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广东省清远市连州市第二中学2025年中考数学模拟（一）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·连州模拟）的倒数是（　　）
A． B． C．-20 D．20
2．（2025·连州模拟）2024年4月24日，“中国航天日”主场活动启动仪式上，武汉、襄阳、宜昌、孝感、咸宁、黄冈、十堰、荆门8个城市签约空天信息产业项目，项目投资总额达631.25亿元.631.25亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·连州模拟）要使分式有意义，的取值应满足（　　）
A． B． C． D．且
4．（2025·连州模拟）已知正边形的一个外角为，则边形的内角和是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·连州模拟）2024年巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日开幕，8月11日闭幕，美国、中国、日本、澳大利亚、法国分别以金牌40枚、40枚、20枚、18枚、16枚位列金牌榜前5位，则这组数据的众数是（　　）
A．40 B．20 C．18 D．16
6．（2025·连州模拟）抛物线与轴相交的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·连州模拟）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·连州模拟）如图，在中，延长至点，使，连接，取的中点，连接．当的面积为12时，的面积为（　　）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．6
9．（2025·连州模拟）一元二次方程的两根为，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·连州模拟）抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·连州模拟）计算：　 　
12．（2025·连州模拟）如图，，是的切线，，为切点，若，则　 　．
13．（2025·连州模拟）不等式组的正整数解为　 　．
14．（2025·连州模拟）广东惠东海龟国家级自然保护区是目前中国大陆唯一的海龟产卵繁殖地．世界上现存海龟共7种，我国则有绿海龟、玳瑁、蠵龟、太平洋丽龟和棱皮龟5种．若5种海龟的数量大致相等，则惠东海龟国家级自然保护区研究人员在保护区遇到棱皮龟的概率是　 　．
15．（2025·连州模拟）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如的方程的图解法是：如图，以和为直角边作，再在斜边上截取，则的长为所求方程的正根．若关于的一元二次方程，当图中，那么的值为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025·连州模拟）计算：．
17．（2025·连州模拟）一次函数与反比例函数的图象都经过点，求一次函数和反比例函数的解析式．
18．（2025·连州模拟）如图，菱形的对角线相交于点．
（1）实践与操作：作边上的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）应用与证明：若，求的长．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·连州模拟）在2024年贵州文旅“四免一多一减”优惠活动中，广东省居民享受贵州全省国有A级旅游景区门票免费优惠．小明一家打算在贵阳、铜仁、黔东南、黔西南四个城市中挑选一个地方进行旅游，他们给不同的城市进行评分如下表所示：
城市 自然景观 人文历史 酒店住宿 交通
贵阳 6 7 10 8
铜仁 5 10 6 7
黔东南 15.0 8 5.8 6
黔西南 10 7 7 6
（1）如果四项同等重要，小明家将选择哪个城市去游玩？
（2）如果自然景观、人文历史、酒店住宿和交通按照的权重，那么小明家将选择哪个城市进行游玩？
（3）小明的邻居小红家也有同样的出游打算，目的地也在贵阳、铜仁、黔东南、黔西南四个城市中挑选，那么小明家和小红家选择去同一个城市的概率是多少？请用树状图或列表表示出来并求解．
20．（2025·连州模拟）足球被称为“世界第一运动”，精彩赛事让许多球迷回味不已．
（1）若球赛以小组为单位进行单循环制，组共比赛了场，则组有多少支球队？
（2）在（1）的条件下，若球赛以积分形式决定球队是否晋级，胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某球队在组目标是积分，则该球队胜、平、负的场数分别可以是多少？请列举说明．
21．（2025·连州模拟）如图，内接于是的直径，是的切线交的延长线于点于点是上的动点（不与点，重合），连接并延长到点，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，求四边形面积的最大值．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025·连州模拟）【知识技能】
（1）如图1，把纸对折，使与重合，得到折痕，再沿着折叠得到，找出一个与相等的角为___________；
【数学理解】
（2）如图2，延长交于点，过点作的垂线交于点，求证：；
【拓展探索】
（3）①试判断四边形的形状为___________；
②若纸的长、宽比为，求的值．
23．（2025·连州模拟）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．
（1）求的长．
（2）求的面积．
（3）抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，（）×（）=1．所以-4×5的倒数是
故选：A．
【分析】
本题主要考查了有理数乘法、倒数的定义(乘积为1的两个数互为倒数）。先根据有理数乘法法则计算，然后再求倒数即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故选：C．
【分析】
先把亿作单位的数改写成用1（个）作单位，然后用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n是比位数少1的正整数.
3．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
得．
故选：C．
【分析】根据分局分式的意义：分母不为0，列式计算即可．
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵360°÷30°=12（条）
∴该正多边形是正十二边形，
∴其内角和为．
故选： D．
【分析】本题主要考查了正多边形内角和和外角和综合，由于正多边形的外角和为360度，每个内角30°，据此可求出正多边形的边数，再根据正边形的内角和为计算求解即可．
5．【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意可得，出现的次数最多，故众数为，
故选：A．
【分析】
本题考查了众数．众数是一组数据中出现次数最多的数值。一组数据可能有一个众数，也可能有多个众数，或者没有众数。据此可以作出选择。
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在中，令，则，
∴抛物线与轴相交的坐标为，
或y=(x+4)(x-2)=，与轴相交的坐标为，
故选：B．
【分析】
本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，令，求出此时的函数值即可得到答案．或把y=(x+4)(x-2)化成一般形式其中C值就是就是与y轴的交点。
7．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：，
∴是的中线，
∴，
又是的中点，
．
故选：D．
【分析】
本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分成为解题的关键．根据三角形中位线的性质可得，同理可得．
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴
∴
．
故选：B．
【分析】若是的两个实数根，则，据此代值计算即可得到答案．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：观察抛物线的图像可知：抛物线的开口向下，
∴，
∵与轴的交点在原点上方可，
∴，
∴，即①正确；
∵抛物线与轴交于，顶点（1，m），可知对称轴为直线
∴抛物线与x轴的另一交点为，
∴当时，；
当时，，
∴两式相减可得，即②正确；
∵抛物线顶点坐标为，开口向下，
∴为最大值，
∴对于任意实数，都有，即③错误；
④由图象可得，当时，，即④正确．
综上，正确的有3个．
故选：C．
【分析】
本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关系等知识点。根据图象开口向上可知，与轴的交点在原点上方可知，据此可判断①；因为抛物线与轴交于，对称轴为直线，所以另一交点为，则、两式相减可得，可判断②；抛物线顶点坐标为，开口向下，则为最大值，对于任意实数，都有，据此可判断③；由图象可得当时，，据此可判定④．

11．【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】原式=.
故答案为：1.
【分析】
本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。分式运算的结果要化为最简分式或者整式.根据同分母的分式相加减的法则计算即可.
12．【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴．
又，
平分，
在中，，
∴，
则，
则．
故答案为：．
【分析】
该题考查切线的性质，解直角三角形，角平分线的判定，根据切线的性质得出OB⊥PB，解直角三角形，从而得出∠OPB=30°，即可求解．
13．【答案】1，2，3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为，
∴正整数解为1，2，3．
故答案为：1，2，3．
【分析】先分别求出各不等式的解，然后确定不等式组的解集，最后确定正整数解即可．
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可得，惠东海龟国家级自然保护区研究人员在保护区遇到棱皮龟的概率是，
故答案为：．
【分析】
该题考查了概率计算，根据题意结合概率公式 ：P(A)=A包含的基本事件数/基本事件总数计算即可
15．【答案】12
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得
由于BC=，m＞0
∴，
故答案为：12．
【分析】
本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，根据题意可得，，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
16．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】
根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负指数幂的运算法则、平方根，实数的运算法则来求解．
17．【答案】解：反比例函数的图象经过点，
反比例函数的解析式为．
一次函数的图象经过点
，
解得．
一次函数的解析式为．
综上一次函数解析式：
反比例函数解析式：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式，利用待定系数法求解即可。
18．【答案】（1）解：如图所示，EF即为所求．
（2）解：由（1）得EF垂直平分AB，
∵AF=2.EF=1
∴．
四边形ABCD是菱形，
∴△ABD是等边三角形．
∴AB=AD=BD
在Rt△AEF中，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】该题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，尺规作线段垂直平分线等知识点，解题的关键是掌握以上知识点（1）考查尺规作线段垂直平分线的方法．分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧，连接两弧的交点的直线即为AB的垂直平分线。
（2）由（1）得EF垂直平分AB，在Rt△AEF中，解直角三角形求出∠FAE=30°，从而证明△ABD是正三角形，AB=AD=BD，再根据勾股定理求出AE=，继而求出AB.
（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：由（1）得垂直平分，
∴
在中，．
∵，
∴
∴．
四边形是菱形，
．
是等边三角形．
．
19．【答案】（1）解：
贵阳平均分
铜仁平均分
黔东南平均分
黔西南平均分
∵
∴小明家将选择贵阳游玩．
（2）解：贵阳加权平均数
铜仁加权平均数
黔东南加权平均数 黔西南 加权平均数
∵，
∴小明家将选择黔西南游玩．
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中选择去同一个城市的结果有4种，所以选择去同一个城市的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）分别计算出平均分，比较即可得解；
（2）分别计算出加权平均数，比较即可得解；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
（1）解：设贵阳为城市，铜仁为城市，黔东南为城市，黔西南为城市D．
四个城市的平均分为
A：，
B：，
C：，
D：，
∵，
∴小明家将选择贵阳游玩．
（2）解：根据题意得：
A：，
B．，
C：，
D．，
∵，
∴小明家将选择黔西南游玩．
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中选择去同一个城市的结果有4种，所以选择去同一个城市的概率是．
20．【答案】（1）解：设组有支球队，
依题意得：，
解得：，（舍去）．
答：组有支球队；
（2）由（1）知A组共有9支球队，则每支队伍比赛8场．
设该球队胜了场，平了场，则负了场．
依题意得：
化简得：，
当时，此时
当时，B=1，此时
答：该球队胜、平、负的场数可以有种情况：其一：胜场、平场、负场；其二胜场、平场、负场．
【知识点】一元二次方程的其他应用；二元一次不定方程
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程和二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，并正确找出等量关系．
（1）设A组有支球队，每支球队赛(x-1)场，根据题意列方程即可求解；
（2）由（1）知A组共有9支球队，则每支队伍比赛8场．设该球队胜了场，平了场，则负了场，根据总积分得16分，列方程即可求解．
（1）解：设组有支球队，
依题意得：，
解得：，（舍去）．
答：组有支球队；
（2）由（1）知组共有支球队，则每支队伍比赛场．
设该球队胜了场，平了场，则负了场．
依题意得：，
化简得：，
当时，，此时；
当时，，此时．
答：该球队胜、平、负的场数可以有种情况：胜场、平场、负场；胜场、平场、负场．
21．【答案】（1）解：四边形ABPC是内接四边形，
（2）证明：∵AB是圆的直径，DC是圆的切线。∠BAC=60°
∴∠ABC=∠ACE=30°
在Rt△AEC中
∠EAC=90°-∠ACE=60°，
∠EAD=180°-∠BAC-∠EAC=60°，
∴∠EAD=∠EAC
∴AE平分∠DAC
（3）解：
过P点作PM⊥BC交BC于G.如图
在Rt△AEC中，∠ACE=30°，AE=1
∴AC=2
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2
∴AB=4
只有P点运动到弧BC 的中点时三角形PBC的面积最大，此时PG为BC的垂直平分线.
在Rt△BPG中，
∠BPC=120°，∠BPG=60°，
BG=
tan∠BPG=
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数，勾股定理，角平分线定义、垂径定理。熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）根据圆内接四边形的性质可得∠BAC=∠BPF=60°。
（2）根据圆周角性质求出∠ACE=30°，因而得到∠EAC=60°，根据平角定义求出∠EAD=60°，再根据角平分线定义得到AE平分∠DAC
（3）过P点作PM⊥BC交BC于G.四边形ABPC的面积=三角形ABC的面积+三角形PBC的面积。由于三角形ABC的面积固定，只有P点运动到弧BC 的中点时三角形PBC的面积最大，此时PG为BC的垂直平分线。解含有30°的直角三角形求出AC、BC，继而求出三角形ABC的面积。同理求出PG，继而求出三角形PBC的面积。再把三角形ABC的面积+三角形PBC的面积得到四边形ABPC面积的最大值。
（1）解：四边形是内接四边形，
∴，
∵，
．
（2）证明：如图，连接．
是的切线，
∴，
．
又在中，，
是等边三角形，
∴．
，
，
，
∴，
是等腰三角形．
，
平分．
（3）解：由（2）得在中，，，
．
是直径，
是直角三角形，且．
∴，
∴，
．
如图，过点作于点．
在中，为动点，为底边，当垂直平分时，的值最大，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
，
∴．
22．【答案】解：（1）∠GCE
（2）证明：由题意得，四边形ABCD是矩形，
∴
由折叠可知∠D=∠EGC=∠EMH=90°，CD=CG=MH
∴∠HGC=180°-∠EGC=90°
在△MEH和△GHC中
∠EMH=∠HGC
∠MEH=∠GHC=90°
MH=CG
∴△EMH≌△HGC(AAS)
（3）①矩形
②由于MHFE是矩形，ME=FH.根据（2）知△EMH≌△HGC。得到HG=EM=HF.设矩形ABCD的长是a，宽是a. 令G=HF=x，
，CG=DC=a，
在Rt△HCG中，
，即
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；求正切值
【解析】解答：（1）
由于△EDC沿EC折叠得到△EGC，∴∠DCE=∠GCE
故答案为：∠GCE
(3)
①矩形，
∵MD∥HC，CD∥MH
∴四边形MHCD是平行四边形，
∠D=90°，
∴四边形MHCD是矩形；
【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）由折叠的性质可知∠DCE=∠ECG；
（2）四边形ABCD是矩形，由对折性质可知，∠MEH=∠FHE，∠D=∠EGC=∠EMH=90°，MH=AB，由折叠可得CG=DC，则CG=MH，即可通过AAS证明全等；
（3）①MHCD为矩形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形。
②由于MHFE是矩形，ME=FH.根据（2）知△EMH≌△HGC。得到HG=EM=HF.设矩形ABCD的长是a，宽是a. 令G=HF=x，，CG=DC=a，在Rt△HCG中，利用勾股定理求出x.最后用求出其值。
23．【答案】（1）解；∵OE=2OA=2CO
点A坐标为(-2，0)，点E坐标为(0，-4)，C点坐标（0，2）．
将A(-2，0)，E(0，-4)分别代入中
得
解得
抛物线解析式为
在中，当时，则
解得
点B坐标(4，0)，
∴OB=4．
（2）解；设直线BD的解析式为，直线经过B、C两点
把点B(4，0)，C(0，2)代入，得解得
直线BD的解析式为．
联立
解得
；
（3）解：∵抛物线解析式为，∴对称轴为直线
∵OA=2，OE=4，
∴
设，
①当PA=PE时，
解得a=-1，
；
②当PA=AE时，
解得
或；
③当PE=AE时，
解得
或
综上，点P的坐标为或或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．（1）根据OE=2OA=4，先求出点A和点E的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标，即可得到答案；
（2）先求出点C坐标，再求出直线BC解析式，进而求出点D的坐标，最后根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）先求出抛物线的对称轴，然后分PA=PE、PE=AE、PA=AE三种情况，根据两点距离计算公式建立方程求解即可．
（1）解；，
∴，
点坐标为点坐标为．
将点分别代入中得
解得
抛物线解析式为．
在中，当时，则，
解得，
点坐标为，
∴．
（2）解；设直线的解析式为，
∴，
．
把点代入，得解得
直线的解析式为．
联立
解得
；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
∵，
∴．
设，
①当时，，
解得，
；
②当时，，
解得
或；
③当时，，
解得
或．
综上，点的坐标为或或或或．
1 / 1广东省清远市连州市第二中学2025年中考数学模拟（一）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·连州模拟）的倒数是（　　）
A． B． C．-20 D．20
【答案】A
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，（）×（）=1．所以-4×5的倒数是
故选：A．
【分析】
本题主要考查了有理数乘法、倒数的定义(乘积为1的两个数互为倒数）。先根据有理数乘法法则计算，然后再求倒数即可．
2．（2025·连州模拟）2024年4月24日，“中国航天日”主场活动启动仪式上，武汉、襄阳、宜昌、孝感、咸宁、黄冈、十堰、荆门8个城市签约空天信息产业项目，项目投资总额达631.25亿元.631.25亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故选：C．
【分析】
先把亿作单位的数改写成用1（个）作单位，然后用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n是比位数少1的正整数.
3．（2025·连州模拟）要使分式有意义，的取值应满足（　　）
A． B． C． D．且
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
得．
故选：C．
【分析】根据分局分式的意义：分母不为0，列式计算即可．
4．（2025·连州模拟）已知正边形的一个外角为，则边形的内角和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵360°÷30°=12（条）
∴该正多边形是正十二边形，
∴其内角和为．
故选： D．
【分析】本题主要考查了正多边形内角和和外角和综合，由于正多边形的外角和为360度，每个内角30°，据此可求出正多边形的边数，再根据正边形的内角和为计算求解即可．
5．（2025·连州模拟）2024年巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日开幕，8月11日闭幕，美国、中国、日本、澳大利亚、法国分别以金牌40枚、40枚、20枚、18枚、16枚位列金牌榜前5位，则这组数据的众数是（　　）
A．40 B．20 C．18 D．16
【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意可得，出现的次数最多，故众数为，
故选：A．
【分析】
本题考查了众数．众数是一组数据中出现次数最多的数值。一组数据可能有一个众数，也可能有多个众数，或者没有众数。据此可以作出选择。
6．（2025·连州模拟）抛物线与轴相交的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在中，令，则，
∴抛物线与轴相交的坐标为，
或y=(x+4)(x-2)=，与轴相交的坐标为，
故选：B．
【分析】
本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，令，求出此时的函数值即可得到答案．或把y=(x+4)(x-2)化成一般形式其中C值就是就是与y轴的交点。
7．（2025·连州模拟）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
8．（2025·连州模拟）如图，在中，延长至点，使，连接，取的中点，连接．当的面积为12时，的面积为（　　）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．6
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：，
∴是的中线，
∴，
又是的中点，
．
故选：D．
【分析】
本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分成为解题的关键．根据三角形中位线的性质可得，同理可得．
9．（2025·连州模拟）一元二次方程的两根为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴
∴
．
故选：B．
【分析】若是的两个实数根，则，据此代值计算即可得到答案．
10．（2025·连州模拟）抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：观察抛物线的图像可知：抛物线的开口向下，
∴，
∵与轴的交点在原点上方可，
∴，
∴，即①正确；
∵抛物线与轴交于，顶点（1，m），可知对称轴为直线
∴抛物线与x轴的另一交点为，
∴当时，；
当时，，
∴两式相减可得，即②正确；
∵抛物线顶点坐标为，开口向下，
∴为最大值，
∴对于任意实数，都有，即③错误；
④由图象可得，当时，，即④正确．
综上，正确的有3个．
故选：C．
【分析】
本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关系等知识点。根据图象开口向上可知，与轴的交点在原点上方可知，据此可判断①；因为抛物线与轴交于，对称轴为直线，所以另一交点为，则、两式相减可得，可判断②；抛物线顶点坐标为，开口向下，则为最大值，对于任意实数，都有，据此可判断③；由图象可得当时，，据此可判定④．

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·连州模拟）计算：　 　
【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】原式=.
故答案为：1.
【分析】
本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。分式运算的结果要化为最简分式或者整式.根据同分母的分式相加减的法则计算即可.
12．（2025·连州模拟）如图，，是的切线，，为切点，若，则　 　．
【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴．
又，
平分，
在中，，
∴，
则，
则．
故答案为：．
【分析】
该题考查切线的性质，解直角三角形，角平分线的判定，根据切线的性质得出OB⊥PB，解直角三角形，从而得出∠OPB=30°，即可求解．
13．（2025·连州模拟）不等式组的正整数解为　 　．
【答案】1，2，3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为，
∴正整数解为1，2，3．
故答案为：1，2，3．
【分析】先分别求出各不等式的解，然后确定不等式组的解集，最后确定正整数解即可．
14．（2025·连州模拟）广东惠东海龟国家级自然保护区是目前中国大陆唯一的海龟产卵繁殖地．世界上现存海龟共7种，我国则有绿海龟、玳瑁、蠵龟、太平洋丽龟和棱皮龟5种．若5种海龟的数量大致相等，则惠东海龟国家级自然保护区研究人员在保护区遇到棱皮龟的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可得，惠东海龟国家级自然保护区研究人员在保护区遇到棱皮龟的概率是，
故答案为：．
【分析】
该题考查了概率计算，根据题意结合概率公式 ：P(A)=A包含的基本事件数/基本事件总数计算即可
15．（2025·连州模拟）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如的方程的图解法是：如图，以和为直角边作，再在斜边上截取，则的长为所求方程的正根．若关于的一元二次方程，当图中，那么的值为　 　．
【答案】12
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得
由于BC=，m＞0
∴，
故答案为：12．
【分析】
本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，根据题意可得，，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025·连州模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】
根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负指数幂的运算法则、平方根，实数的运算法则来求解．
17．（2025·连州模拟）一次函数与反比例函数的图象都经过点，求一次函数和反比例函数的解析式．
【答案】解：反比例函数的图象经过点，
反比例函数的解析式为．
一次函数的图象经过点
，
解得．
一次函数的解析式为．
综上一次函数解析式：
反比例函数解析式：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式，利用待定系数法求解即可。
18．（2025·连州模拟）如图，菱形的对角线相交于点．
（1）实践与操作：作边上的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）应用与证明：若，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，EF即为所求．
（2）解：由（1）得EF垂直平分AB，
∵AF=2.EF=1
∴．
四边形ABCD是菱形，
∴△ABD是等边三角形．
∴AB=AD=BD
在Rt△AEF中，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】该题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，尺规作线段垂直平分线等知识点，解题的关键是掌握以上知识点（1）考查尺规作线段垂直平分线的方法．分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧，连接两弧的交点的直线即为AB的垂直平分线。
（2）由（1）得EF垂直平分AB，在Rt△AEF中，解直角三角形求出∠FAE=30°，从而证明△ABD是正三角形，AB=AD=BD，再根据勾股定理求出AE=，继而求出AB.
（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：由（1）得垂直平分，
∴
在中，．
∵，
∴
∴．
四边形是菱形，
．
是等边三角形．
．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·连州模拟）在2024年贵州文旅“四免一多一减”优惠活动中，广东省居民享受贵州全省国有A级旅游景区门票免费优惠．小明一家打算在贵阳、铜仁、黔东南、黔西南四个城市中挑选一个地方进行旅游，他们给不同的城市进行评分如下表所示：
城市 自然景观 人文历史 酒店住宿 交通
贵阳 6 7 10 8
铜仁 5 10 6 7
黔东南 15.0 8 5.8 6
黔西南 10 7 7 6
（1）如果四项同等重要，小明家将选择哪个城市去游玩？
（2）如果自然景观、人文历史、酒店住宿和交通按照的权重，那么小明家将选择哪个城市进行游玩？
（3）小明的邻居小红家也有同样的出游打算，目的地也在贵阳、铜仁、黔东南、黔西南四个城市中挑选，那么小明家和小红家选择去同一个城市的概率是多少？请用树状图或列表表示出来并求解．
【答案】（1）解：
贵阳平均分
铜仁平均分
黔东南平均分
黔西南平均分
∵
∴小明家将选择贵阳游玩．
（2）解：贵阳加权平均数
铜仁加权平均数
黔东南加权平均数 黔西南 加权平均数
∵，
∴小明家将选择黔西南游玩．
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中选择去同一个城市的结果有4种，所以选择去同一个城市的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）分别计算出平均分，比较即可得解；
（2）分别计算出加权平均数，比较即可得解；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
（1）解：设贵阳为城市，铜仁为城市，黔东南为城市，黔西南为城市D．
四个城市的平均分为
A：，
B：，
C：，
D：，
∵，
∴小明家将选择贵阳游玩．
（2）解：根据题意得：
A：，
B．，
C：，
D．，
∵，
∴小明家将选择黔西南游玩．
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中选择去同一个城市的结果有4种，所以选择去同一个城市的概率是．
20．（2025·连州模拟）足球被称为“世界第一运动”，精彩赛事让许多球迷回味不已．
（1）若球赛以小组为单位进行单循环制，组共比赛了场，则组有多少支球队？
（2）在（1）的条件下，若球赛以积分形式决定球队是否晋级，胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某球队在组目标是积分，则该球队胜、平、负的场数分别可以是多少？请列举说明．
【答案】（1）解：设组有支球队，
依题意得：，
解得：，（舍去）．
答：组有支球队；
（2）由（1）知A组共有9支球队，则每支队伍比赛8场．
设该球队胜了场，平了场，则负了场．
依题意得：
化简得：，
当时，此时
当时，B=1，此时
答：该球队胜、平、负的场数可以有种情况：其一：胜场、平场、负场；其二胜场、平场、负场．
【知识点】一元二次方程的其他应用；二元一次不定方程
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程和二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，并正确找出等量关系．
（1）设A组有支球队，每支球队赛(x-1)场，根据题意列方程即可求解；
（2）由（1）知A组共有9支球队，则每支队伍比赛8场．设该球队胜了场，平了场，则负了场，根据总积分得16分，列方程即可求解．
（1）解：设组有支球队，
依题意得：，
解得：，（舍去）．
答：组有支球队；
（2）由（1）知组共有支球队，则每支队伍比赛场．
设该球队胜了场，平了场，则负了场．
依题意得：，
化简得：，
当时，，此时；
当时，，此时．
答：该球队胜、平、负的场数可以有种情况：胜场、平场、负场；胜场、平场、负场．
21．（2025·连州模拟）如图，内接于是的直径，是的切线交的延长线于点于点是上的动点（不与点，重合），连接并延长到点，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）解：四边形ABPC是内接四边形，
（2）证明：∵AB是圆的直径，DC是圆的切线。∠BAC=60°
∴∠ABC=∠ACE=30°
在Rt△AEC中
∠EAC=90°-∠ACE=60°，
∠EAD=180°-∠BAC-∠EAC=60°，
∴∠EAD=∠EAC
∴AE平分∠DAC
（3）解：
过P点作PM⊥BC交BC于G.如图
在Rt△AEC中，∠ACE=30°，AE=1
∴AC=2
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2
∴AB=4
只有P点运动到弧BC 的中点时三角形PBC的面积最大，此时PG为BC的垂直平分线.
在Rt△BPG中，
∠BPC=120°，∠BPG=60°，
BG=
tan∠BPG=
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数，勾股定理，角平分线定义、垂径定理。熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）根据圆内接四边形的性质可得∠BAC=∠BPF=60°。
（2）根据圆周角性质求出∠ACE=30°，因而得到∠EAC=60°，根据平角定义求出∠EAD=60°，再根据角平分线定义得到AE平分∠DAC
（3）过P点作PM⊥BC交BC于G.四边形ABPC的面积=三角形ABC的面积+三角形PBC的面积。由于三角形ABC的面积固定，只有P点运动到弧BC 的中点时三角形PBC的面积最大，此时PG为BC的垂直平分线。解含有30°的直角三角形求出AC、BC，继而求出三角形ABC的面积。同理求出PG，继而求出三角形PBC的面积。再把三角形ABC的面积+三角形PBC的面积得到四边形ABPC面积的最大值。
（1）解：四边形是内接四边形，
∴，
∵，
．
（2）证明：如图，连接．
是的切线，
∴，
．
又在中，，
是等边三角形，
∴．
，
，
，
∴，
是等腰三角形．
，
平分．
（3）解：由（2）得在中，，，
．
是直径，
是直角三角形，且．
∴，
∴，
．
如图，过点作于点．
在中，为动点，为底边，当垂直平分时，的值最大，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
，
∴．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025·连州模拟）【知识技能】
（1）如图1，把纸对折，使与重合，得到折痕，再沿着折叠得到，找出一个与相等的角为___________；
【数学理解】
（2）如图2，延长交于点，过点作的垂线交于点，求证：；
【拓展探索】
（3）①试判断四边形的形状为___________；
②若纸的长、宽比为，求的值．
【答案】解：（1）∠GCE
（2）证明：由题意得，四边形ABCD是矩形，
∴
由折叠可知∠D=∠EGC=∠EMH=90°，CD=CG=MH
∴∠HGC=180°-∠EGC=90°
在△MEH和△GHC中
∠EMH=∠HGC
∠MEH=∠GHC=90°
MH=CG
∴△EMH≌△HGC(AAS)
（3）①矩形
②由于MHFE是矩形，ME=FH.根据（2）知△EMH≌△HGC。得到HG=EM=HF.设矩形ABCD的长是a，宽是a. 令G=HF=x，
，CG=DC=a，
在Rt△HCG中，
，即
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；求正切值
【解析】解答：（1）
由于△EDC沿EC折叠得到△EGC，∴∠DCE=∠GCE
故答案为：∠GCE
(3)
①矩形，
∵MD∥HC，CD∥MH
∴四边形MHCD是平行四边形，
∠D=90°，
∴四边形MHCD是矩形；
【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）由折叠的性质可知∠DCE=∠ECG；
（2）四边形ABCD是矩形，由对折性质可知，∠MEH=∠FHE，∠D=∠EGC=∠EMH=90°，MH=AB，由折叠可得CG=DC，则CG=MH，即可通过AAS证明全等；
（3）①MHCD为矩形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形。
②由于MHFE是矩形，ME=FH.根据（2）知△EMH≌△HGC。得到HG=EM=HF.设矩形ABCD的长是a，宽是a. 令G=HF=x，，CG=DC=a，在Rt△HCG中，利用勾股定理求出x.最后用求出其值。
23．（2025·连州模拟）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．
（1）求的长．
（2）求的面积．
（3）抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解；∵OE=2OA=2CO
点A坐标为(-2，0)，点E坐标为(0，-4)，C点坐标（0，2）．
将A(-2，0)，E(0，-4)分别代入中
得
解得
抛物线解析式为
在中，当时，则
解得
点B坐标(4，0)，
∴OB=4．
（2）解；设直线BD的解析式为，直线经过B、C两点
把点B(4，0)，C(0，2)代入，得解得
直线BD的解析式为．
联立
解得
；
（3）解：∵抛物线解析式为，∴对称轴为直线
∵OA=2，OE=4，
∴
设，
①当PA=PE时，
解得a=-1，
；
②当PA=AE时，
解得
或；
③当PE=AE时，
解得
或
综上，点P的坐标为或或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．（1）根据OE=2OA=4，先求出点A和点E的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标，即可得到答案；
（2）先求出点C坐标，再求出直线BC解析式，进而求出点D的坐标，最后根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）先求出抛物线的对称轴，然后分PA=PE、PE=AE、PA=AE三种情况，根据两点距离计算公式建立方程求解即可．
（1）解；，
∴，
点坐标为点坐标为．
将点分别代入中得
解得
抛物线解析式为．
在中，当时，则，
解得，
点坐标为，
∴．
（2）解；设直线的解析式为，
∴，
．
把点代入，得解得
直线的解析式为．
联立
解得
；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
∵，
∴．
设，
①当时，，
解得，
；
②当时，，
解得
或；
③当时，，
解得
或．
综上，点的坐标为或或或或．
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