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第十七章 因式分解
第十七章 因式分解 综合检测卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.多项式3 2 + 6 的公因式是( )
A.3 B. C.3 D.3
2.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A.3 + 3 5 = 3( + ) 5 B.( + 1)( 1) = 2 1
C. 2 + 2 + 1 = ( + 1)2 D. 2 + 6 + 4 = ( + 3)2 5
3.运用公式 2 2 + 2 = ( )2 直接对整式9 2 12 + 4进行因式分解，则公式中的
可以是( )
A.3 B.9 C.3 2 D.9 2
4. 课堂上老师在黑板上布置了如下所示的题目：用平方差公式分解下列各式：
(1)a2 b2;(2) x2 y2;(3) x2 + 9;(4)4m2 25n2 .
小南马上发现了其中有一道题目错了，错误的是( )
A.第（1）道题 B.第（2）道题 C.第（3）道题 D.第（4）道题
5. 如果 + = 3， = 1，那么 3 + 2 2 2 + 3 的值为( )
A.0 B.1 C.4 D.9
1 1
6. 设 = ( + 1)( + 2)， = ( 1)( + 1) ，那么 等于( )
3 3
A. 2 + B.( + 1)( + 2) C.1 1 1 2 + D. ( + 1)( + 2)
3 3 3
652×11 352×11
7. 若 的结果为整数，则整数 的值不可能是( )

A.44 B.55 C.66 D.77
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第十七章 因式分解
8. 在日常生活中取款、登录账号等都需要密码，有一种用“因式分解”法生成的密码记忆方便.
原理是如对于多项式 4 4 ，因式分解的结果是( )( + )( 2 + 2)，若取 = 9， = 9，
则各个因式的值是 = 0 ， + = 18， 2 + 2 = 162 ，于是就可以把“018162”作为一个
六位数的密码.对于多项式 3 2，取 = 50， = 20 ，用上述方法生成的密码不可能是(
)
A.503070 B.507030 C.307040 D.703050
9. 将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一
个等式.例如，由图（1）可得等式 2 + ( + ) + = ( + )( + ) .将若干张图（2）所示
的卡片进行拼图，可以将二次三项式 2 + 3 + 2 2 分解因式为( )
A.( + )(2 + ) B.( + )( + 2 )
C.( + 2 )(3 + ) D.( + )( + 3 )
10. 我们定义：若一个整式能表示成 2 + 2 （ , 是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”.
例如：因为 = 2 + 2 + 2 2 = ( + )2 + （2 , 是整式），所以 为“完全式”.若 = 2 + 4
2 8 + 12 + （ , 是整式， 为常数）为“完全式”，则 的值为( )
A.26 B.25 C.24 D.23
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为 + 10 ，请你写出一个符合条件的多项式：_
_______________________.
12. 分解因式：22 025 22 024 = ______.
1
13. 若多项式 2 + 2 能用完全平方公式因式分解，则 的值是____.
4
1 1 1 1
14. 计算(1 2)(1 2)…(1 2)(1 2) 的值是___． 2 3 9 10
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15. 对于二次三项式 2 + + ，如果能将常数项 分解成两个因数 ， ，使 ， 的和恰好
等于一次项系数 ，即 = ， + = ，就能将 2 + + 分解因式，这种分解因式的
方法取名为“十字相乘法”.为使分解过程直观，常常采用如图所示的方法，将二次项系数的因
数与常数项的因数分列两边，再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解.
根据上述方法，代数式 2 2 15 因式分解的结果为______________.
16. 小明从分别标有 1 到 21 的 21 张卡片中抽出两张，结果发现两个数字中较大数 2 倍的平方
减去较小数的平方刚好等于这 21 张卡片上数字之和，那么所抽出两个数字的积是____.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17. （8 分）因式分解：
（1） 3 2 + 12 ； （2）2 2 8 ；
（3）2( ) + 4 ( ) ； （4）2 ( 6) + 18 .
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18. （10 分）利用因式分解计算：
（1）45.82 91.6 × 35.8 + 35.82 ；
（2）9 × 1.22 16 × 1.42 .
19. （10 分）如图，长方形 的长为 ，宽为 ，已知长比宽多 1，且面积为 12，求下列
各式的值：
（1） 2 2 ；
（2）3 3 6 2 2 + 3 3 .
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20. （12 分）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行相关运算
和解题，这种解题方法叫作配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用.
例如：①用配方法因式分解： 2 + 6 + 8 .
解析： 2 + 6 + 8 = 2 + 6 + 9 1 = ( + 3)2 1
= ( + 3 + 1)( + 3 1) = ( + 4)( + 2) .
②求 2 + 6 + 8 的最小值.
解析： 2 + 6 + 8 = 2 + 6 + 9 1 = ( + 3)2 1 .
∵ ( + 3)2 ≥ 0 ，
∴ ( + 3)2 1 ≥ 1 ，
即 2 + 6 + 8的最小值为 1 .
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： 2 + 4 + _________.
（2）利用上述方法进行因式分解析： 2 10 + 21 .
（3）求4 2 + 4 + 5 的最小值.
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21.探究性问题（12 分）若一个正整数 能表示成 2 2( ， 是正整数，且 > )的形式，
则称这个数为“明礼崇德数”， 与 是 的一个平方差分解．例如：因为5 = 32 22 ，所以 5
是“明礼崇德数，”3 与 2 是 5 的平方差分解；再如： = 2 + 2 = 2 + 2 + 2 2 = ( +
)2 2 （ ， 是正整数），所以 也是“明礼崇德数”， + 与 是 的一个平方差分解．
（1）【尝试填空】判断：3___明礼崇德数”（填“是”或“不是）”；
（2）【解决问题】已知 2 + 与 2是 的一个平方差分解，求代数式 （用含 ， 的式子表
示）；
（3）【拓展应用】已知 = 2 2 + 4 6 + ( ， 是正整数， 是常数，且 > + 1)，
要使 是“明礼崇德数，” 试求出符合条件的 值，并说明理由.
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22.探究性问题（14 分）第一步：阅读材料，拓展知识.要把多项式 + + + 分解因
式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式 ，再把它的后两项分成一组，提出公因式
，从而可得 + + + = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( +
)( + ) ，这种方法称为分组法.
第二步：理解知识，尝试填空.
（1） + 2 = ( ) + ( 2) = ( ) + ( ) = ________________
_____.
第三步：应用知识，解决问题.
（2）因式分解： 2 + 5 5 = ___________________________.
第四步：提炼思想，拓展应用.
（3）已知三角形的三边长分别是 ， ， ，且满足 2 + 2 2 + 2 = 2 ( + ) ，试判断这个
三角形的形状，并说明理由.
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第十七章 因式分解 综合检测卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.多项式 3 2 + 6 的公因式是( )
A.3 B. C.3 D.3
解析：多项式 3 2 + 6 的公因式是 3 ，故选 C.
2.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A.3 + 3 5 = 3( + ) 5 B.( + 1)( 1) = 2 1
C. 2 + 2 + 1 = ( + 1)2 D. 2 + 6 + 4 = ( + 3)2 5
解析：3 + 3 5 = 3( + ) 5 中等号右边不是乘积的形式，故 A 不符合题意；
( + 1)( 1) = 2 1 是乘法运算，故 B 不符合题意；
2 + 2 + 1 = ( + 1)2 符合因式分解的定义，故 C 符合题意；
2 + 6 + 4 = ( + 3)2 5 中，等号右边不是乘积的形式，故 D 不符合题意.故选 C.
3.运用公式 2 2 + 2 = ( )2 直接对整式 9 2 12 + 4 进行因式分解，则公式中的
可以是( )
A.3 B.9 C.3 2 D.9 2
解析：9 2 12 + 4 = (3 )2 2 × 3 × 2 + 22 = (3 2)2，
∴ 公式中的 可以是 3 .故选 A.
4. 课堂上老师在黑板上布置了如下所示的题目：用平方差公式分解下列各式：
(1)a2 b2;(2) x2 y2;(3) x2 + 9;(4)4m2 25n2 .
小南马上发现了其中有一道题目错了，错误的是( )
A.第（1）道题 B.第（2）道题 C.第（3）道题 D.第（4）道题
解析：（1） 2 2 = ( + )( ) ，它可以利用平方差公式因式分解；
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（2） 2 2 = ( 2 + 2) ，它不能利用平方差公式因式分解；
（3） 2 + 9 = 32 2 = (3 + )(3 ) ，它可以利用平方差公式因式分解；
（4）4 2 25 2 = (2 + 5 )(2 5 ) ，它可以利用平方差公式因式分解综上，
第（2）道题错误，故选 B.
5. 如果 + = 3， = 1，那么 3 + 2 2 2 + 3 的值为( )
A.0 B.1 C.4 D.9
解析：∵ + = 3， = 1 ，
∴ 3 + 2 2 2 + 3 = ( 2 + 2 + 2) = ( + )2 = 1 × 32 = 9 ，故选 D.
6. 设 = 1 ( + 1)( + 2)， = 1 ( 1)( + 1) ，那么 等于( )
3 3
A. 2 + B.( + 1)( + 2) C.1 2 + 1 D.1 ( + 1)( + 2)
3 3 3
解析： = 1 ( + 1)( + 2) 1 ( 1)( + 1)
3 3
= 1 ( + 1)[ + 2 ( 1)] = 2 + .故选 A.
3
7. 若65
2×11 352×11的结果为整数，则整数 的值不可能是( )

A.44 B.55 C.66 D.77
解析：原式= 11×(65
2 352) = 11×(65+35)×(65 35) = 11×100×30 = 11×2
3×3×53 .

当 = 44 时，44 = 22 × 11，是 11 × 23 × 3 × 53 的因子，
可使结果为整数，故选项 A 不符合题意；
当 = 55 时，55 = 11 × 5，是 11 × 23 × 3 × 53 的因子，
可使结果为整数，故选项 B 不符合题意；
当 = 66 时，66 = 2 × 3 × 11，是 11 × 23 × 3 × 53 的因子，
可使结果为整数，故选项 C 不符合题意；
当 = 77 时，77 = 7 × 11 ，不是 11 × 23 × 3 × 53 的因子，不可使结果为整数，
故选项 D 符合题意.故选 D.
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第十七章 因式分解
8. 在日常生活中取款、登录账号等都需要密码，有一种用“因式分解”法生成的密码记忆方便.
原理是如对于多项式 4 4 ，因式分解的结果是( )( + )( 2 + 2)，若取 = 9， = 9，
则各个因式的值是 = 0 ， + = 18， 2 + 2 = 162 ，于是就可以把“018162”作为一个
六位数的密码.对于多项式 3 2，取 = 50， = 20 ，用上述方法生成的密码不可能是(
)
A.503070 B.507030 C.307040 D.703050
解析：∵ 3 2 = ( 2 2) = ( + )( ). ∵ = 50， = 20，
∴ 各个因式的值为 = 50， + = 70， = 30，
∴ 产生的密码不可能是 307040，故选 C.
9. 将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一
个等式.例如，由图（1）可得等式 2 + ( + ) + = ( + )( + ) .将若干张图（2）所示
的卡片进行拼图，可以将二次三项式 2 + 3 + 2 2 分解因式为( )
A.( + )(2 + ) B.( + )( + 2 )
C.( + 2 )(3 + ) D.( + )( + 3 )
解析：如图，∴ 2 + 3 + 2 2 = ( + )( + 2 ) ，故选 B.
10. 我们定义：若一个整式能表示成 2 + 2 （ , 是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”.
例如：因为 = 2 + 2 + 2 2 = ( + )2 + 2（ , 是整式），所以 为“完全式”.若 = 2 +
4 2 8 + 12 + （ , 是整式， 为常数）为“完全式”，则 的值为( )
A.26 B.25 C.24 D.23
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第十七章 因式分解
解析： = 2 + 4 2 8 + 12 + = 2 8 + 16 + 4 2 + 12 + 9 + 25
= ( 4)2 + (2 + 3)2 + 25.
∵ = 2 + 4 2 8 + 12 + （ ， 是整式， 为常数）为“完全式”，
∴ 25 = 0，解得 = 25 ，故选 B.
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为 + 10 ，请你写出一个符合条件的多项式：_
_______________________.
解析：∵ 2 100 = ( + 10)( 10)，∴ 符合条件的一个多项式是 2 100 ，
故答案为 2 100 （答案不唯一）.
12. 分解因式：22 025 22 024 = ______.
解析：22 025 22 024 = 22 024 × 2 22 024 = 22 024 × (2 1) = 22 024 ，故答案为22 024 .
13. 若多项式1 2 + 2 能用完全平方公式因式分解，则 的值是____.
4
解析：∵ 多项式1 2 + 2能用完全平方公式因式分解，∴ =± 1 .
4
14. 计算(1 1 )(1 12 2 )…(1
1
2 )(1
1
2 ) 的值是___．2 3 9 10
解析：原式= (1 + 1 )(1 1 )(1 + 1 )(1 1 ) …(1 + 1 )(1 1 ) × (1 + 1 )(1 1 )
2 2 3 3 9 9 10 10
= 3 × 1 × 4 × 2 × × 10 × 8 × 11 × 9 = 1 × 11 = 11．故答案为11 ．
2 2 3 3 9 9 10 10 2 10 20 20
15. 对于二次三项式 2 + + ，如果能将常数项 分解成两个因数 ， ，使 ， 的和恰好
等于一次项系数 ，即 = ， + = ，就能将 2 + + 分解因式，这种分解因式的
方法取名为“十字相乘法”.为使分解过程直观，常常采用如图所示的方法，将二次项系数的因
数与常数项的因数分列两边，再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解.
根据上述方法，代数式 2 2 15 因式分解的结果为______________.
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第十七章 因式分解
解析：如图， 2 2 15 = ( 5)( + 3) .
16. 小明从分别标有 1 到 21 的 21 张卡片中抽出两张，结果发现两个数字中较大数 2 倍的平方
减去较小数的平方刚好等于这 21 张卡片上数字之和，那么所抽出两个数字的积是____.
解析：设这两个数分别为 ， (1 ≤ < ≤ 21) .
由题意可得(2 )2 2 = 1 + 2 + 3 + + 21 = 231. ∵ 1 ≤ < ≤ 21，
∴ 5 ≤ 2 + ≤ 62 , 3 ≤ 2 ≤ 41,
∴ (2 + )(2 ) = 11 × 21 或(2 + )(2 ) = 33 × 7 ，
2 + = 21, 2 + = 33, = 8, = 10,
即 2 = 11或 2 = 7, 解得 = 5或 = 13 （不符合题意，舍去）.
当 = 8， = 5 时， = 40 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17. （8 分）因式分解：
（1） 3 2 + 12 ；
解：原式= 3 ( 4) .（2 分）
（2）2 2 8 ；
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第十七章 因式分解
解：原式= 2 ( 2 4) （3 分）
= 2 ( + 2)( 2) .（4 分）
（3）2( ) + 4 ( ) ；
解：原式= 2( ) 4 ( ) （5 分）
= 2( )(1 2 ) .（6 分）
（4）2 ( 6) + 18 .
解：原式= 2( 2 6 + 9) （7 分）
= 2( 3)2 .（8 分）
18. （10 分）利用因式分解计算：
（1）45.82 91.6 × 35.8 + 35.82 ；
解：原式= 45.82 2 × 45.8 × 35.8 + 35.82 （3 分）
= (45.8 35.8)2
= 102
= 100 .（5 分）
（2）9 × 1.22 16 × 1.42 .
解：原式= 32 × 1.22 42 × 1.42 （7 分）
= 3.62 5.62
= (3.6 + 5.6) × (3.6 5.6) （9 分）
= 9.2 × ( 2)
= 18.4 .（10 分）
19. （10 分）如图，长方形 的长为 ，宽为 ，已知长比宽多 1，且面积为 12，求下列
各式的值：
（1） 2 2 ；
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第十七章 因式分解
解：根据题意得 = 1， = 12 .（2 分）
原式= ( ) = 12 × 1 = 12 .（5 分）
（2）3 3 6 2 2 + 3 3 .
解：由（1）知， = 1， = 12 ，
则原式= 3 ( 2 2 + 2) = 3 ( )2
= 3 × 12 × 12 = 36 .（10 分）
20. （12 分）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行相关运算
和解题，这种解题方法叫作配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用.
例如：①用配方法因式分解： 2 + 6 + 8 .
解析： 2 + 6 + 8 = 2 + 6 + 9 1 = ( + 3)2 1
= ( + 3 + 1)( + 3 1) = ( + 4)( + 2) .
②求 2 + 6 + 8 的最小值.
解析： 2 + 6 + 8 = 2 + 6 + 9 1 = ( + 3)2 1 .
∵ ( + 3)2 ≥ 0 ，
∴ ( + 3)2 1 ≥ 1 ，
即 2 + 6 + 8 的最小值为 1 .
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： 2 + 4 + _________.
解： 2 + 4 + 4 = ( + 2)2，即添加的常数项为 4，故答案为 4.（2 分）
（2）利用上述方法进行因式分解析： 2 10 + 21 .
解： 2 10 + 21 = 2 10 + 25 4 = ( 5)2 4
= ( 5 + 2)( 5 2) = ( 3)( 7) .（7 分）
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第十七章 因式分解
（3）求 4 2 + 4 + 5 的最小值.
解：4 2 + 4 + 5 = 4 2 + 4 + 1 + 4 = (2 + 1)2 + 4 .（10 分）
∵ (2 + 1)2 ≥ 0，∴ (2 + 1)2 + 4 ≥ 4，
即 4 2 + 4 + 5 的最小值为 4.（12 分）
21.探究性问题（12 分）若一个正整数 能表示成 2 2( ， 是正整数，且 > )的形式，则
称这个数为“明礼崇德数”， 与 是 的一个平方差分解．例如：因为 5 = 32 22 ，所以 5 是
“明礼崇德数”，3 与 2 是 5 的平方差分解；再如： = 2 + 2 = 2 + 2 + 2 2 = ( +
)2 2 （ ， 是正整数），所以 也是“明礼崇德数”， + 与 是 的一个平方差分解．
（1）【尝试填空】判断：3___明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；
解：∵ 3 = 22 12，∴ 3 是“明礼崇德数”，故答案为是.（2 分）
（2）【解决问题】已知 2 + 与 2是 的一个平方差分解，求代数式 （用含 ， 的式子表示）；
解：根据题意得
= ( 2 + )2 ( 2)2 = ( 2 + + 2)( 2 + 2) = 2 2 + 2 .（7 分）
（3）【拓展应用】已知 = 2 2 + 4 6 + ( ， 是正整数， 是常数，且 > + 1)，
要使 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的 值，并说明理由.
解： = 5 .理由如下：
∵ = 2 2 + 4 6 + = ( 2 + 4 + 4) ( 2 + 6 + 9) + + 5
= ( + 2)2 ( + 3)2 + + 5 ，
∴ 当 + 5 = 0 时， = ( + 2)2 ( + 3)2为“明礼崇德数”，
此时 = 5 ，故当 = 5 时，
为“明礼崇德数”.（12 分）
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第十七章 因式分解
22.探究性问题（14 分）第一步：阅读材料，拓展知识.要把多项式 + + + 分解因
式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式 ，再把它的后两项分成一组，提出公因式 ，
从而可得 + + + = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( +
)( + ) ，这种方法称为分组法.
第二步：理解知识，尝试填空.
（1） + 2 = ( ) + ( 2) = ( ) + ( ) = _________________
____.
解： + 2 = + 2 = +
= ( ) ( ) = ( )( )，
故答案为( )( ).（4 分）
第三步：应用知识，解决问题.
（2）因式分解： 2 + 5 5 = ___________________________.
【解】 2 + 5 5 = 2 + 5 5 = + 5
= ( ) 5( ) = ( )( 5)
故答案为( )( 5).（8 分）
第四步：提炼思想，拓展应用.
（3）已知三角形的三边长分别是 ， ， ，且满足 2 + 2 2 + 2 = 2 ( + ) ，试判断这个
三角形的形状，并说明理由.
解：这个三角形为等边三角形.理由如下：∵ 2 + 2 2 + 2 = 2 ( + ) ，
∴ 2 + 2 2 + 2 2 2 = 0，∴ 2 2 + 2 + 2 2 + 2 = 0 ，
∴ ( )2 + ( )2 = 0 .（12 分）
∵ ( )2 ≥ 0，( )2 ≥ 0，∴ = 0， = 0，∴ = = ，
∴ 这个三角形是等边三角形.（14 分）
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