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浙江省杭州学军中学教育集团文渊中学2024--2025学年八年级上学期10月份数学月考卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八上·杭州月考）下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：沿一条直线对折，两部分完全重合的图形称为轴对称图形，选项A中沿中间竖直线对折，两部分完全重合，其他选项图形均无法找到符合条件的对折直线，故只有A选项图形为轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形的定义判断．解题的关键是找对称轴。
2．（2024八上·杭州月考）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当腰长为2时，2+2=4＜5，不能构成三角形；
当腰长为5时，2+5=7＞5，能构成三角形，
∴它的周长为5+5+2=12.
故答案为：C
【分析】当腰长为2时，2+2=4＜5，不能构成三角形；当腰长为5时，2+5=7＞5，能构成三角形，然后求出此三角形的周长.
3．（2024八上·杭州月考）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（　　）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角是50°，
∴底角为：（180°-50°）÷2=65°.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角的度数相同，再根据三角形内角和为180°，计算即可得出答案．
4．（2024八上·杭州月考）如图，均为的角平分线．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵是的角平分线，，
∴，
∵
∴．
∵是的角平分线，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用角平分线的定义可得∠CAD，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠ACB，最后利用角平分线定义即可得出的度数 ．
5．（2024八上·杭州月考）下列条件不能得到等边三角形的是（　　）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底边相等的等腰三角形
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意，B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
6．（2024八上·杭州月考）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】逆命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：“若，则”的逆命题是“若，则”
A、当时，满足条件，不满足结论，故A符合题意；
B．当时，不满足条件，故B不符合题意；
C． 当时，不满足条件，故C不符合题意；
D． 当时，满足条件，满足结论，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】逆命题：将原命题的条件和结论互换位置，根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题对选项逐一判断即可.
7．（2024八上·杭州月考）如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：A、 当 时，可利用AAS证全等，故A不符合题意；
B、当 时，不能证明全等，故B不符合题意；
C、当 时，可利用AAS证全等，故C不符合题意；．
D、当 时，可利用HL证全等，故D符合题意；．
故答案为：D．
【分析】HL定理：在两个直角三角形中，如果其中一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，根据HL定理的条件逐一进行判断即可.
8．（2024八上·杭州月考）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（　　）
A．小于1m B．大于1m
C．等于1m D．小于或等于1m
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠AOB=∠A'OB'=90°，AO=5，BO=12，A'O=6
∴在Rt△AOB中，AB2＝AO2＋OB2＝169，在Rt△A'OB'中，A'B'2＝A'O2＋OB'2．
∵AB＝A'B'，
∴OB'＝==，
∴BB'＝OB OB'＝12 ＜1．
故答案为：A．
【分析】在Rt△AOB中依据勾股定理计算AB2，再在Rt△A'OB'中依据勾股定理可求得OB'的长，作差即可求得BB'的长．
9．（2024八上·杭州月考）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是尺，
由勾股定理得：．
故选：D．
【分析】根据题意画出图形，利用x表示出AB的长，利用勾股定理得出方程，解方程即可．
10．（2024八上·杭州月考）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（　　）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵若，
又，
∴与满足“”的关系，无法证明全等，
因此无法得出，故A是假命题，
∵若，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故B是真命题；
若，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故C是真命题；
若，则在和中，
，
∴，
∴，故D是真命题；
故答案为：A．
【分析】根据无法证明与全等，从而无法得到判断A选项；利用ASA得到判断B选项；利用SAS得到，判断C选项；证明，判断D选项解题即可．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·杭州月考）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是　 　．
【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线索截，结论是：内错角相等．将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，可简说成“内错角相等，两直线平行”.
故答案为： 内错角相等，两直线平行 .
【分析】一个命题一般包括题设和结论两部分，“如果”后面接的是题设，“那么”后面接的结论，将原命题的将题设和结论互换得逆命题.
12．（2024八上·杭州月考）如图，在中，，为的中点．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，是的中点，
，
为等腰三角形，
，
，
故答案为：．
【分析】由在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，可得为等腰三角形，根据等角对等边可得的度数，进而可得的度数．
13．（2024八上·杭州月考）如图，在中，于点，与相交于点．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
又∵，，
，
在和中，
∴（）
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用垂直的定义判断△BDH和△ADC的形状，然后利用勾股定理确定BD的长度，再利用HL证△BDH和△ADC全等，再由全等三角形的对应边相等得AD的长度，最后利用勾股定理即可求出AB的长.
14．（2024八上·杭州月考）如图，，垂直平分，交于点，交于点，若的周长为，，则的周长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵．，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由垂直平分，得，由的周长结合已知求得，从而即可得解.
15．（2024八上·杭州月考）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为　 　
【答案】60°或120°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），
∵，
∴，即顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），
∵，
∴，
∴，即顶角是120°．
故答案为：60或120．
【分析】分类讨论，结合图形，计算求解即可。
16．（2024八上·杭州月考）如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：连接，
∵点分别是点关于的对称点，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点为上一点，
∴当取得最小值时，则，此时取得最小值，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：
【分析】连接，由轴对称的性质得到，，得到，，则是等腰直角三角形，得到，当取得最小值时，则，此时取得最小值，求出AD的长度，即可得到的最小值．
三、解答题（本大题共有8小题，共72分）
17．（2024八上·杭州月考）如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画三角形，使它的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）在图甲中画出一个以为底边且面积为的等腰三角形；
（2）在图乙中画出一个以为直角边的直角三角形．
【答案】（1）解：如图，为所求；
∵，，
∴为所求的等腰三角形；
（2）解：如图，为所求，
∵，，
∴，
∴是以为直角边的直角三角形，即为所求．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】根据考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识解答即可；
（1）取格点，连接，即可；
（2）取格点，连接，．
（1）解：如图，为所求；
，，
∴为所求的等腰三角形；
（2）解：如图，为所求，
，，
∴，
∴是以为直角边的直角三角形，即为所求．
18．（2024八上·杭州月考）如图，已知，，点E、F在BC上，．求证：．
【答案】证明：，
，
，
，即BF=CE，
在与中，
，
．
【知识点】等式的基本性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再推出，进而根据证明，根据全等三角形的性质即可得证．
19．（2024八上·杭州月考）如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积．
【答案】解：如图，连接，∵，，，
∴，
又∵，，
∴，，
∴
∴，
∴四边形面积为：
．
答：这块空地的面积是．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证，再根据即可得出答案．
20．（2024八上·杭州月考）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写已知、求证、然后证明）
【答案】证明：已知：如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：DE=DF．
证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD为∠BAC的平分线，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】先写出已知、求证，然后根据等腰三角形的性质和角平分线的性质进行证明即可．
21．（2024八上·杭州月考）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由．
【答案】解：，，理由如下：
∵
∴
又∵在和中，
∴（）
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂线的概念；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用垂直定义得，再利用SAS证，接着利用全等三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，垂线的判定，即可得解．
22．（2024八上·杭州月考）尺规作图：
（1）用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为；
（2）用直尺和圆规在数轴上作出一个点，使该点表示的实数为．
【答案】（1）解：如图所示，先取，再作，然后取，
∴，
∴线段即为所求．
（2）解：如图，点表示的实数为，
由题意得，
∴点表示的实数为，
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意先取，再作，然后取，连接即可；
（2）作，，，以为圆心，长为半径作弧交正半轴于即可．
（1）解：如图所示，先取，再作，然后取，
∴，
∴线段即为所求．
（2）解：如图，点表示的实数为，
由题意得，
23．（2024八上·杭州月考）如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题：
（1）若，求证：；
（2）连接，当点在线段上时：
①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ；
②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中
，
∴，
∴；
（2）①，；
②，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，为中边上的中线，
∴，即，
又，，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（2）解：①∵，
∴，即，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，；②
【分析】（1）利用证明即可得证；
（2）①利用证明得出，，然后证明是等边三角形即可求解；
②利用证明得出，然后利用等腰三角形的性质求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，；
②，理由如下：
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，为中边上的中线，
∴，即，
又，，
∴．
24．（2024八上·杭州月考）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接．
（1）当秒时，求的长度；
（2）当为等腰三角形时，求的值；
（3）过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值．
【答案】（1）根据题意，得，
∴，
在中，，
由勾股定理，得；
（2）根据题意，得，
在中，，
由勾股定理，得．
若，则，解得；
若，则，，解得；
若，则，解得．
答：当为等腰三角形时，t的值为、16、5；
（3）当t的值为5或11时，平分．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示：
则，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示：
同①得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，平分．
【分析】（1）先用t表示出，再根据勾股定理即可求解；
（2）先利用勾股定理计算出AB的长度，再由等腰三角形的性质分三种情况讨论，列出等式，即可求解；
（3）分两种情况：①点P在线段上时，过点D作于E，先证，利用全等三角形的对应边相等得出ED的长度，再利用角平分线的性质表示出PE，再由勾股定理求出，然后表示出，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，同①得，利用全等三角形的对应边相等得出ED的长度，，再由勾股定理得，然后表示出AP，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
（1）解：根据题意，得，
∴，
在中，，
由勾股定理，得；
（2）解：在中，，
由勾股定理，得．
若，则，解得；
若，则，，解得；
若，则，解得．
答：当为等腰三角形时，t的值为、16、5；
（3）解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示：
则，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示：
同①得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，平分．
1 / 1浙江省杭州学军中学教育集团文渊中学2024--2025学年八年级上学期10月份数学月考卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八上·杭州月考）下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·杭州月考）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
3．（2024八上·杭州月考）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（　　）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
4．（2024八上·杭州月考）如图，均为的角平分线．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·杭州月考）下列条件不能得到等边三角形的是（　　）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底边相等的等腰三角形
6．（2024八上·杭州月考）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·杭州月考）如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·杭州月考）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（　　）
A．小于1m B．大于1m
C．等于1m D．小于或等于1m
9．（2024八上·杭州月考）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八上·杭州月考）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（　　）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·杭州月考）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是　 　．
12．（2024八上·杭州月考）如图，在中，，为的中点．若，则的度数为　 　．
13．（2024八上·杭州月考）如图，在中，于点，与相交于点．若，，则　 　．
14．（2024八上·杭州月考）如图，，垂直平分，交于点，交于点，若的周长为，，则的周长为　 　．
15．（2024八上·杭州月考）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为　 　
16．（2024八上·杭州月考）如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是　 　．
三、解答题（本大题共有8小题，共72分）
17．（2024八上·杭州月考）如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画三角形，使它的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）在图甲中画出一个以为底边且面积为的等腰三角形；
（2）在图乙中画出一个以为直角边的直角三角形．
18．（2024八上·杭州月考）如图，已知，，点E、F在BC上，．求证：．
19．（2024八上·杭州月考）如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积．
20．（2024八上·杭州月考）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写已知、求证、然后证明）
21．（2024八上·杭州月考）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由．
22．（2024八上·杭州月考）尺规作图：
（1）用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为；
（2）用直尺和圆规在数轴上作出一个点，使该点表示的实数为．
23．（2024八上·杭州月考）如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题：
（1）若，求证：；
（2）连接，当点在线段上时：
①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ；
②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
24．（2024八上·杭州月考）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接．
（1）当秒时，求的长度；
（2）当为等腰三角形时，求的值；
（3）过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：沿一条直线对折，两部分完全重合的图形称为轴对称图形，选项A中沿中间竖直线对折，两部分完全重合，其他选项图形均无法找到符合条件的对折直线，故只有A选项图形为轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形的定义判断．解题的关键是找对称轴。
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当腰长为2时，2+2=4＜5，不能构成三角形；
当腰长为5时，2+5=7＞5，能构成三角形，
∴它的周长为5+5+2=12.
故答案为：C
【分析】当腰长为2时，2+2=4＜5，不能构成三角形；当腰长为5时，2+5=7＞5，能构成三角形，然后求出此三角形的周长.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角是50°，
∴底角为：（180°-50°）÷2=65°.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角的度数相同，再根据三角形内角和为180°，计算即可得出答案．
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵是的角平分线，，
∴，
∵
∴．
∵是的角平分线，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用角平分线的定义可得∠CAD，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠ACB，最后利用角平分线定义即可得出的度数 ．
5．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意，B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
6．【答案】A
【知识点】逆命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：“若，则”的逆命题是“若，则”
A、当时，满足条件，不满足结论，故A符合题意；
B．当时，不满足条件，故B不符合题意；
C． 当时，不满足条件，故C不符合题意；
D． 当时，满足条件，满足结论，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】逆命题：将原命题的条件和结论互换位置，根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题对选项逐一判断即可.
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：A、 当 时，可利用AAS证全等，故A不符合题意；
B、当 时，不能证明全等，故B不符合题意；
C、当 时，可利用AAS证全等，故C不符合题意；．
D、当 时，可利用HL证全等，故D符合题意；．
故答案为：D．
【分析】HL定理：在两个直角三角形中，如果其中一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，根据HL定理的条件逐一进行判断即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠AOB=∠A'OB'=90°，AO=5，BO=12，A'O=6
∴在Rt△AOB中，AB2＝AO2＋OB2＝169，在Rt△A'OB'中，A'B'2＝A'O2＋OB'2．
∵AB＝A'B'，
∴OB'＝==，
∴BB'＝OB OB'＝12 ＜1．
故答案为：A．
【分析】在Rt△AOB中依据勾股定理计算AB2，再在Rt△A'OB'中依据勾股定理可求得OB'的长，作差即可求得BB'的长．
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；风吹树折模型
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是尺，
由勾股定理得：．
故选：D．
【分析】根据题意画出图形，利用x表示出AB的长，利用勾股定理得出方程，解方程即可．
10．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵若，
又，
∴与满足“”的关系，无法证明全等，
因此无法得出，故A是假命题，
∵若，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故B是真命题；
若，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故C是真命题；
若，则在和中，
，
∴，
∴，故D是真命题；
故答案为：A．
【分析】根据无法证明与全等，从而无法得到判断A选项；利用ASA得到判断B选项；利用SAS得到，判断C选项；证明，判断D选项解题即可．
11．【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线索截，结论是：内错角相等．将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，可简说成“内错角相等，两直线平行”.
故答案为： 内错角相等，两直线平行 .
【分析】一个命题一般包括题设和结论两部分，“如果”后面接的是题设，“那么”后面接的结论，将原命题的将题设和结论互换得逆命题.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，是的中点，
，
为等腰三角形，
，
，
故答案为：．
【分析】由在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，可得为等腰三角形，根据等角对等边可得的度数，进而可得的度数．
13．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
又∵，，
，
在和中，
∴（）
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用垂直的定义判断△BDH和△ADC的形状，然后利用勾股定理确定BD的长度，再利用HL证△BDH和△ADC全等，再由全等三角形的对应边相等得AD的长度，最后利用勾股定理即可求出AB的长.
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵．，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由垂直平分，得，由的周长结合已知求得，从而即可得解.
15．【答案】60°或120°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），
∵，
∴，即顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），
∵，
∴，
∴，即顶角是120°．
故答案为：60或120．
【分析】分类讨论，结合图形，计算求解即可。
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：连接，
∵点分别是点关于的对称点，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点为上一点，
∴当取得最小值时，则，此时取得最小值，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：
【分析】连接，由轴对称的性质得到，，得到，，则是等腰直角三角形，得到，当取得最小值时，则，此时取得最小值，求出AD的长度，即可得到的最小值．
17．【答案】（1）解：如图，为所求；
∵，，
∴为所求的等腰三角形；
（2）解：如图，为所求，
∵，，
∴，
∴是以为直角边的直角三角形，即为所求．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】根据考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识解答即可；
（1）取格点，连接，即可；
（2）取格点，连接，．
（1）解：如图，为所求；
，，
∴为所求的等腰三角形；
（2）解：如图，为所求，
，，
∴，
∴是以为直角边的直角三角形，即为所求．
18．【答案】证明：，
，
，
，即BF=CE，
在与中，
，
．
【知识点】等式的基本性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再推出，进而根据证明，根据全等三角形的性质即可得证．
19．【答案】解：如图，连接，∵，，，
∴，
又∵，，
∴，，
∴
∴，
∴四边形面积为：
．
答：这块空地的面积是．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证，再根据即可得出答案．
20．【答案】证明：已知：如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：DE=DF．
证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD为∠BAC的平分线，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】先写出已知、求证，然后根据等腰三角形的性质和角平分线的性质进行证明即可．
21．【答案】解：，，理由如下：
∵
∴
又∵在和中，
∴（）
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂线的概念；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用垂直定义得，再利用SAS证，接着利用全等三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，垂线的判定，即可得解．
22．【答案】（1）解：如图所示，先取，再作，然后取，
∴，
∴线段即为所求．
（2）解：如图，点表示的实数为，
由题意得，
∴点表示的实数为，
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意先取，再作，然后取，连接即可；
（2）作，，，以为圆心，长为半径作弧交正半轴于即可．
（1）解：如图所示，先取，再作，然后取，
∴，
∴线段即为所求．
（2）解：如图，点表示的实数为，
由题意得，
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中
，
∴，
∴；
（2）①，；
②，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，为中边上的中线，
∴，即，
又，，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（2）解：①∵，
∴，即，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，；②
【分析】（1）利用证明即可得证；
（2）①利用证明得出，，然后证明是等边三角形即可求解；
②利用证明得出，然后利用等腰三角形的性质求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，；
②，理由如下：
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，为中边上的中线，
∴，即，
又，，
∴．
24．【答案】（1）根据题意，得，
∴，
在中，，
由勾股定理，得；
（2）根据题意，得，
在中，，
由勾股定理，得．
若，则，解得；
若，则，，解得；
若，则，解得．
答：当为等腰三角形时，t的值为、16、5；
（3）当t的值为5或11时，平分．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示：
则，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示：
同①得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，平分．
【分析】（1）先用t表示出，再根据勾股定理即可求解；
（2）先利用勾股定理计算出AB的长度，再由等腰三角形的性质分三种情况讨论，列出等式，即可求解；
（3）分两种情况：①点P在线段上时，过点D作于E，先证，利用全等三角形的对应边相等得出ED的长度，再利用角平分线的性质表示出PE，再由勾股定理求出，然后表示出，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，同①得，利用全等三角形的对应边相等得出ED的长度，，再由勾股定理得，然后表示出AP，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
（1）解：根据题意，得，
∴，
在中，，
由勾股定理，得；
（2）解：在中，，
由勾股定理，得．
若，则，解得；
若，则，，解得；
若，则，解得．
答：当为等腰三角形时，t的值为、16、5；
（3）解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示：
则，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示：
同①得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，平分．
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