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湖南省衡阳市船山实验中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024七下·衡阳期末）下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·衡阳期末）在，，，，1.01001000100001…这五个数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024七下·衡阳期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4，5，10 B．1，2，3 C．2，2， D．5，5，10
4．（2024七下·衡阳期末）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·衡阳期末）某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十一边形
6．（2024七下·衡阳期末） 若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　）
A．-1 B．-3 C．-2 D．-3或-1
7．（2024七下·衡阳期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设有x只鸡、y只兔，则可用二元一次方程组表示题中的数量关系为(　　)
A． B．
C． D．
8．（2024七下·衡阳期末）若关于的不等式有三个正整数解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·衡阳期末）如图，已知△ABC的周长为20cm，现将△ABC沿AB方向平移2cm至位置，连接，则四边形的周长为（　　）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
10．（2024七下·衡阳期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（2024七下·衡阳期末）的平方根是 　 　．
12．（2024七下·衡阳期末）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马每天行200里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意得方程：　 　．
13．（2024七下·衡阳期末） 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是　 　.
14．（2024七下·衡阳期末）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则　 　．
15．（2024七下·衡阳期末）已知关于，的二元一次方程组为，则的值为　 　．
16．（2024七下·衡阳期末）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2024个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　 　．（结果用m，n表示）
17．（2024七下·衡阳期末）在中，，是中线，若周长与的周长相差，则　 　．
18．（2024七下·衡阳期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，　 　°．
三、解答题（19、20题6分，21、22题8分，23、24题9分，25、26题10分，共76分）
19．（2024七下·衡阳期末）解方程组：．
20．（2024七下·衡阳期末）计算：．
21．（2024七下·衡阳期末）如图，在中，是边上高，为角平分线，若，求的度数．
22．（2024七下·衡阳期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
（1）平移，使点A移动到点，请在网格纸上画出平移后的；
（2）在（1）的条件下，求平移过程中，线段扫过的面积．
23．（2024七下·衡阳期末）定义新运算“”如下：当时，；当时，．
（1）求的值．
（2）若，求x的取值范围．
24．（2024七下·衡阳期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“船山方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的船山方程．
（1）问方程是不是不等式组的船山方程？请说明理由；
（2）若关于的方程是不等式组的船山方程，求的取值范围；
（3）若方程和都是关于的不等式组的船山方程，求的取值范围．
25．（2024七下·衡阳期末）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“创新角”，其中一个角叫做另一个角的“创新角”．
例如：，，，则和互为“创新角”，即是的“创新角”，也是的“创新角”．
（1）已知和互为“创新角”，且，若和互补，则___________；
（2）如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点．
①若，且和互为“创新角”，则___________；
②如图2所示，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“创新角”，求的度数；
③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“创新角”时，则__________．
26．（2024七下·衡阳期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线上（如图1，，，，）．保持三角板EDC不动，老师将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题．
深入探究：
①老师提出，如图2，当转到与的角平分线重合时，，当在内部的其他位置时，结论是否依然成立？请说明理由．
②勤学小组提出：若旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由．
拓展提升：
③智慧小组提出：若旋转到与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，直线与直线是否存在平行的位置关系？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
四、附加题（共10分，计入总分）
27．（2024七下·衡阳期末）如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小李同学制作了一个直角三角形硬纸板，其中，，．小李利用这块三角板进行了如下的操作探究：
（1）如图1，若点C在直线上，且，求的度数；
（2）若点A在直线上，点C在和之间（不含和上），边、与直线分别交于点D和点K．
①如图2，平分，平分，与交于点O．在绕着点A旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果不发生变化，请求出的度数；如果发生变化，请说明理由；
②如图3，在绕着点A旋转的过程中，设，，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：C
【分析】轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．【答案】C
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
∴在，，，，1.01001000100001…这五个数中，
无理数有：，，1.01001000100001…3个，
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：．∵，∴不能组成三角形，故该选项不符合题意；
．∵，∴不能组成三角形，故该选项不符合题意；
．∵，∴可以构成三角形，故该选项符合题意；
．∵，∴不能组成三角形，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
故选：C．
【分析】
本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解，再求得不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可解答．数轴表示不等式的解集遵循“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”并注意圆点空心和实心的区别。
5．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：A、正五边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为，能整除，能进行平面镶嵌，符合题意；
C、正十边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
D、正十一边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用镶嵌、密铺的计算方法（判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能）分析求解即可.
6．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：∵（m+1）+4＜0是关于x的一元一次不等式，
∴m+1≠0且，
解得：m≠-1，m=-3，m=-1，
∴m=-3.
故答案为：B.
【分析】根据一元一次不等式的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是1的不等式叫作一元一次不等式”可得关于m的不等式组，解之可求解.
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【解答】解：由题意得，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚，
结合上有三十五头，下有九十四足可得：
；
故答案为：D.
【分析】根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵关于的不等式有三个正整数解，
∴三个正整数解是1，2，3
∴，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先求出不等式的解集，再根据“关于的不等式有三个正整数解”可得，最后求出a的取值范围即可.
9．【答案】C
【知识点】平移的性质；多边形的周长
【解析】【解答】根据题意，得A的对应点为A，B的对应点为B，C的对应点为C，
∴BC=BC，BB=CC，
则四边形ABCC的周长=CA+AB+BC+BB+CC=△ABC的周长+2BB=20+4=24cm，
故选：C．
【分析】
本题考查了平移的性质，主要运用的知识点是：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．结合四边形的周长公式求解即可．
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点A逆时针旋转后得到，
∴，，又，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】旋转不改变图形的形状与大小，即旋转前后对应角都相等，对应线段也相等。
11．【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
12．【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马x天可追上慢马，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了一元一次方程的实际应用， 设快马x天可追上慢马 ，说明快马x天走的路程=慢马（x+10）天走的路程，路程速度时间，据此列出方程即可．
13．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是10.
故答案为：10.
【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，然后求解即可.
14．【答案】225°
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示：
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在和中，利用“变角边”，证得，得到，结合，即可求解.
15．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
故答案为：．
【分析】利用加减消元法的计算方法列出算式求出即可.
16．【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由题意，用1个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
用2个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
用3个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
用4个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
则用2024个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
故答案为：．
【分析】本题考查了整式与图形的规律型问题，根据题意，分别求出用1、2、3、4个这样的图形拼出来的图形的总长度，归纳、总结推出一般规律，由此即可得出答案．
17．【答案】3或7
【知识点】三角形的中线；分类讨论
【解析】解：∵AD是△ABC中线，∴BD=CD，
当时
AB+BD+AD-(AC+DC+AD)=2
得AB-AC=2
∵AC=5
∴AB=7
当时
AC+DC+AD-(AB+BD+AD)=2
得AC-AB=2
∵AC=5
∴AB=7
AB=3
综上所述，AB=BA=3或7；
故答案为：3或7．
【分析】由中线可得BD=DC，，；分两种情况，得到AB-AC=2或，得到AC-AB=2结合AC=2， 即可AB．
18．【答案】100
【知识点】两点之间线段最短；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
作点A关于CD、CB的对称点E、F，连接EF分别交CD、BC于点H、G，连接AH、AG、EM、FN，
由对称性知：EM=AM，EH=AH，AG=FG，AN=FN
∴AM+MN+NA=EM+MN+NF＞EF，
∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，△MAN的周长最小，最小值是EF．
∵GA=GF，
∴∠GAB=∠AFG(等边对等角）
∴∠AGH=2∠GAF（三角形外角性质）
EH=AH，
∴∠HEA=∠HAD(等边对等角）
∴∠AHG=2∠HAD（三角形外角性质）
∵∠DAB=∠HAD+∠HAG+∠GAF=140° ①
∵∠HAG+∠AHG+∠AGH=180°（三角形内角和性质）
即∠HAG+2∠HAD+2∠GAF=180°②
②-①得∠HAD+∠GAF=40°
又∵∠HAD+∠HAG+∠GAF=140°
∴∠HAG=140°-40°=100°
即∠MAN=100°
故答案为：．
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质，两点间线段最短等知识。
作点A关于CD、CB的对称点E、F，连接EF分别交CD、BC于点H、G，连接AH、AG、EM、FN，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，△MAN的周长最小，最小值是EF．根据对称性和三角形外角性质得到∠AGH=2∠GAF，∠AHG=2∠HAD。根据∠BAD=140° 得到∠HAD+∠HAG+∠GAF=140° ①根据三角形内角和等于180°得到∠HAG+2∠HAD+2∠GAF=180°②。②-①得∠HAD+∠GAF=40°，由此得出∠HAG=100°，即∠MAN=100°
19．【答案】解：，原方程组可变为：，
得：
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先将原方程组进行变形，再用加减消元法解二元一次方程组即可．

20．【答案】解：
=-1+4-6÷（-2）
=-1+4+3
=6
【知识点】有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用有理数的乘方运算法则、算术平方根、绝对值、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
21．【答案】解：∵是边上高，
∴，
∵，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可．
22．【答案】（1）解：根据点的平移特征：向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出B、C的对应点，连线即得．
（2）解： 根据图形平移的性质，可知，线段扫过的部分为平行四边形，
线段扫过的面积为．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先证出平行四边形，再利用平行四边形的面积公式求解即可.
（1）根据点的平移特征：向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出B、C的对应点，连线即得．
（2） 根据图形平移的性质，可知，线段扫过的部分为平行四边形，
线段扫过的面积为．
23．【答案】（1）解：由题意知，

（2）解：，3
当，即时
，
解得，
；
当，即时
解得，
，
综上所述：x的取值范围是
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；分类讨论
【解析】【分析】本题是新定义题，考查实数运算和解一元一次不等式，读懂定义和运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）可判断出，因此可用运算即可；
（2）无法直接判断4和的大小，分类讨论：当4（x+3）．结合定义新运算求出X的取值范围；当4（x+3）．结合定义新运算求出X的取值范围；两次求出不等式的解再求不等式组公共解。
24．【答案】（1）解：
，
解得：，
方程的解为，
由，得，
由，得，
不等式组的解集为，
，
不是不等式组的解，
方程不是不等式组的船山方程．
（2）解：，
解得，
由得，，
解得，
由得，，
解得，
不等式组的解集为，
方程是不等式组的船山方程，
，
由得，，
由得，，
．
（3）解：，
解得，
，
解得，
由得，，
当，即，，
当，即，，
由得，，
分两种情况：
① 当时，不等式组的解集为：；
② 当时，不等式组的解集为：；
方程和都是关于的不等式组的船山方程，
，都是不等式组的解，
当时，不等式组解集为：，不符合题意，
当时，不等式组得解集为，符合题意，
要使得，都是不等式组的解，
，且，
．
即的取值范围为．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）先求出方程的解，再求出不等式组的解集，最后根据“船山方程”的定义分析求解即可；
（2）先求出方程的解，再求出不等式组的解集，最后根据“船山方程”的定义可得，再求出a的取值范围即可；
（3）先求出方程的解，再求出不等式组的解集，最后根据“船山方程”的定义分类讨论求解即可.
（1）解：
，
解得，
方程的解为，
由，得，
由，得，
不等式组的解集为，
，
不是不等式组的解，
方程不是不等式组的船山方程．
（2）解：，
解得，
由得，，
解得，
由得，，
解得，
不等式组的解集为，
方程是不等式组的船山方程，
，
由得，，
由得，，
．
（3）解：，
解得，
，
解得，
由得，，
当，即，，
当，即，，
由得，，
分两种情况：
① 当时，不等式组的解集为：；
② 当时，不等式组的解集为：；
方程和都是关于的不等式组的船山方程，
，都是不等式组的解，
当时，不等式组解集为：，不符合题意，
当时，不等式组得解集为，符合题意，
要使得，都是不等式组的解，
，且，
．
即的取值范围为．
25．【答案】（1）
（2）解：①；
②设的度数为，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，
，
∵与互为“创新角”，
∴或，
∴或，
解得：或；
③，或．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵和互为“创新角”，且，若和互补，
，
；
故答案为：；
（2）解：①设的度数为，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，
，和互为“创新角”，
，
可得，
解得，
；
故答案为：50°.
③设，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，，
∵的平分线交于点，
∴，
∴
∴，
∵和互为“创新角”
∴或，
∴或，
∴，或；
综上所述，的度数为或．
【分析】（1）利用“创新角”的定义及补角的定义列出方程组求出∠1的度数即可；
（2）① 设的度数为，先利用角平分线的定义求出，再结合，列出方程， 最后求出x的值即可；
② 设的度数为， 根据“与互为“创新角””可得或， ，列出方程或， 再求解即可；
③ 设， 先求出，，再利用角平分线的定义可得， 再根据“和互为“创新角””可得或， 最后求出∠A的度数即可.
（1）解：∵和互为“创新角”，且，若和互补，
，
；
故答案为：；
（2）解：①设的度数为，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，
，和互为“创新角”，
，
可得，
解得，
；
②设的度数为，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，
，
∵与互为“创新角”，
∴或，
∴或，
解得或；
③设，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，，
∵的平分线交于点，
∴，
∴
∴，
∵和互为“创新角”
∴或，
∴或，
∴，或；
综上所述，的度数为或．
26．【答案】解：①∵，，，，
∴，
当旋转至的内部时，如图，与的数量关系是：；
理由是：由旋转得：，
，，
；
②当A、B分别在外部时，如图示：
∵，
∴；
当点A在外部，点B在内部，如图示：
∵，
∴，
∴，
综上：不存在；或．
③当点A在直线上方时，如图示：
∵，
∴，
∴；
当点A在直线下方时，如图示：
∵，
∴，
∴旋转了
∴，
综上：存在，或．
【知识点】旋转的性质；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【分析】①先根据三角形的内角得到，然后由旋转得到∠DCA和∠ECB的度数，然后根据角的和差解题；
②分为A、B分别在外部或A在外部，点B在内部两种情况，根据角的和差解题即可．
③分为点A在直线上方，点A在直线下方两种情况，根据平行线的性质得到旋转角的大小，再利用旋转速度求出时间t即可．
27．【答案】（1）解：如图1，∵，，
∴
∵，
∴.
（2）解：解：①在绕着点A旋转的过程中，的度数不发生变化，且.
理由是：如图2，∵，
∴
∵平分，平分，
∴，
∴
∴
②∵，
∴
∵，，
∴
∵
∴
即
如图3，点在直线上时，
如图4，∵，和之间的距离为1
∴点C在直线上时，
∵点C在和之间（不含和上）
∴，即
∴m的取值范围是：．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出∠ECB的度数，再利用平行线的性质可得；
（2）①先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换求出即可；
②先求出，再分类讨论：①点在直线上时，②点C在直线上时，求出，最求出即可．
（1）解：如图1，∵，，
∴
∵，
∴；
（2）解：①在绕着点A旋转的过程中，的度数不发生变化，且
理由是：如图2，∵，
∴
∵平分，平分，
∴，
∴
∴
②∵，
∴
∵，，
∴
∵
∴
即
如图3，点在直线上时，
如图4，∵，和之间的距离为1
∴点C在直线上时，
∵点C在和之间（不含和上）
∴，即
∴m的取值范围是：．
1 / 1湖南省衡阳市船山实验中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024七下·衡阳期末）下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：C
【分析】轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．（2024七下·衡阳期末）在，，，，1.01001000100001…这五个数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
∴在，，，，1.01001000100001…这五个数中，
无理数有：，，1.01001000100001…3个，
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
3．（2024七下·衡阳期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4，5，10 B．1，2，3 C．2，2， D．5，5，10
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：．∵，∴不能组成三角形，故该选项不符合题意；
．∵，∴不能组成三角形，故该选项不符合题意；
．∵，∴可以构成三角形，故该选项符合题意；
．∵，∴不能组成三角形，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
4．（2024七下·衡阳期末）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
故选：C．
【分析】
本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解，再求得不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可解答．数轴表示不等式的解集遵循“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”并注意圆点空心和实心的区别。
5．（2024七下·衡阳期末）某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（　　）
A．正五边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十一边形
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：A、正五边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
B、正六边形的一个内角度数为，能整除，能进行平面镶嵌，符合题意；
C、正十边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
D、正十一边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用镶嵌、密铺的计算方法（判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能）分析求解即可.
6．（2024七下·衡阳期末） 若是关于的一元一次不等式，则的值为（　　）
A．-1 B．-3 C．-2 D．-3或-1
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：∵（m+1）+4＜0是关于x的一元一次不等式，
∴m+1≠0且，
解得：m≠-1，m=-3，m=-1，
∴m=-3.
故答案为：B.
【分析】根据一元一次不等式的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是1的不等式叫作一元一次不等式”可得关于m的不等式组，解之可求解.
7．（2024七下·衡阳期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设有x只鸡、y只兔，则可用二元一次方程组表示题中的数量关系为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【解答】解：由题意得，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚，
结合上有三十五头，下有九十四足可得：
；
故答案为：D.
【分析】根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．
8．（2024七下·衡阳期末）若关于的不等式有三个正整数解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵关于的不等式有三个正整数解，
∴三个正整数解是1，2，3
∴，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先求出不等式的解集，再根据“关于的不等式有三个正整数解”可得，最后求出a的取值范围即可.
9．（2024七下·衡阳期末）如图，已知△ABC的周长为20cm，现将△ABC沿AB方向平移2cm至位置，连接，则四边形的周长为（　　）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
【答案】C
【知识点】平移的性质；多边形的周长
【解析】【解答】根据题意，得A的对应点为A，B的对应点为B，C的对应点为C，
∴BC=BC，BB=CC，
则四边形ABCC的周长=CA+AB+BC+BB+CC=△ABC的周长+2BB=20+4=24cm，
故选：C．
【分析】
本题考查了平移的性质，主要运用的知识点是：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．结合四边形的周长公式求解即可．
10．（2024七下·衡阳期末）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点A逆时针旋转后得到，
∴，，又，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】旋转不改变图形的形状与大小，即旋转前后对应角都相等，对应线段也相等。
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（2024七下·衡阳期末）的平方根是 　 　．
【答案】±2
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是±2．
故答案为：±2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
12．（2024七下·衡阳期末）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马每天行200里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意得方程：　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马x天可追上慢马，
由题意得，，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了一元一次方程的实际应用， 设快马x天可追上慢马 ，说明快马x天走的路程=慢马（x+10）天走的路程，路程速度时间，据此列出方程即可．
13．（2024七下·衡阳期末） 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是　 　.
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是10.
故答案为：10.
【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意列出关于n的方程，然后求解即可.
14．（2024七下·衡阳期末）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则　 　．
【答案】225°
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示：
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在和中，利用“变角边”，证得，得到，结合，即可求解.
15．（2024七下·衡阳期末）已知关于，的二元一次方程组为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
故答案为：．
【分析】利用加减消元法的计算方法列出算式求出即可.
16．（2024七下·衡阳期末）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2024个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　 　．（结果用m，n表示）
【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：由题意，用1个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
用2个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
用3个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
用4个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
则用2024个这样的图形拼出来的图形的总长度为，
故答案为：．
【分析】本题考查了整式与图形的规律型问题，根据题意，分别求出用1、2、3、4个这样的图形拼出来的图形的总长度，归纳、总结推出一般规律，由此即可得出答案．
17．（2024七下·衡阳期末）在中，，是中线，若周长与的周长相差，则　 　．
【答案】3或7
【知识点】三角形的中线；分类讨论
【解析】解：∵AD是△ABC中线，∴BD=CD，
当时
AB+BD+AD-(AC+DC+AD)=2
得AB-AC=2
∵AC=5
∴AB=7
当时
AC+DC+AD-(AB+BD+AD)=2
得AC-AB=2
∵AC=5
∴AB=7
AB=3
综上所述，AB=BA=3或7；
故答案为：3或7．
【分析】由中线可得BD=DC，，；分两种情况，得到AB-AC=2或，得到AC-AB=2结合AC=2， 即可AB．
18．（2024七下·衡阳期末）如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，　 　°．
【答案】100
【知识点】两点之间线段最短；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
作点A关于CD、CB的对称点E、F，连接EF分别交CD、BC于点H、G，连接AH、AG、EM、FN，
由对称性知：EM=AM，EH=AH，AG=FG，AN=FN
∴AM+MN+NA=EM+MN+NF＞EF，
∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，△MAN的周长最小，最小值是EF．
∵GA=GF，
∴∠GAB=∠AFG(等边对等角）
∴∠AGH=2∠GAF（三角形外角性质）
EH=AH，
∴∠HEA=∠HAD(等边对等角）
∴∠AHG=2∠HAD（三角形外角性质）
∵∠DAB=∠HAD+∠HAG+∠GAF=140° ①
∵∠HAG+∠AHG+∠AGH=180°（三角形内角和性质）
即∠HAG+2∠HAD+2∠GAF=180°②
②-①得∠HAD+∠GAF=40°
又∵∠HAD+∠HAG+∠GAF=140°
∴∠HAG=140°-40°=100°
即∠MAN=100°
故答案为：．
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质，两点间线段最短等知识。
作点A关于CD、CB的对称点E、F，连接EF分别交CD、BC于点H、G，连接AH、AG、EM、FN，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，△MAN的周长最小，最小值是EF．根据对称性和三角形外角性质得到∠AGH=2∠GAF，∠AHG=2∠HAD。根据∠BAD=140° 得到∠HAD+∠HAG+∠GAF=140° ①根据三角形内角和等于180°得到∠HAG+2∠HAD+2∠GAF=180°②。②-①得∠HAD+∠GAF=40°，由此得出∠HAG=100°，即∠MAN=100°
三、解答题（19、20题6分，21、22题8分，23、24题9分，25、26题10分，共76分）
19．（2024七下·衡阳期末）解方程组：．
【答案】解：，原方程组可变为：，
得：
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先将原方程组进行变形，再用加减消元法解二元一次方程组即可．

20．（2024七下·衡阳期末）计算：．
【答案】解：
=-1+4-6÷（-2）
=-1+4+3
=6
【知识点】有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用有理数的乘方运算法则、算术平方根、绝对值、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
21．（2024七下·衡阳期末）如图，在中，是边上高，为角平分线，若，求的度数．
【答案】解：∵是边上高，
∴，
∵，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可．
22．（2024七下·衡阳期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
（1）平移，使点A移动到点，请在网格纸上画出平移后的；
（2）在（1）的条件下，求平移过程中，线段扫过的面积．
【答案】（1）解：根据点的平移特征：向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出B、C的对应点，连线即得．
（2）解： 根据图形平移的性质，可知，线段扫过的部分为平行四边形，
线段扫过的面积为．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先证出平行四边形，再利用平行四边形的面积公式求解即可.
（1）根据点的平移特征：向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出B、C的对应点，连线即得．
（2） 根据图形平移的性质，可知，线段扫过的部分为平行四边形，
线段扫过的面积为．
23．（2024七下·衡阳期末）定义新运算“”如下：当时，；当时，．
（1）求的值．
（2）若，求x的取值范围．
【答案】（1）解：由题意知，

（2）解：，3
当，即时
，
解得，
；
当，即时
解得，
，
综上所述：x的取值范围是
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；分类讨论
【解析】【分析】本题是新定义题，考查实数运算和解一元一次不等式，读懂定义和运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）可判断出，因此可用运算即可；
（2）无法直接判断4和的大小，分类讨论：当4（x+3）．结合定义新运算求出X的取值范围；当4（x+3）．结合定义新运算求出X的取值范围；两次求出不等式的解再求不等式组公共解。
24．（2024七下·衡阳期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“船山方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的船山方程．
（1）问方程是不是不等式组的船山方程？请说明理由；
（2）若关于的方程是不等式组的船山方程，求的取值范围；
（3）若方程和都是关于的不等式组的船山方程，求的取值范围．
【答案】（1）解：
，
解得：，
方程的解为，
由，得，
由，得，
不等式组的解集为，
，
不是不等式组的解，
方程不是不等式组的船山方程．
（2）解：，
解得，
由得，，
解得，
由得，，
解得，
不等式组的解集为，
方程是不等式组的船山方程，
，
由得，，
由得，，
．
（3）解：，
解得，
，
解得，
由得，，
当，即，，
当，即，，
由得，，
分两种情况：
① 当时，不等式组的解集为：；
② 当时，不等式组的解集为：；
方程和都是关于的不等式组的船山方程，
，都是不等式组的解，
当时，不等式组解集为：，不符合题意，
当时，不等式组得解集为，符合题意，
要使得，都是不等式组的解，
，且，
．
即的取值范围为．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）先求出方程的解，再求出不等式组的解集，最后根据“船山方程”的定义分析求解即可；
（2）先求出方程的解，再求出不等式组的解集，最后根据“船山方程”的定义可得，再求出a的取值范围即可；
（3）先求出方程的解，再求出不等式组的解集，最后根据“船山方程”的定义分类讨论求解即可.
（1）解：
，
解得，
方程的解为，
由，得，
由，得，
不等式组的解集为，
，
不是不等式组的解，
方程不是不等式组的船山方程．
（2）解：，
解得，
由得，，
解得，
由得，，
解得，
不等式组的解集为，
方程是不等式组的船山方程，
，
由得，，
由得，，
．
（3）解：，
解得，
，
解得，
由得，，
当，即，，
当，即，，
由得，，
分两种情况：
① 当时，不等式组的解集为：；
② 当时，不等式组的解集为：；
方程和都是关于的不等式组的船山方程，
，都是不等式组的解，
当时，不等式组解集为：，不符合题意，
当时，不等式组得解集为，符合题意，
要使得，都是不等式组的解，
，且，
．
即的取值范围为．
25．（2024七下·衡阳期末）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“创新角”，其中一个角叫做另一个角的“创新角”．
例如：，，，则和互为“创新角”，即是的“创新角”，也是的“创新角”．
（1）已知和互为“创新角”，且，若和互补，则___________；
（2）如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点．
①若，且和互为“创新角”，则___________；
②如图2所示，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“创新角”，求的度数；
③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“创新角”时，则__________．
【答案】（1）
（2）解：①；
②设的度数为，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，
，
∵与互为“创新角”，
∴或，
∴或，
解得：或；
③，或．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵和互为“创新角”，且，若和互补，
，
；
故答案为：；
（2）解：①设的度数为，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，
，和互为“创新角”，
，
可得，
解得，
；
故答案为：50°.
③设，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，，
∵的平分线交于点，
∴，
∴
∴，
∵和互为“创新角”
∴或，
∴或，
∴，或；
综上所述，的度数为或．
【分析】（1）利用“创新角”的定义及补角的定义列出方程组求出∠1的度数即可；
（2）① 设的度数为，先利用角平分线的定义求出，再结合，列出方程， 最后求出x的值即可；
② 设的度数为， 根据“与互为“创新角””可得或， ，列出方程或， 再求解即可；
③ 设， 先求出，，再利用角平分线的定义可得， 再根据“和互为“创新角””可得或， 最后求出∠A的度数即可.
（1）解：∵和互为“创新角”，且，若和互补，
，
；
故答案为：；
（2）解：①设的度数为，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，
，和互为“创新角”，
，
可得，
解得，
；
②设的度数为，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，
，
∵与互为“创新角”，
∴或，
∴或，
解得或；
③设，
∵，则，
的平分线分别交于D， E两点，
，
，
，，
∵的平分线交于点，
∴，
∴
∴，
∵和互为“创新角”
∴或，
∴或，
∴，或；
综上所述，的度数为或．
26．（2024七下·衡阳期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线上（如图1，，，，）．保持三角板EDC不动，老师将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题．
深入探究：
①老师提出，如图2，当转到与的角平分线重合时，，当在内部的其他位置时，结论是否依然成立？请说明理由．
②勤学小组提出：若旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由．
拓展提升：
③智慧小组提出：若旋转到与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，直线与直线是否存在平行的位置关系？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：①∵，，，，
∴，
当旋转至的内部时，如图，与的数量关系是：；
理由是：由旋转得：，
，，
；
②当A、B分别在外部时，如图示：
∵，
∴；
当点A在外部，点B在内部，如图示：
∵，
∴，
∴，
综上：不存在；或．
③当点A在直线上方时，如图示：
∵，
∴，
∴；
当点A在直线下方时，如图示：
∵，
∴，
∴旋转了
∴，
综上：存在，或．
【知识点】旋转的性质；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【分析】①先根据三角形的内角得到，然后由旋转得到∠DCA和∠ECB的度数，然后根据角的和差解题；
②分为A、B分别在外部或A在外部，点B在内部两种情况，根据角的和差解题即可．
③分为点A在直线上方，点A在直线下方两种情况，根据平行线的性质得到旋转角的大小，再利用旋转速度求出时间t即可．
四、附加题（共10分，计入总分）
27．（2024七下·衡阳期末）如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小李同学制作了一个直角三角形硬纸板，其中，，．小李利用这块三角板进行了如下的操作探究：
（1）如图1，若点C在直线上，且，求的度数；
（2）若点A在直线上，点C在和之间（不含和上），边、与直线分别交于点D和点K．
①如图2，平分，平分，与交于点O．在绕着点A旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果不发生变化，请求出的度数；如果发生变化，请说明理由；
②如图3，在绕着点A旋转的过程中，设，，求m的取值范围．
【答案】（1）解：如图1，∵，，
∴
∵，
∴.
（2）解：解：①在绕着点A旋转的过程中，的度数不发生变化，且.
理由是：如图2，∵，
∴
∵平分，平分，
∴，
∴
∴
②∵，
∴
∵，，
∴
∵
∴
即
如图3，点在直线上时，
如图4，∵，和之间的距离为1
∴点C在直线上时，
∵点C在和之间（不含和上）
∴，即
∴m的取值范围是：．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出∠ECB的度数，再利用平行线的性质可得；
（2）①先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换求出即可；
②先求出，再分类讨论：①点在直线上时，②点C在直线上时，求出，最求出即可．
（1）解：如图1，∵，，
∴
∵，
∴；
（2）解：①在绕着点A旋转的过程中，的度数不发生变化，且
理由是：如图2，∵，
∴
∵平分，平分，
∴，
∴
∴
②∵，
∴
∵，，
∴
∵
∴
即
如图3，点在直线上时，
如图4，∵，和之间的距离为1
∴点C在直线上时，
∵点C在和之间（不含和上）
∴，即
∴m的取值范围是：．
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