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湖南省衡阳市耒阳市正源学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024七下·耒阳期末）下列四个实数中，是无理数的为（　　）．
A． B． C． D．
2．（2024七下·耒阳期末）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·耒阳期末）下列各式中，能进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·耒阳期末）下列语句中，不是命题的是（　　）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．同位角相等 D．作∠A的平分线
5．（2024七下·耒阳期末）如图，点 在同一直线上， ， ，再添加一个条件仍不能证明 ≌的是(　　)
A． B． C． D．
6．（2024七下·耒阳期末）若等腰三角形的两条边长为2和5，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．12 B．9 C．12或9 D．7或15
7．（2024七下·耒阳期末）如图，已知点D在的中垂线上，如果，那么的周长是(　　)
A．8 B．7 C．6 D．无法确定
8．（2024七下·耒阳期末）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于
C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于
9．（2024七下·耒阳期末）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为( )
A． B． C． D．
10．（2024七下·耒阳期末）一个直角三角形“两边”的长分别为3和4，则“第三边”的长是（　　）.
A．5 B．6 C． D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（2024七下·耒阳期末）的平方根是　 　 ．
12．（2024七下·耒阳期末），，则　 　．
13．（2024七下·耒阳期末）若 ，且 ，则 　 　．
14．（2024七下·耒阳期末）当　 　时，分式的值为0．
15．（2024七下·耒阳期末）如图，，若，，则的长为　 　．
16．（2024七下·耒阳期末）如图，，，若，，则D到AB的距离为　 　。
17．（2024七下·耒阳期末） Rt△ABC中，三边分别是a，b，c，斜边c=3，则a2+b2+c2的值为　 　．
18．（2024七下·耒阳期末）如图，高的教学楼前有一颗高的大树，它们相距，树的顶端有一只小鸟，它要飞到楼顶上，至少要飞行　 　．
19．（2024七下·耒阳期末）某班级40名学生在一次考试中，分数段在90～100分的频率为0.15，则该班级在这个分数段内的学生有　 　人．
20．（2024七下·耒阳期末）当　 　时，分式的值不等于零．
三、解答题（共6题，满分90分）
21．（2024七下·耒阳期末）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
22．（2024七下·耒阳期末）因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
23．（2024七下·耒阳期末）在图中找出点P，使得点P到C、D两点的距离相等，并且点P到OA、OB的距离也相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
24．（2024七下·耒阳期末）若，求的立方根．
25．（2024七下·耒阳期末）已知，．求下列各值．
（1）
（2）
26．（2024七下·耒阳期末）如图，E、F在线段AC上，∠A＝∠C，AE＝CF，若∠B＝∠D．
求证：DF＝BE．
27．（2024七下·耒阳期末）如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．若，，求的面积．
28．（2024七下·耒阳期末）某校组织学生书法比赛，对参赛作品按A、B、C、D四个等级进行了评定．现随机抽取部分学生书法作品的评定结果进行分析，并绘制扇形统计图和条形统计图如下：
根据上述信息完成下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共抽查了______名学生，图①中“D级”部分所对应的圆心角的大小___°；
（2）请在图②中把条形统计图补充完整；
（3）已知该校这次活动共收到参赛作品750份，请你估计参赛作品达到B级以上（即A级和B级）有多少份？
29．（2024七下·耒阳期末）如图，是AD中点，平分．
（1）若，求证：平分．
（2）若，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是无理数，符合题意；
D、是有理数，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数．
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A．，原式计算错误，故选项A不符合题意；
B．，原式计算正确，故选项B符合题意；
C．和不是同类项，不能合并，原式不正确，故选项C不符合题意；
D．和不是同类项，不能合并，原式不正确，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、单项式除以单项式及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、不能因式分解，不符合题意；
B、不能因式分解，不符合题意；
C、，能进行因式分解，符合题意；
D、不能因式分解，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解的步骤（①提取；②套公式；③检查是否能继续因式分解）分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A.两点确定一条直线，是一个真命题；
B.垂线段最短，是一个真命题；
C.同位角相等，是一个假命题；
D.作∠A的平分线，没有判断的意义，不是命题.
故答案为：D.
【分析】在数学中，判断某一件事情的陈述句叫做命题，根据命题的定义进行选择即可；作∠A的平分线，是描述性的语言，不带有判断性，所以不符合题意。
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由BE=CF得到：BC=FE．A、由条件BC=FE，∠B=∠F添加AB=DF，根据全等三角形的判定定理SAS能证明△ABC≌△DFE，故本选项错误；
B、由条件BC=FE，∠B=∠F添加∠A=∠D，根据全等三角形的判定定理AAS能证明△ABC≌△DFE，故本选项错误；
C、因为AC∥DE，所以∠ACB=∠DEF，再由条件BC=FE，∠B=∠F，根据全等三角形的判定定理ASA能证明△ABC≌△DFE，故本选项错误；
D、由条件BC=FE，∠B=∠F添加AC=DE，由SSA不能证明△ABC≌△DFE，故本选项正确．
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的性质是：两边相等，两底角相等。在这个问题中，已知等腰三角形的两条边分别为2和5.
周长（P）的计算公式为：P=2a+b
其中，a为等腰三角形的等边长，b为底边长。
在这个问题中，a为5，b为2。将这些值代入周长公式，得到：
P=5×2+2=12.
故答案为： A.
【分析】根据三角形的性质，任意两边之和必须大于第三边。在这种情况下，如果两腰分别为2，2，而底边为5，无法形成一个三角形，因为两边之和小于第三边，因此腰是5.
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的中垂线交于点，交于点，
∴，
∵，
∵的周长，
故答案为：A．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求出△DBC的周长即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”时，
应先假设：每一个内角都小于，
故选：B．
【分析】
反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，则蚂蚁爬行的最短路径为AB'，如图，
AC=12，CB'=5，
在Rt△ACB'，
所以它爬行的最短路程为13cm．
故答案为：C．
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出最小值即可.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当4为直角边时，第三边长为 ；
当4为斜边时，第三边长为 .
【分析】已知没有明确斜边和直角边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，这是解题的关键．
11．【答案】±3
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：=9，
9的平方根是±3，
故答案为：±3．
【分析】首先化简，再根据平方根的定义计算平方根．
12．【答案】2
【知识点】同底数幂的除法；求代数式的值-整体代入求值；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
13．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵m2-n2=（m+n）（m-n）=6，且m-n=3，
∴m+n=2．
故答案为：2．
【分析】利用平方差公式可得m2-n2=（m+n）（m-n），再整体代入计算即可。
14．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得：且，，
∴，
故答案为：．
分析】
此题主要考查了分式的值为零的条件。直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
15．【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出即可.
16．【答案】4
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，如图：
∵BC=10，BD=6，
∴CD=BC-BD=4，
∵∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=4，
故答案为：4．
【分析】作DE⊥AB于E，先利用线段的和差求出CD=BC-BD=4，再利用角平分线的性质可得DE=CD=4.
17．【答案】18
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为直角三角形，斜边c=3，
∴a2+b2=c2=22=9，
∴a2+b2+c2=9+9=18，
故答案为：18．
【分析】根据题意先求出a2+b2=c2=22=9，再求解即可。
18．【答案】10
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：设楼顶为点A，树顶为点B，与树顶平行的到楼的距离为BC，如图所示：
由题意，得AC=14-6=8m，BC=6m
在Rt△ABC中，m
∴至少要飞行10m，
故答案为：10.
【分析】设楼顶为点A，树顶为点B，与树顶平行的到楼的距离为BC，先利用线段的和差求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可.
19．【答案】6
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由题意得：40×0.15＝6，
∴该班级在这个分数段内的学生有6人，
故答案为：6．
【分析】利用“频率=频率×总数”列出算式求解即可.
20．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：若分式的值不等于零，则且
且
故答案为：且．
【分析】利用分式的值不为零的条件列出不等式组求解即可.
21．【答案】（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、算术平方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用二次根式和立方根的性质化简，再计算即可；
（3）利用平方差公式的计算方法分析求解即可；
（4）利用完全平方公式的计算方法分析求解即可.
（1）解：
（2）
（3）
（4）
22．【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的定义及计算方法（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可；
（2）利用平方差公式的定义及计算方法（运用平方差公式对某些多项式进行因式分解，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与这两个数的差的积）分析求解即可；
（3）利用分组分解因式的计算方法分析求解即可；
（4）利用十字相乘的定义及计算方法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）分析求解即可.
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：．
23．【答案】解：如图所示：
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先作出线段CD的垂直平分线，再作出∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P.
24．【答案】解：，
，，
解得：，，
，
的立方根是.
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，再将其代入计算即可.
25．【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
即，
∴.
（2）解：∵，即，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式展开可得，，再求出，最后求出即可；
（2）利用完全平方公式展开可得，，再求出，最后求出即可．
（1）解：∵，，
∴，，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，
即，
∴．
26．【答案】解：
∵AE＝CF，∴AE﹣EF＝CF﹣EF，
∴AF＝CE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴DF＝BE．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由“AAS”可证△ADF≌△CBE，可得DF=BE．
27．【答案】解：由折叠的性质得，
设，
∵，
∴，
在中，，即，
解得：，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】设，则，再利用勾股定理可得，求出，再求出BE的长，最后利用三角形的面积公式求出△ABE的面积即可.
28．【答案】解：（1）120，36°；
(2)C级的人数为：(人)，
补全条形图如图：
(3)．
答：估计参赛作品达到B级以上有450份．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)从统计表中知A级的人数和A级的百分比分别为：24人，20%，
∴抽查了的学生数为：(人)，
“D级”部分所对应的圆心角圆心角为：；
故答案为：，；
【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“D”的百分比并乘以360°可得答案；
（2）先求出“C”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“B级以上”的百分比，再乘以750可得答案.
29．【答案】（1）证明：过点E作，垂足为H，
∵平分，，
∴，
又∵是中点，即，
∴，
∵，，
∴平分．
（2）解：如图：在上截取，连接．
平分，
．
在和中，
，
，．
是的中点，
．
又，
，
，
，
在和中
．
，
，
，
∴.
【知识点】直角梯形；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）过点E作，垂足为H，先证出，再结合，，利用角平分线的判定方法可得平分；
（2）在上截取，连接，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，再证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换求出即可.
（1）证明：过点E作，垂足为H，
∵平分，，
∴，
又∵是中点，即，
∴，
∵，，
∴：平分．
（2）解：如图：在上截取，连接．
平分，
．
在和中，
，
，．
是的中点，
．
又，
，
，
，
在和中
．
，
，
，
∴
1 / 1湖南省衡阳市耒阳市正源学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024七下·耒阳期末）下列四个实数中，是无理数的为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是无理数，符合题意；
D、是有理数，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数．
2．（2024七下·耒阳期末）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A．，原式计算错误，故选项A不符合题意；
B．，原式计算正确，故选项B符合题意；
C．和不是同类项，不能合并，原式不正确，故选项C不符合题意；
D．和不是同类项，不能合并，原式不正确，故选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、单项式除以单项式及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
3．（2024七下·耒阳期末）下列各式中，能进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、不能因式分解，不符合题意；
B、不能因式分解，不符合题意；
C、，能进行因式分解，符合题意；
D、不能因式分解，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用因式分解的步骤（①提取；②套公式；③检查是否能继续因式分解）分析求解即可.
4．（2024七下·耒阳期末）下列语句中，不是命题的是（　　）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．同位角相等 D．作∠A的平分线
【答案】D
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A.两点确定一条直线，是一个真命题；
B.垂线段最短，是一个真命题；
C.同位角相等，是一个假命题；
D.作∠A的平分线，没有判断的意义，不是命题.
故答案为：D.
【分析】在数学中，判断某一件事情的陈述句叫做命题，根据命题的定义进行选择即可；作∠A的平分线，是描述性的语言，不带有判断性，所以不符合题意。
5．（2024七下·耒阳期末）如图，点 在同一直线上， ， ，再添加一个条件仍不能证明 ≌的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由BE=CF得到：BC=FE．A、由条件BC=FE，∠B=∠F添加AB=DF，根据全等三角形的判定定理SAS能证明△ABC≌△DFE，故本选项错误；
B、由条件BC=FE，∠B=∠F添加∠A=∠D，根据全等三角形的判定定理AAS能证明△ABC≌△DFE，故本选项错误；
C、因为AC∥DE，所以∠ACB=∠DEF，再由条件BC=FE，∠B=∠F，根据全等三角形的判定定理ASA能证明△ABC≌△DFE，故本选项错误；
D、由条件BC=FE，∠B=∠F添加AC=DE，由SSA不能证明△ABC≌△DFE，故本选项正确．
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
6．（2024七下·耒阳期末）若等腰三角形的两条边长为2和5，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．12 B．9 C．12或9 D．7或15
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的性质是：两边相等，两底角相等。在这个问题中，已知等腰三角形的两条边分别为2和5.
周长（P）的计算公式为：P=2a+b
其中，a为等腰三角形的等边长，b为底边长。
在这个问题中，a为5，b为2。将这些值代入周长公式，得到：
P=5×2+2=12.
故答案为： A.
【分析】根据三角形的性质，任意两边之和必须大于第三边。在这种情况下，如果两腰分别为2，2，而底边为5，无法形成一个三角形，因为两边之和小于第三边，因此腰是5.
7．（2024七下·耒阳期末）如图，已知点D在的中垂线上，如果，那么的周长是(　　)
A．8 B．7 C．6 D．无法确定
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的中垂线交于点，交于点，
∴，
∵，
∵的周长，
故答案为：A．
【分析】先利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求出△DBC的周长即可.
8．（2024七下·耒阳期末）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于
C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”时，
应先假设：每一个内角都小于，
故选：B．
【分析】
反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．（2024七下·耒阳期末）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，则蚂蚁爬行的最短路径为AB'，如图，
AC=12，CB'=5，
在Rt△ACB'，
所以它爬行的最短路程为13cm．
故答案为：C．
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出最小值即可.
10．（2024七下·耒阳期末）一个直角三角形“两边”的长分别为3和4，则“第三边”的长是（　　）.
A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当4为直角边时，第三边长为 ；
当4为斜边时，第三边长为 .
【分析】已知没有明确斜边和直角边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，这是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（2024七下·耒阳期末）的平方根是　 　 ．
【答案】±3
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：=9，
9的平方根是±3，
故答案为：±3．
【分析】首先化简，再根据平方根的定义计算平方根．
12．（2024七下·耒阳期末），，则　 　．
【答案】2
【知识点】同底数幂的除法；求代数式的值-整体代入求值；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
13．（2024七下·耒阳期末）若 ，且 ，则 　 　．
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵m2-n2=（m+n）（m-n）=6，且m-n=3，
∴m+n=2．
故答案为：2．
【分析】利用平方差公式可得m2-n2=（m+n）（m-n），再整体代入计算即可。
14．（2024七下·耒阳期末）当　 　时，分式的值为0．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得：且，，
∴，
故答案为：．
分析】
此题主要考查了分式的值为零的条件。直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
15．（2024七下·耒阳期末）如图，，若，，则的长为　 　．
【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出即可.
16．（2024七下·耒阳期末）如图，，，若，，则D到AB的距离为　 　。
【答案】4
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，如图：
∵BC=10，BD=6，
∴CD=BC-BD=4，
∵∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=4，
故答案为：4．
【分析】作DE⊥AB于E，先利用线段的和差求出CD=BC-BD=4，再利用角平分线的性质可得DE=CD=4.
17．（2024七下·耒阳期末） Rt△ABC中，三边分别是a，b，c，斜边c=3，则a2+b2+c2的值为　 　．
【答案】18
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为直角三角形，斜边c=3，
∴a2+b2=c2=22=9，
∴a2+b2+c2=9+9=18，
故答案为：18．
【分析】根据题意先求出a2+b2=c2=22=9，再求解即可。
18．（2024七下·耒阳期末）如图，高的教学楼前有一颗高的大树，它们相距，树的顶端有一只小鸟，它要飞到楼顶上，至少要飞行　 　．
【答案】10
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：设楼顶为点A，树顶为点B，与树顶平行的到楼的距离为BC，如图所示：
由题意，得AC=14-6=8m，BC=6m
在Rt△ABC中，m
∴至少要飞行10m，
故答案为：10.
【分析】设楼顶为点A，树顶为点B，与树顶平行的到楼的距离为BC，先利用线段的和差求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可.
19．（2024七下·耒阳期末）某班级40名学生在一次考试中，分数段在90～100分的频率为0.15，则该班级在这个分数段内的学生有　 　人．
【答案】6
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由题意得：40×0.15＝6，
∴该班级在这个分数段内的学生有6人，
故答案为：6．
【分析】利用“频率=频率×总数”列出算式求解即可.
20．（2024七下·耒阳期末）当　 　时，分式的值不等于零．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：若分式的值不等于零，则且
且
故答案为：且．
【分析】利用分式的值不为零的条件列出不等式组求解即可.
三、解答题（共6题，满分90分）
21．（2024七下·耒阳期末）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、算术平方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用二次根式和立方根的性质化简，再计算即可；
（3）利用平方差公式的计算方法分析求解即可；
（4）利用完全平方公式的计算方法分析求解即可.
（1）解：
（2）
（3）
（4）
22．（2024七下·耒阳期末）因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的定义及计算方法（运用完全平方公式将某些多项式分解因式，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差，右边是这两个数和或差的平方）分析求解即可；
（2）利用平方差公式的定义及计算方法（运用平方差公式对某些多项式进行因式分解，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与这两个数的差的积）分析求解即可；
（3）利用分组分解因式的计算方法分析求解即可；
（4）利用十字相乘的定义及计算方法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）分析求解即可.
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：．
23．（2024七下·耒阳期末）在图中找出点P，使得点P到C、D两点的距离相等，并且点P到OA、OB的距离也相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图所示：
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先作出线段CD的垂直平分线，再作出∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P.
24．（2024七下·耒阳期末）若，求的立方根．
【答案】解：，
，，
解得：，，
，
的立方根是.
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，再将其代入计算即可.
25．（2024七下·耒阳期末）已知，．求下列各值．
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
即，
∴.
（2）解：∵，即，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式展开可得，，再求出，最后求出即可；
（2）利用完全平方公式展开可得，，再求出，最后求出即可．
（1）解：∵，，
∴，，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，
即，
∴．
26．（2024七下·耒阳期末）如图，E、F在线段AC上，∠A＝∠C，AE＝CF，若∠B＝∠D．
求证：DF＝BE．
【答案】解：
∵AE＝CF，∴AE﹣EF＝CF﹣EF，
∴AF＝CE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴DF＝BE．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由“AAS”可证△ADF≌△CBE，可得DF=BE．
27．（2024七下·耒阳期末）如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．若，，求的面积．
【答案】解：由折叠的性质得，
设，
∵，
∴，
在中，，即，
解得：，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】设，则，再利用勾股定理可得，求出，再求出BE的长，最后利用三角形的面积公式求出△ABE的面积即可.
28．（2024七下·耒阳期末）某校组织学生书法比赛，对参赛作品按A、B、C、D四个等级进行了评定．现随机抽取部分学生书法作品的评定结果进行分析，并绘制扇形统计图和条形统计图如下：
根据上述信息完成下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共抽查了______名学生，图①中“D级”部分所对应的圆心角的大小___°；
（2）请在图②中把条形统计图补充完整；
（3）已知该校这次活动共收到参赛作品750份，请你估计参赛作品达到B级以上（即A级和B级）有多少份？
【答案】解：（1）120，36°；
(2)C级的人数为：(人)，
补全条形图如图：
(3)．
答：估计参赛作品达到B级以上有450份．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)从统计表中知A级的人数和A级的百分比分别为：24人，20%，
∴抽查了的学生数为：(人)，
“D级”部分所对应的圆心角圆心角为：；
故答案为：，；
【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“D”的百分比并乘以360°可得答案；
（2）先求出“C”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“B级以上”的百分比，再乘以750可得答案.
29．（2024七下·耒阳期末）如图，是AD中点，平分．
（1）若，求证：平分．
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明：过点E作，垂足为H，
∵平分，，
∴，
又∵是中点，即，
∴，
∵，，
∴平分．
（2）解：如图：在上截取，连接．
平分，
．
在和中，
，
，．
是的中点，
．
又，
，
，
，
在和中
．
，
，
，
∴.
【知识点】直角梯形；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）过点E作，垂足为H，先证出，再结合，，利用角平分线的判定方法可得平分；
（2）在上截取，连接，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，再证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用线段的和差及等量代换求出即可.
（1）证明：过点E作，垂足为H，
∵平分，，
∴，
又∵是中点，即，
∴，
∵，，
∴：平分．
（2）解：如图：在上截取，连接．
平分，
．
在和中，
，
，．
是的中点，
．
又，
，
，
，
在和中
．
，
，
，
∴
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