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第十八章 分式
第十八章 分式 基础诊断卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.下列是分式的是( )
A. 3 B. + 1 C. D.
1 2 4
解析：由题意得， 3 是分式， + 1， 和 都是整式，∴ 选项 A 符合题意，选项 B，C，D
1 2 4
不符合题意，故选 A.
2.计算 2 的结果是( )

A.2 B. C. D.2
2
解析： 2 = 2 = 2 ，故选 A.

3.人体内一种细胞的直径约为 1.56 微米，相当于 0.000 001 56 米，数字 0.000 001 56 用科学
记数法表示为( )
A.1.56 × 10 5 B.0.156 × 10 5 C.1.56 × 10 6 D.15.6 × 10 7
解析：0.000 001 56 = 1.56 × 10 6 ，故选 C.
4.根据下列表格中的信息， 代表的分式可能是( )
… 2 1 0 1 2 …
… 0 * * 无意义 * …
A. 1 B. +2 C. +2 D. 2
+2 +1 1 1
解析：∵ 当 = 1 时，分式无意义，∴ 分式的分母可能是 1. ∵ 当 = 2 时，
分式为 0，∴ 分式的分子可能是 + 2，∴ 分式可能是 +2 ，故选 C.
1
5.下列式子从左到右变形一定正确的是( )
A. 2 B. = +1= C.
2+ 2
2 +1 = +
D. =
+
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第十八章 分式
解析：
选项 分子、分母变化情况 是否符合分式的基本性质
A 分子乘 ，分母乘 不符合
B 分子、分母同时加 1 不符合
C 分母除以 + ，分子不是除以 + 不符合
D 分子、分母同时乘 1 符合
故选 D.
6.解分式方程1 1 = 1 ，去分母后，结果正确的是( )
2
A.2 1 = 1 B.2 1 + = 2 C.2 1 + = 1 D.2 1 = 2
解析：1 1 = 1，两边同乘 2 ，得 2 (1 ) = 2 ，即 2 1 + = 2 ，故选 B.
2
7.秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活.如图（1）和图（2），欣欣
通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，
则由两幅图可得方程( )
图（1） 图（2）
A.24 = 9 B.24 = 10 C.24 = 9 D.24 = +10
32 10 32 9 32 +10 32 9
解析：根据题图（1）和题图（2），∵ 直尺 A 的对应长度分别为 24，9，直尺 B 的对应长度
分别为 32， 10，∴ 列方程为24 = 9 .故选 A.
32 10
8.已知 + = 3 4 ，则常数 ， 的值分别是( )
1 2 ( 1)( 2)
A. = 2， = 1 B. = 1， = 2
C. = 1， = 2 D. = 2， = 1
解析： + = ( 2) + ( 1) = 2 + = ( + ) (2 + ) .
1 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)
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∵ + = 3 4 + = 3,①，∴ ② ①得 = 1，把 = 1 代入①得 = 2，∴
1 2 ( 1)( 2) 2 + = 4,②
方程组的解为 = 1, = 2, 故选 B.
9.已知关于 的分式方程 2 = 3 无解，则 的值为( )
3 3
A. = 2 或 = 1 B. = 2 C. = 2 或 = 1 D. = 1
解析： 2 = 3 去分母并整理得( 2) = 9.①当 2 = 0 时,整式方程无解,即原分式
3 3
方程无解,此时 = 2;②当 2 ≠ 0 时，解得 = 9 .∵ 关于 的分式方程 2 = 3 无解，
2 3 3
∴ 3 = 0，解得 = 3，则 9 = 3，解得 = 1 ，经检验, = 1 是方程 9 = 3 的解.综上,
2 2
= 1 或 = 2 .故选 A.
分式方程无解
将分式方程化为整式方程后，①当整式方程无解时，分式方程无解；②当整式方程有解，但
所有解都是分式方程的增根时，分式方程也无解.
10.规律探究，已知代数式 ，第一次操作将 作为新的 代入 中,化简后得到新的式子记
+1 +1 +1
为 = 1 ，第二次操作将
作为新的 代入 1中,化简后得到新的式子记为 =

2 ，第三2 +1 2 +1 4 +1
次操作将 作为新的 代入 2 中,化简后得到新的式子记为 3, ,以此类推，有以下结论：4 +1
① = 3 ；②若
1 < < 1，则 87 < 1 + 1 + 1 < 90；③不存在整数 使得 2 的值为负整
6 +1 2 2 4 6 5
数.
其中正确的有( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析：依题意得 1 = ， =
， = 4 +1 = 4 +1 = ，故①不正确.由题易得
2 +1 2 4 +1 3 4× +1 4 +4 +14 +1 8 +14 +1
规律 = 2 ，∴ = , = , +1 4 16 +1 6 64 +1
∴ 1 + 1 + 1 = 4 +1+ 16 +1 + 64 +1 = 84 +3 = 84 + 3.∵ 1 < < 1，∴ 3 < 3 < 6 ，
2 4 6 2
∴ 87 < 1 + 1 + 1 < 90，故②正确.∵ = ,
2 4 56 32 +1
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∴ 2 = 4 +1 =
32 +1 = 32 +8 7 = 8 7 .若要使 2为整数，且 为整数，则 4 + 1 = 7 或 4 +
5 32 +1 4 +1 4 +1 4 +1 5
1 = 1，∴ = 0 或 = 2. ∵ 当 = 0 时， = 0， 25 无意义；当 = 2 时，
2 = 9 > 0，∴
5 5
不存在整数 使得 2 的值为负整数，故③正确.综上所述，正确的结论有②③，共 2 个,
5
故选 C.
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.从代数式 3， 2 1， + 1 中任选两个，组成一个最简分式：_________________（写出一
个即可）
解析：分式可以为 3 .故答案为 3 （答案不唯一）.
+1 +1
12.分式 1 ， 的最简公分母是______.
2 4 2
解析：分式 1 ， 2的最简公分母为 4 2.故答案为 4 2 .2 4
13.如果( )2 =
2
4 ( ≠ 0)，那么 与 之间的关系为____________.
2 2 2
解析：∵ ( )2 = ，∴ 2 44 2 = 4，∴ = ，方程两边同时开方，得 =± 2 ，故答案为 =± 2
.
14.学习了“分式的加减法”，小刚同学画出了如下运算流程图：图中①代表的运算步骤为_____
_，②代表的运算步骤为______.（填“通分”或“约分”）
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第十八章 分式
解析：两个分式是异分母时，应先确定最简公分母，再进行通分；如果同分母的分式进行加减
运算后不是最简分式，应进行约分.故答案为通分,约分.
15.定义新运算：对于非零的两个实数 和 ，规定 1 2※ = ，如 3 1 2※2 = = 1.
2 3 6
若( 4)※( + 1) = 0，则 的值为____.
解析：∵ = 1 2※ ，∴ ( 4)※( + 1) = 1 2 .∵ ( 4)※( + 1) = 0，
+1 4
∴ 1 2 = 0，解得 = 6.经检验， = 6 是 1 2 = 0 的解.故答案为 6 .
+1 4 +1 4
16.阅读资料：
使等式 + 3 = 1 + 3 成立的 的值为 = 1 或 = 3 ；

使等式 + 3 = 2 + 3成立的 的值为 = 2 或 = 3 ；
2 2
使等式 + 3 = 4 + 3成立的 的值为 = 4 或 = 3 ；….
4 4
按此规律，使等式 + 7 2 = 67成立的 的值为_______.
2 8
2 2
解析：∵ + 7 2 = 67，∴ ( 2) + 7 2 = 67，∴ 4 +7 = 67 ，即 4 +4+3 = 8 + 3，
2 8 2 2 8 2 8 2 8
∴ ( 2)
2+3 = 8 + 3，即 2+ 3 = 8 + 3 .根据题意，可得 2 = 8 或 2 = 3，解得 =
2 8 2 8 8
10 或 = 19.经检验， = 10 或 = 19 是原方程的解，故答案为 10 或19 .
8 8 8
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）计算：
25 2（1） ÷ 52
3 ；
6 +9 2 6 +5
解：原式= (5 )(5+ )2
2( 3) 3 …………（2 分）= 2 .…………（4 分）
( 3) 5 +5
（2）(1 6
2
) ÷ 14 +49 .
1 2
1 6 ( 7)2解：原式= ÷ …………（6 分）
1 ( 1)
= 7 ( 1)2 …………（7 分） 1 ( 7)
= .…………（8 分）
7
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18.（10 分）解分式方程：
（1）1 = 4 ；
+3
解：方程两边同乘 ( + 3)，得 + 3 = 4 ，……（2 分）解得 = 1 .…………（4 分）
检验：当 = 1 时， ( + 3) ≠ 0，故原方程的解为 = 1 .…………（5 分）
（2） 1 = 3 .
1 ( 1)( +2)
解：方程两边同乘( 1)( + 2)，得 ( + 2) ( 1)( + 2) = 3 ，……（7 分）
整理得 + 2 = 3，解得 = 1 .…………（9 分）
检验：当 = 1 时，( 1)( + 2) = 0 ，故原方程无解.…………（10 分）
19.（10 分）某超市的一种瓶装饮料每箱售价为 36 元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，
买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售的这种饮料每箱多少瓶.
解：设这家超市销售的这种饮料每箱 瓶.根据题意得 36 = 36 × 0.9 ，……（5 分）
+2
解得 = 18 .…………（7 分）
经检验， = 18 是原方程的解，也符合题意.
答：这家超市销售的这种饮料每箱 18 瓶.…………（10 分）
20.（12 分）先化简，再求值： +9 2 2 ÷ ( )，其中 = 2 . 9 3 +3
下面是同学们几种不同解法的部分运算过程：
①原式= +9 ÷ [ 2 ( +3) ( 3)
2
] .
9 ( +3)( 3) ( +3)( 3)
②原式= +9 2 +9
2
÷ ÷ .
9 3 2 9 +3
③将被除式与除式位置颠倒，即化简( 2 ) ÷ +92 并代入求值后，取结果的倒数. 3 +3 9
（1）以上解法中正确的是_____________________（填序号即可）；
（2）①中运算的依据是_______________________________；
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第十八章 分式
（3）请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程.
解：（选择的解法不同，解答过程不同）选择①，原式
= +9 ÷ [ 2 ( +3) ( 3) ] = +9 ÷ 2
2+6 2+3 = +9 ÷
2+9
2 9 ( +3)( 3) ( +3)( 3) ( +3)( 3) ( +3)( 3) ( +3)( 3) ( +3)( 3)
= +9 ( +3)( 3) = 1 .…………（10 分）
( +3)( 3) ( +9)
当 = 2 时，原式= 1 .………………（12 分）
2
21.（12 分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车，其基本信息如下：
燃油车 新能源车
油箱容积：40 升 电池电量：60 千瓦时
油价：9 元/升 电价：0.6 元/千瓦时
行驶里程： 千米 行驶里程： 千米
每千米行驶费用：40×9 元
每千米行驶费用：________
（1）用含 的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 _________（代数式化为最简结果）.
解：根据题意可得，新能源车的每千米行驶费用为60×0.6 = 36（元）.

故答案为36 元.…………（2 分）

（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 0.54 元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用.
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为 5 096 元和 7 256 元.问：每年行驶里程为多少
千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+ 年其他费用）？
解：①根据题意可得40×9 36 = 0.54，解得 = 600 .…………（5 分）

经检验， = 600 是原方程的解.∴ 40×9 = 0.6，36 = 0.06 .…………（8 分）

答：新能源车的每千米行驶费用为 0.06 元，燃油车的每千米行驶费用为 0.6 元.…（9 分）
②设每年行驶里程为 千米时，买新能源车的年费用更低.根据题意得
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第十八章 分式
0.06 + 7 256 < 0.6 + 5 096 ，（10 分）解得 > 4 000（11 分）
答：每年行驶里程大于 4 000 千米时，买新能源车的年费用更低.（12 分）
22.（14 分）【阅读材料】若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，
则称这个分式为“和谐分式”.如： +1 = 1+2 = 1+ 2 = 1 + 2 ，2 3 = 2 +2 5 = 2 +2 + 5 =
1 1 1 1 1 +1 +1 +1 +1
2 + 5 ，则 +1 和2 3 都是“和谐分式”.
+1 1 +1
【初步探究】
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 _______________（填序号）；
2 2
① +1；② 2 + ；③ +2；④ +1
2 +1 2
.
解：① +1 = 1 + 1 2
2
，是和谐分式；② + = + 1，不是和谐分式；③ +2 = +1+1 = 1 + 1
2 2 +1 +1 +1
2
，是和谐分式；④ +12 = 1 +
1
2 ，是和谐分式.故答案为①③④.…………（3 分）
【深入探究】
2 2
（2）将“和谐分式” 2 +3 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 2 +3 =____
1 1
__+ ____；
2
解析： 2 +3
2 2
= 2 +1+2 = ( 1) +2 = 1 + 2 ，故答案为 1 ， 2 . …（5 分）
1 1 1 1 1
【拓展延伸】
2
（3）应用：先化简3 +6 1÷ 12 ，并求 取什么整数时，该式的值为整数. +1 +2
解：原式= 3 +6 1 ( +2) = 3 +6 +2 = 2 +4 = 2( +1)+2 = 2 + 2 . ……（10 分）
+1 ( +1)( 1) +1 +1 +1 +1 +1
∵ 要使该式的值为整数，且 为整数，
∴ + 1 =± 1 或 + 1 =± 2，∴ = 0 或 2 或 1 或 3 .…………（12 分）
又∵ 分式有意义时， ≠ 0 且 ≠ 1 且 ≠ 1 且 ≠ 2，∴ = 3，即当 = 3 时，
该式的值为整数.…………（14 分）
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第十八章 分式 基础诊断卷
时间：90 min 满分：120 分
一、选择题（每小题 3 分）
1.下列是分式的是( )
A. 3 B. + 1 C. D.
1 2 4
2
2.计算 的结果是( )

A.2 B. C. D.2
2
3.人体内一种细胞的直径约为 1.56 微米，相当于0.000 001 56米，数字0.000 001 56 用科学记
数法表示为( )
A.1.56 × 10 5 B.0.156 × 10 5 C.1.56 × 10 6 D.15.6 × 10 7
4.根据下列表格中的信息， 代表的分式可能是( )
… 2 1 0 1 2 …
… 0 * * 无意义 * …
A. 1 B. +2 C. +2 D. 2
+2 +1 1 1
5.下列式子从左到右变形一定正确的是( )
A. 2 +1= B. =
2 +1
C. 2+ 2 = + D. =
+
1 1
6.解分式方程 = 1 ，去分母后，结果正确的是( )
2
A.2 1 = 1 B.2 1 + = 2
C.2 1 + = 1 D.2 1 = 2
7.秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活.如图（1）和图（2），欣欣
通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，
则由两幅图可得方程( )
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第十八章 分式
图（1） 图（2）
A.24 9 B.24 10 C.24 9 D.24 +10= = = =
32 10 32 9 32 +10 32 9
3 4
8.已知 + = ，则常数 ， 的值分别是( )
1 2 ( 1)( 2)
A. = 2， = 1 B. = 1， = 2
C. = 1， = 2 D. = 2， = 1
3
9.已知关于 的分式方程 2 = 无解，则 的值为( )
3 3
A. = 2或 = 1 B. = 2 C. = 2或 = 1 D. = 1

10.规律探究，已知代数式 ，第一次操作将 作为新的 代入 中,化简后得到新的式子记
+1 +1 +1

为 1 = ，第二次操作将 作为新的 代入 1中,化简后得到新的式子记为 2 +1 2 +1 2 = ，第三4 +1

次操作将 作为新的 代入 2 中,化简后得到新的式子记为 3, ,以此类推，有以下结论： 4 +1
1 1 1 1
① 3 = ；②若 < < 1，则87 < + + < 90；③不存在整数 使得
2 的值为负整数.
6 +1 2 2 4 6 5
其中正确的有( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11.从代数式 3， 2 1， + 1 中任选两个，组成一个最简分式：_________________（写出一
个即可）
1
12.分式 ， 的最简公分母是______.
2 4 2
2
13.如果( )2 = 4 ( ≠ 0)，那么 与 之间的关系为____________.
14.学习了“分式的加减法”，小刚同学画出了如下运算流程图：图中①代表的运算步骤为_____
_，②代表的运算步骤为______.（填“通分”或“约分”）
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第十八章 分式
1 2 1 2 1
15.定义新运算：对于非零的两个实数 和 ，规定 ※ = ，如3※2 = = .
2 3 6
若( 4)※( + 1) = 0，则 的值为____.
16.阅读资料：
3
使等式 + = 1 + 3成立的 的值为 = 1或 = 3 ；

3 3 3
使等式 + = 2 + 成立的 的值为 = 2或 = ；
2 2
3 3 3
使等式 + = 4 + 成立的 的值为 = 4或 = ；….
4 4
7 2 67
按此规律，使等式 + = 成立的 的值为_______.
2 8
三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分）
17.（8 分）计算：
25 2 5 3
（1）
2
÷ ；
6 +9 2 6 +5
6 2 14 +49
（2）(1 ) ÷ .
1 2
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18.（10 分）解分式方程：
1 4 3
（1） = ； （2） 1 = .
+3 1 ( 1)( +2)
19.（10 分）某超市的一种瓶装饮料每箱售价为 36 元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，
买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售的这种饮料每箱多少瓶.
+9 2
20.（12 分）先化简，再求值： 2 ÷ ( )，其中 = 2 . 9 3 +3
下面是同学们几种不同解法的部分运算过程：
+9 2 ( +3) ( 3)
①原式= 2 ÷ [ ] . 9 ( +3)( 3) ( +3)( 3)
+9 2 +9
②原式=
2
÷ ÷ .
9 3 2 9 +3
2 +9
③将被除式与除式位置颠倒，即化简( ) ÷ 并代入求值后，取结果的倒数.
3 +3 2 9
（1）以上解法中正确的是_____________________（填序号即可）；
（2）①中运算的依据是_______________________________；
（3）请选择一种正确的解法，写出完整的解答过程.
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21.（12 分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车，其基本信息如下：
燃油车 新能源车
油箱容积：40 升 电池电量：60 千瓦时
油价：9 元/升 电价：0.6 元/千瓦时
行驶里程： 千米 行驶里程： 千米
40×9
每千米行驶费用： 元 每千米行驶费用：________

（1）用含 的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 _________（代数式化为最简结果）.
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 0.54 元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用.
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为 5 096 元和 7 256 元.问：每年行驶里程为多少
千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+ 年其他费用）？
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22.（14 分）【阅读材料】若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，
+1 1+2 1 2 2 2 3 2 +2 5 2 +2
则称这个分式为“和谐分式”.如： = = + = 1 + ， = = +
1 1 1 1 1 +1 +1 +1
5 5 +1 2 3
= 2 + ，则 和 都是“和谐分式”.
+1 +1 1 +1
【初步探究】（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 _______________（填序号）；
+1 2 2+ +2 2+1
① ；② ；③ ；④
2 +1 2
.
2 2 +3
【深入探究】（2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为
1
2 2 +3
=______+ ____；
1
3 +6 1 2 1
【拓展延伸】（3）应用：先化简 ÷ 2 ，并求 取什么整数时，该式的值为整数. +1 +2
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