据上述方法，解答下列问题：
（1） 2 + 6 + 10 = 2 + 2 × 3 + 32 32 + 10 = ( + )2 + ，则 =___， = ___；
解： 2 + 6 + 10 = 2 + 2 × 3 + 32 32 + 10 = ( + 3)2 + 1，
∴ = 3, = 1 ，故答案为 3，1.（4 分）
（2）求证：无论 取何值，代数式 2 + 2 5 的值都是负数；
【证明】 2 + 2 5 = 2 2 5 = 2 2 + 12 12 5 = ［ 1)2 1 5
= ( 1)2 + 1 5 = ( 1)2 4.（7 分）
∵ ( 1)2 ≥ 0，∴ ( 1)2 ≤ 0，∴ ( 1)2 4 ≤ 4 < 0，
即无论 取何值，代数式 2 + 2 5 的值都是负数.（8 分）
（3）若代数式 2 2 + 7 的最小值为 3，求 的值.
解： 2 2 + 7 = 2 2 + 2 + 7 2 = ( )2 + 7 2 .（10 分）
∵ ( )2 ≥ 0，∴ ( )2 + 7 2 ≥ 7 2，∴ 代数式 2 2 + 7 的最小值为 7 2.
又∵ 代数式 2 2 + 7 的最小值为 3，∴ 7 2 = 3，∴ = 2 或 = 2 .（12 分）
22.（14 分）我们把形如 + 1 1 + + 1 + 0( ≠ 0 且 ≠ 0)的整式称为关于 的
一元 次多项式，记作 ( )或 ( )或……将整数的带余除法类比到一元 次多项式，我们可类
似地得到带余式的整式除法，其关系式为 ( ) = ( ) ( ) + ( )，其中 ( ) 表示被除式，
( )表示除式， ( )表示商式， ( )表示余式，且 ( ) 的次数小于 ( ) 的次数.我们来举个例
子对比整数除法和多项式除法，如下左式中，13 579 除以 112，商为 121，余数为 27；而如
下右式中，多项式 4 + 3 3 + 5 2 + 7 + 9 除以 2 + + 2 ，商式为 2 + 2 + 1，余式为 2 + 7
.
104/144
第十六章 整式的乘法
请根据以上材料，解决下面的问题：
（1）多项式 2 4 + 3 2 + 2 除以 2 2 + 3 ，请补全下面的计算式：
故 2 4 + 3 2 + 2 除以 2 2 + 3 所得的商式为_____________，余式为_______________.
解：补全计算式如下：（4 分）
105/144
第十六章 整式的乘法
∴ 2 4 + 3 2 + 2 除以 2 2 + 3 所得的商式为 2 2 + 4 + 5，余式为 3 13 ，
故答案为 2 2 + 4 + 5， 3 13 .（6 分）
（2）若多项式 4 + 2 + + 除以 2 + 3 + 4 所得的余式为 1 ，求 2 + 2 的值.
解：由题意设商式为 2 + + .（7 分）
则有( 2 + 3 + 4)( 2 + + ) + 1 = 4 + 2 + + ，
整理得 4 + ( + 3) 3 + (3 + + 4) 2 + (4 + 3 + 1) + 4 1
= 4 + 2 + + ，（10 分）
∴ + 3 = 0, = 3,4 + 3 + 1 = 1, 解得 = 4. （12 分）
∴ = 3 + + 4 = 1， = 4 1 = 15，
∴ 2 + 2 = ( 1)2 + 152 = 226 . （14 分）
106/144第十六章 整式的乘法
第十六章 整式的乘法 基础诊断卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1. 计算 12 ÷ 4 的结果是( )
A. 3 B.3 C. 8 D.8
2. 下列各图中，能直观解释“(3 )2 = 9 2 ”的是( )
A. B. C. D.
3.根据下列运算结果，实数 ， ， ， 中最大的是( )
A. 4 + 4 = 2 B. 2 3 = C. 10 ÷ 2 = D.( 2)3 =
4.已知4 2 + + 9 2可以化成完全平方式，则 的值是( )
A.6 B.±6 C.12 D.±12
5.调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推
测出被除式为( )
A. 2 + 3 6 B. 3 + 3 2 6 C. + 3 D. 3 + 3 2 6
6
6.计算(4 × 106) × (5 × 103) 的结果是( )
A.2 × 109 B.9 × 109 C.2 × 1010 D.9 × 1010
1
7.若 = ，则代数式(5 4)(6 7) (3 2)(10 8) 的值为( )
5
A.15 B.22 C. 15 D.9
8.比较344，433，522 的大小结果是( )
A.344 > 433 > 522 B.344 > 522 > 433
C.433 > 344 > 522 D.433 > 522 > 344
55/89
第十六章 整式的乘法
9.如图，在长方形 中正好放置两个正方形 和 ，若正方形 的面积等于 1
0，图中阴影部分的面积为 4，则正方形 的面积等于( )
A.3 B.2 C.4 D.5

10.18 世纪欧拉首先使用了求和符号“ ∑ （” 其中 ≤ ，且 和 表示正整数），对这个符号我们
=

进行如下定义： ∑ 表示 从 开始取数一直取到 ，全部加起来，
=

即 ∑ = + ( + 1) + ( + 2) + ( + 3) + + .
=

例如：当 = 1 时， ∑ = 1 + 2 + 3 + 4 + + .
=1

若 ∑ ( )( + 1) = 3 2 + + ，则 和 所表示的数分别为( )
=2
A. 6和 9 B. 15和 20
C.30 和 81 D.27 和 243
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.如果( 8)0 有意义，写出任意一个符合题意的 的值：_________________.
12.已知2 + 2 = 0，则32 × 3 = ___.
13.请在横线上填写合适的代数式：( 3)8 =_____6 .
14.若( 2 + 8)( 2 3 + )的展开式中不含 2和 3 项，则 的值为____.
15.某社区组织老年人参加太极拳比赛，由于比赛场地的原因，要把每边 人的方队一边增加 2
人，另一边减少 2 人，实际参加比赛的人比原来_____人.
56/89
第十六章 整式的乘法
16.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出
了( + ) ( = 1,2,3,4, ) 的展开式的系数规律（按 的次数由大到小的顺序）.请根据规律，
写出( + 1)2 025的展开式中含 2 024 项的系数是_______.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）计算：
（1）( 2 3)2 + ( 2)3 2 3 .
（2）(12 4 6 3) ÷ 3 2 .
（3）(5 + 2 )(3 2 ) .
（4）(2 + 1)(2 1) ( 1)2 (2 )3 ÷ 8 .
57/89
第十六章 整式的乘法
18.（10 分）如图所示是人民公园的一块长为(2 + )米，宽为( + 2 ) 米的空地，预计在空
地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）.
（1）请用含 ， 的代数式表示观景台的面积；（结果化为最简）
（2）如果修建观景台的费用为 200 元/平方米，且已知 = 5， = 3 ，那么修建观景台需要
费用多少元？
19.（10 分）已知5 = 4，5 = 6，25 = 9 .
（1）求5 + 的值；
（2）求5 2 的值；
（3）写出 ， ， 之间的数量关系.
58/89
第十六章 整式的乘法
20.（12 分）不同的计算方法背后蕴含的思维逻辑也不相同.小安发现有些问题可以用几何图形
来辅助计算.小安要计算24 × 16 ，图（1）是他辅助计算时画的几何图形，图（2）方框中是
小安的计算过程.
图（1） 图（2）
图（3） 图（4）
（1）请你模仿小安的方法计算37 × 28 .在辅助计算的图（3）的括号内标注对应的数据，并
写出区域⑧表示的算式：____，然后写出37 × 28 的计算过程.
（2）请你根据小安解决问题的方法，计算( + )( + ) .先在图（4）中画出辅助计算的几
何图形，然后写出计算过程.
59/89
第十六章 整式的乘法
21.（12 分）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法，求代数式 2 + 2 3 的最小值.
2 + 2 3 = 2 + 2 + 12 12 3 = ( + 1)2 4 .
∵ ( + 1)2 ≥ 0，∴ 当 = 1时， 2 + 2 3有最小值 4 .
请根据上述方法，解答下列问题：
（1） 2 + 6 + 10 = 2 + 2 × 3 + 32 32 + 10 = ( + )2 + ，则 =___， = ___；
（2）求证：无论 取何值，代数式 2 + 2 5 的值都是负数；
（3）若代数式 2 2 + 7的最小值为 3，求 的值.
22.（14 分）我们把形如 + 1
1 + + 1 + 0( ≠ 0且 ≠ 0)的整式称为关于 的
一元 次多项式，记作 ( )或 ( )或……将整数的带余除法类比到一元 次多项式，我们可
类似地得到带余式的整式除法，其关系式为 ( ) = ( ) ( ) + ( )，其中 ( ) 表示被除式，
( )表示除式， ( )表示商式， ( )表示余式，且 ( ) 的次数小于 ( ) 的次数.我们来举个例
子对比整数除法和多项式除法，如下左式中，13 579 除以 112，商为 121，余数为 27；而如
下右式中，多项式 4 + 3 3 + 5 2 + 7 + 9除以 2 + + 2 ，商式为 2 + 2 + 1，余式为2 + 7
.
60/89
第十六章 整式的乘法
请根据以上材料，解决下面的问题：
（1）多项式2 4 + 3 2 + 2除以 2 2 + 3 ，请补全下面的计算式：
故2 4 + 3 2 + 2除以 2 2 + 3 所得的商式为_____________，余式为_______________.
（2）若多项式 4 + 2 + + 除以 2 + 3 + 4所得的余式为 1 ，求 2 + 2 的值.
61/89

展开更多......

收起↑