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第十六章 整式的乘法
第十六章 整式的乘法 素养检测卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.计算(1 3)0 的结果是( )
A. 2 B.0 C.1 D.4
解析：原式= ( 2)0 = 1 .故选 C.
2.若(8 × 106) × (5 × 102) × (2 × 10) = × 10 ，则 ， 的值为( )
A. = 8， = 8 B. = 2， = 9 C. = 8， = 10 D. = 5， = 10
解析：∵ (8 × 106) × (5 × 102) × (2 × 10) = (8 × 5 × 2) × (106 × 102 × 10) = 80 × 109 = 8 ×
1010，∴ = 8， = 10 .故选 C.
3.计算 3 ( 2 2 3 + 3) 所得结果的次数是( )
A.8 B.9 C.14 D.24
解析： 3 ( 2 2 3 + 3) = 4 2 5 4 + 4 4， 4 的次数是 5， 2 5 4的次数是 9， 4 4
的次数是 8,5 < 8 < 9，∴ 所得结果的次数是 9.故选 B.
4.幂的乘方运算法则推导过程如下：
= （第一步）
( ↑)
( 个)
= + + + （第二步）
= .（第三步）
甲：第一步的依据是乘方的意义；
乙：第二步的依据是同底数幂的乘法法则；
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第十六章 整式的乘法
丙：第三步的依据是乘法的意义.
下列判断正确的是( )
A.甲、乙、丙都对 B.甲、乙、丙都错 C.只有丙错 D.只有乙错
解析：由推导过程可得第一步的依据是乘方的意义，第二步的依据是同底数幂的乘法法则，第
三步的依据是乘法的意义，故甲、乙、丙都对，故选 A.
5.一种长方体零件的体积为 12 3 3，底面积为 4 2 2 ，则零件的高为( )
A.4 2 2 B.4 C.3 2 2 D.3
解析：由题意得 12 3 3 ÷ 4 2 2 = 3 ，∴ 零件的高是 3 ，故选 D.
6.若( + + 1)( + 1) = 8，则 + 的值为( )
A.3 B.±3 C. 3 D.±5
解析：令 + = . ∵ ( + + 1)( + 1) = 8，∴ ( + 1)( 1) = 8 ，
∴ 2 1 = 8，∴ =± 3，∴ + =± 3 ，故选 B.
7.已知 = 2 + 1， = 2 + 2，其中 为正整数，下列两位同学的说法中正确的是( )
嘉嘉：由已知条件可知 < .
淇淇：由已知条件可知 0 < ≤ 1 .

A.只有嘉嘉正确 B.只有淇淇正确 C.两人都正确 D.两人都不正确
解析：∵ = 2 + 1， = 2 + 2， 为正整数，
∴ = 2 + 2 2 1 = 2 2 + 1 = ( 1)2 ≥ 0，∴ ≥ 0 ，
∴ ≥ ，与 < 不相符，故嘉嘉说法错误.∵ = 2 + 1， = 2 + 2， 为正整数，∴ ≥ 3，
≥ 3. ∵ ≥ ，∴ 0 < ≤ 1 ，故淇淇说法正确.故选 B.

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第十六章 整式的乘法
8.小李同学制作了如图所示的卡片 A 类、B 类、C 类各 10 张，其中 A、B 两类卡片都是正方
形，C 类卡片是长方形.现要拼一个两边长分别是 2 + 3 和 3 + 2 的大长方形，那么下列关
于他所准备的 C 类卡片的张数的说法中，正确的是( )
A.够用，剩余 5 张 B.够用，剩余 1 张
C.不够用，缺 2 张 D.不够用，缺 3 张
解析：大长方形的面积为(2 + 3 )(3 + 2 ) = 6 2 + 13 + 6 2 ，C 类卡片的面积是 ，∴
需要 C 类卡片的张数是 13，∴ C 类卡片不够用，还缺 3 张，故选 D.
9.如图（1），有两个正方形 A，B，先将 B 放在 A 的内部，如图（2），再将 A，B 并排放置后
构造新的正方形，如图（3）.若图（2）和图（3）中阴影部分的面积分别为 3 和21 ，则正方形
10 5
A，B 的面积之和为( )
图（1） 图（2） 图（3）
A.4.5 B.5.5 C.4 D.5
解析：
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10.设2 = 3，2 = 6，2 = 12 .现给出实数 , , 三者之间的四个关系式：① + = 2 ；② +
= 2 3 ；③ + = 2 + 1；④ 2 = 1 .其中，正确的关系式有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
解析：∵ 2 = 3，2 = 6，2 = 12，∴ 2 × 22 = 3 × 4 = 12 ，
2 × 2 = 6 × 2 = 12，∴ + 2 = + 1 = ，即 = + 1， = + 2 ，
∴ ① + = + + 2 = 2 + 2，2 = 2 + 2，∴ + = 2 ，正确，符合题意；
② + = + + 1 = 2 + 1，2 3 = 2 + 4 3 = 2 + 1，
∴ + = 2 3 ，正确，符合题意；
③ + = + 1 + + 2 = 2 + 3 ，错误，不符合题意；
④ 2 = ( + 1)2 ( + 2) = 2 + 2 + 1 2 2 = 1 ，正确，符合题意.
综上所述，正确的关系式有①②④，共 3 个.故选 C.
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.如果( 2)( + 3) = 2 + + ，那么 =___， = ____.
解析：
( 2)( + 3) = 2 + 3 2 6 = 2 + 6. ∵ ( 2)( + 3) = 2 + + ，
∴ = 1， = 6，故答案为 1， 6 .
12.计算：( 1 )2 024 × ( 3)2 025 = ____.
3
解析：原式= ( 1 )2 024 × ( 3)2 024 × ( 3) = [( 1 ) × ( 3)]2 024 × ( 3) = 12 024 × (
3 3
3) = 1 × ( 3) = 3，故答案为 3 .
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13.若 ， 为整数，且不论 取何值，关于 的整式( + )2和 2 + ( + 2) + 9 的值都相等，
则 的值为_______.
解析：∵ 不论 取何值，关于 的整式( + )2和 2 + ( + 2) + 9 的值都相等，
∴ ( + )2 = 2 + ( + 2) + 9，∴ 2 + 2 + 2 = 2 + ( + 2) + 9 ，
∴ 2 = + 2， 2 = 9，∴ =± 3， = 4 或 8.故答案为 4 或 8 .
14.如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折
起，制成一个高为 的长方体形状的无盖纸盒.若纸盒的容积为 4 2 ，底面长方形的一边长为
( < 4 ) ，则这个长方形纸板的面积是____________.
解析：设长方体底面的另一边长为 ，则4 2 = ，解得 = 4 ，所以长方形纸板的长为4 +
+ = 6 ，所以这个长方形纸板的面积是6 × (2 + ) = 12 2 + 6 ，故答案为12 2 + 6
.
15.规定两数 ， 之间的一种运算，记作( , )：如果 = ，那么( , ) = .例如：因为23 = 8，
所以(2,8) = 3 .根据上述规定，若(2,10) = ，(2,5) = ，则2 的值为___.

解析：∵ (2,10) = ，(2,5) = ，∴ 2 = 10，2 = 5，∴ 2 = 2 10 = = 2 ，故答案为 2.2 5
16.文敏同学在学习中发现下列各式存在一定的规律：
（1）( )( + ) = 2 2 ；
（2）( )( 2 + + 2) = 3 3 ；
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（3）( )( 3 + 2 + 2 + 3) = 4 4 .
请你结合上述规律，通过计算判断以下结论：
①( )( 5 + 4 + 3 2 + 2 3 + 4 + 5) = 6 6 ；
②( )( 1 + 2 + + 2 + 1) = （其中 为正整数，且 ≥ 2 ）；
③211 + 210 + 29 + 28 + 27 + + 22 + 2 = 212 1 ；
④311 + 310 + 39 + 38 + 37 + + 32 + 3 + 1 = 312 1 .
其中正确的有______（填序号）.
解析：（1）( )( + ) = 2 2；（2）( )( 2 + + 2) = 3 3 ；
（3）( )( 3 + 2 + 2 + 3) = 4 4 ；（4）
( )( 4 + 3 + 2 2 + 3 + 4) = 5 5 ；（5）
( )( 5 + 4 + 3 2 + 2 3 + 4 + 5) = 6 6；…;第( 1) 个式子为
( )( 1 + 2 + + 2 + 1) = ，故①②正确.
(2 1) × (211 + 210 + 29 + 28 + 27 + + 22 + 2 + 1) 1 = 212 1 1 = 212 2 ，
故③错误.
311 + 310 + 39 + 38 + 37 + + 32 + 3 + 1
= 1
12
(3 1)(311 + 310 + 39 + 38 + 37 + + 32 + 3 + 1) = 1 (312 1) = 3 1 ，
2 2 2 2
故④错误.故答案为①②.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）简便计算：
（1） 19 7 × ( 20 2 ) ；
9 9
解：原式= ( 20 + 2 )( 20 2 ) = （2 分）
9 9
( 20)2 ( 2 )2 = 400 4 = 399 77 .（4 分）
9 81 81
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（2）39.92 .
解：原式= (40 0.1)2
= 402 2 × 40 × 0.1 + 0.12 （6 分）
= 1 600 8 + 0.01
= 1 592.01 .（8 分）
18.（10 分）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写一个代
数式，记为 ， ， ，然后在黑板上写一个等式： = （ ， 为常数）.
（1）求 ， 的值；
解：由题意得 = ( 1)(2 + ) = 2 2 + ( 2) .（3 分）
∵ = ，∴ 2 2 + ( 2) = 2 2 + + ，∴ 2 = 1, = 3, = , 解得 = 3. （5 分）
（2）当 为任意正整数时， 2 2 的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组
有几个人（活动小组的人数大于 1）.
解：由（1）得 = 3, = 3, ∴ = 2 + 3， = 2
2 + 3 ，
∴ 2 2 = (2 + 3)2 2(2 2 + 3) = 10 + 15 = 5(2 + 3) .（8 分）
∵ 当 为任意正整数时， 2 2 的结果都能被这个活动小组的人数整除，
∴ 这个活动小组有 5 个人.（10 分）
19.（10 分）对 , 定义一种新运算： = 2 + .
如：( ) ( 2) = ( )2 + ( ) ( 2) ( 2) = 2 + 2 + 2 .
（1）计算：( 3) ( 1) = _________.
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第十六章 整式的乘法
解：∵ = 2 + ，∴ ( 3) ( 1) = ( 3)2 + ( 3) × ( 1) ( 1) = 9 + 3 + 1 =
13，故答案为 13. （3 分）
（2）计算：( 2 ) (4 3 ) .
解：( 2 ) (4 3 ) = ( 2 )2 + ( 2 )(4 3 ) (4 3 ) = 4 2 8 + 6 2 4+ 3 =
10 2 5 4 .（6 分）
（3）计算：( ) [ ( )] .
解：( ) [ ( )] = ( ) [( )2 + ( )( ) ( )]
= 2 2 2 +
= ( )2 + ( )( 2 2 2 + ) ( 2 2 2 + )
= 2 2 3 3 + 2 3 2 2 2 + 2
= 2 2 2 2 3 3 + 2 3 + 2 2
= 3 3 + 2 3 .（10 分）
20.（12 分）在计算(2 + )( + )时，甲错把 看成了 ，得到的结果是 2 2 10 + 12；
乙由于漏抄了第一个多项式中 的系数，得到的结果是 2 + 12 .
（1）求出 ， 的值；
解：根据题意，得(2 )( + ) = 2 2 + (2 ) = 2 2 10 + 12 ，
( + )( + ) = 2 + ( + ) + = 2 + 12 ，（4 分）
∴ 2 = 10, + = 1, （6 分）
解得 = 4, = 3, ∴ ， 的值分别为 4， 3 .（8 分）
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第十六章 整式的乘法
（2）计算(2 + )( + ) 的结果.
解：当 = 4， = 3 时，原式= (2 + 4)( 3) = 2 2 2 12 .（12 分）
21.（12 分）某同学在计算 3 × (4 + 1) × (42 + 1) 时，把 3 写成 4 1 后，发现可以连续运用
平方差公式计算：
3 × (4 + 1) × (42 + 1) = (4 1) × (4 + 1) × (42 + 1) = (42 1) × (42 + 1) = 162 1 ，他很
受启发.后来在求
(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) 时，联想到“凑成”平方差公式,即在乘积式
前面乘 1，
并且把 1 写成 2 1 得 2 1 2 + 1 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 232 + 1
= 22 1 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 232 + 1
= 24 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 232 + 1
= = 232 1 232 + 1
= 264 1 .
解答问题：
（1）计算：2 × (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) ；
解：2 × (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)
= (3 1)(3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)
= (32 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)
= (34 1)(34 + 1)(38 + 1)
= (38 1)(38 + 1) = 316 1 .（5 分）
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（2）化简：( + )( 2 + 2)( 4 + 4)( 8 + 8)( 16 + 16) .
解：当 = 时，( + )( 2 + 2)( 4 + 4)( 8 + 8)( 16 + 16)
= 2 × 2 2 × 2 4 × 2 8 × 2 16 = 32 31 .（8 分）
当 ≠ 时，
原式= 1 × + 2 + 2 4 + 4 8 + 8 16 + 16

1
= 2 2 2 + 2 4 + 4 8 + 8 16 + 16

= 1 ( 4 4)( 4 + 4) 8 + 8 16 + 16

1
= 8 8 8 + 8 16 + 16

1
= 16 16 16 + 16

=
32 32 .

31 32 32综上所述，当 = 时，原式= 32 ；当 ≠ 时，原式= .（12 分）

22.（14 分）【阅读材料】若 满足(9 )( 4) = 4，求(4 )2 + ( 9)2 的值.
设 9 = ， 4 = ，则(9 )( 4) = = 4 ，
+ = (9 ) + ( 4) = 5，∴ (4 )2 + ( 9)2
= (9 )2 + ( 4)2
= 2 + 2
= ( + )2 2
= 52 2 × 4 = 17 .
【解决问题】（1）若 满足(5 )( 2) = 2，求(5 )2 + ( 2)2 的值.
解：设 5 = ， 2 = ，则(5 )( 2) = = 2 ，
+ = (5 ) + ( 2) = 3 ，（2 分）
∴ (5 )2 + ( 2)2 = 2 + 2 = ( + )2 2 = 32 2 × 2 = 5 .（4 分）
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第十六章 整式的乘法
（2）如图，已知正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 上的点，且 = 1， = 3，
长方形 的面积是 48，分别以 ， 为边作正方形.
① =______， =______；（用含 的代数式表示）
解析： = = 1， = 3，故答案为 1， 3 .（6 分）
②求阴影部分的面积.
解：由题意得( 1)( 3) = 48 ，（7 分）
阴影部分的面积为 2 2 = ( 1)2 ( 3)2 .（8 分）
设 1 = ， 3 = ，则( 1)( 3) = = 48 ，
= ( 1) ( 3) = 2 ，（10 分）
∴ ( + )2 = ( )2 + 4 = 22 + 4 × 48 = 196，∴ + =± 14 .
又∵ + > 0，∴ + = 14 ，（12 分）
∴ ( 1)2 ( 3)2 = 2 2 = ( + )( ) = 14 × 2 = 28 ，
即阴影部分的面积是 28.（14 分）
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第十六章 整式的乘法 素养检测卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.计算(1 3)0 的结果是( )
A. 2 B.0 C.1 D.4
2.若(8 × 106) × (5 × 102) × (2 × 10) = × 10 ，则 ， 的值为( )
A. = 8， = 8 B. = 2， = 9
C. = 8， = 10 D. = 5， = 10
3.计算 3 ( 2 2 3 + 3) 所得结果的次数是( )
A.8 B.9 C.14 D.24
4.幂的乘方运算法则推导过程如下：
( ) = （第一步）
( ↑)
( 个)
= + + + （第二步）
= .（第三步）
甲：第一步的依据是乘方的意义；
乙：第二步的依据是同底数幂的乘法法则；
丙：第三步的依据是乘法的意义.
下列判断正确的是( )
A.甲、乙、丙都对 B.甲、乙、丙都错 C.只有丙错 D.只有乙错
5.一种长方体零件的体积为12 3 3，底面积为4 2 2 ，则零件的高为( )
A.4 2 2 B.4 C.3 2 2 D.3
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6.若( + + 1)( + 1) = 8，则 + 的值为( )
A.3 B.±3 C. 3 D.±5
7.已知 = 2 + 1， = 2 + 2，其中 为正整数，下列两位同学的说法中正确的是( )
嘉嘉：由已知条件可知 < .

淇淇：由已知条件可知0 < ≤ 1 .

A.只有嘉嘉正确 B.只有淇淇正确 C.两人都正确 D.两人都不正确
8.小李同学制作了如图所示的卡片 A 类、B 类、C 类各 10 张，其中 A、B 两类卡片都是正方
形，C 类卡片是长方形.现要拼一个两边长分别是2 + 3 和3 + 2 的大长方形，那么下列关
于他所准备的 C 类卡片的张数的说法中，正确的是( )
A.够用，剩余 5 张 B.够用，剩余 1 张
C.不够用，缺 2 张 D.不够用，缺 3 张
9.如图（1），有两个正方形 A，B，先将 B 放在 A 的内部，如图（2），再将 A，B 并排放置后
3 21
构造新的正方形，如图（3）.若图（2）和图（3）中阴影部分的面积分别为 和 ，则正方形
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A，B 的面积之和为( )
图（1） 图（2） 图（3）
A.4.5 B.5.5 C.4 D.5
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第十六章 整式的乘法
10.设2 = 3，2 = 6，2 = 12 .现给出实数 , , 三者之间的四个关系式：① + = 2 ；②
+ = 2 3 ；③ + = 2 + 1；④ 2 = 1 .其中，正确的关系式有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.如果( 2)( + 3) = 2 + + ，那么 =___， = ____.
1
12.计算：( )2 024 × ( 3)2 025 = ____.
3
13.若 ， 为整数，且不论 取何值，关于 的整式( + )2和 2 + ( + 2) + 9的值都相等，
则 的值为_______.
14.如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折
起，制成一个高为 的长方体形状的无盖纸盒.若纸盒的容积为4 2 ，底面长方形的一边长为
( < 4 ) ，则这个长方形纸板的面积是____________.
15.规定两数 ， 之间的一种运算，记作( , )：如果 = ，那么( , ) = .例如：因为23 = 8，
所以(2,8) = 3 .根据上述规定，若(2,10) = ，(2,5) = ，则2 的值为___.
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16.文敏同学在学习中发现下列各式存在一定的规律：
（1）( )( + ) = 2 2 ；
（2）( )( 2 + + 2) = 3 3 ；
（3）( )( 3 + 2 + 2 + 3) = 4 4 .
请你结合上述规律，通过计算判断以下结论：
①( )( 5 + 4 + 3 2 + 2 3 + 4 + 5) = 6 6 ；
②( )( 1 + 2 + + 2 + 1) = （其中 为正整数，且 ≥ 2 ）；
③211 + 210 + 29 + 28 + 27 + + 22 + 2 = 212 1 ；
④311 + 310 + 39 + 38 + 37 + + 32 + 3 + 1 = 312 1 .
其中正确的有______（填序号）.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）简便计算：
7 2
（1） 19 × ( 20 ) ；
9 9
（2）39.92 .
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18.（10 分）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写一个代
数式，记为 ， ， ，然后在黑板上写一个等式： = （ ， 为常数）.
（1）求 ， 的值；
（2）当 为任意正整数时， 2 2 的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组
有几个人（活动小组的人数大于 1）.
19.（10 分）对 , 定义一种新运算： = 2 + .
如：( ) ( 2) = ( )2 + ( ) ( 2) ( 2) = 2 + 2 + 2 .
（1）计算：( 3) ( 1) = _________.
（2）计算：( 2 ) (4 3 ) .
（3）计算：( ) [ ( )] .
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20.（12 分）在计算(2 + )( + )时，甲错把 看成了 ，得到的结果是2 2 10 + 12；
乙由于漏抄了第一个多项式中 的系数，得到的结果是 2 + 12 .
（1）求出 ， 的值；
（2）计算(2 + )( + ) 的结果.
21.（12 分）某同学在计算3 × (4 + 1) × (42 + 1) 时，把 3 写成4 1后，发现可以连续运用平
方差公式计算：
3 × (4 + 1) × (42 + 1) = (4 1) × (4 + 1) × (42 + 1) = (42 1) × (42 + 1) = 162 1 ，他很
受启发.后来在求
(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) 时，联想到“凑成”平方差公式,即在乘积式
前面乘 1，
并且把 1 写成(2 1)得(2 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)
= (22 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)
= (24 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)
= = (232 1)(232 + 1)
= 264 1 .
解答问题：
（1）计算：2 × (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) ；
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第十六章 整式的乘法
（2）化简：( + )( 2 + 2)( 4 + 4)( 8 + 8)( 16 + 16) .
22.（14 分）【阅读材料】
若 满足(9 )( 4) = 4，求(4 )2 + ( 9)2 的值.
设9 = ， 4 = ，则(9 )( 4) = = 4 ，
+ = (9 ) + ( 4) = 5，
∴ (4 )2 + ( 9)2
= (9 )2 + ( 4)2
= 2 + 2
= ( + )2 2
= 52 2 × 4 = 17 .
【解决问题】
（1）若 满足(5 )( 2) = 2，求(5 )2 + ( 2)2 的值.
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第十六章 整式的乘法
（2）如图，已知正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 上的点，且 = 1， = 3，
长方形 的面积是 48，分别以 ， 为边作正方形.
① =______， =______；（用含 的代数式表示）
②求阴影部分的面积.
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