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甘肃省陇南市2025年中考模拟数学试卷（三）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．
1．（2025·陇南模拟）相反数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：，而的相反数为；
故答案为：A．
【分析】利用相反数的定义（①符号相反；②绝对值相同的两个数互为相反数）分析求解即可.
2．（2025·陇南模拟）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，则它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面可看到一个长方形和上面一个长方形，．
∴主视图是：
故答案为：A．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
3．（2025·陇南模拟）计算 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：原式=﹣3x+6y+4x﹣8y=x﹣2y，
故答案为：A．
【分析】原式去括号合并即可得到结果．
4．（2025·陇南模拟）已知函数的函数值y随x的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数的函数值随值的增大而减小，
∴，
∴异号，
故答案为：C．
【分析】利用反比例函数的性质与系数的关系（①当k>0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而减小；②当k<0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而增大）分析可得异号，再求解即可.
5．（2025·陇南模拟）如图，是等边三角形，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
∴，
而，
．
，
∴
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用等边三角形的性质可得，再利用角的运算求出∠DBC的度数，再结合等边对等角的性质可得，最后利用角的运算求出∠ACD的度数即可.
6．（2025·陇南模拟）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
，
交于点，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠AOB的度数，再利用弧与圆周角的关系可得，最后利用同弧所对的圆周角相等可得.
7．（2025·陇南模拟）如图，A是反比例函数图象上一点轴于点B，C是x轴正半轴上一点，且满足，与y轴交于点D，若则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图，
，
，
轴，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】连接AO，先证出，再利用相似三角形的性质可得，再结合，，求出，最后利用反比例函数k的几何意义可得k的值.
8．（2025·陇南模拟）为了让小区居民吃上放心蔬菜，王师傅在小区内开了便民蔬菜店．其中，某蔬菜一周内每天的进价、售价信息如右图所示．若该蔬菜每天出售50斤，则下列推断正确的是（　　）
A．该蔬菜周一的销售利润最小
B．该蔬菜周日的销售利润最大
C．该蔬菜周二和周四的销售利润相同
D．该蔬菜本周进价的中位数是2.9元/斤
【答案】C
【知识点】折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：周一的销售利润为（元），
周二的销售利润为（元），
周三的销售利润为（元）
周四的销售利润为（元）
周五的销售利润为（元）
周六的销售利润为（元）
周日的销售利润为（元）
∵，
∴周六的销售利润最小，周二和周四的销售利润最大，周二和周四的销售利润相同，
故A、B选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意；
又因为蔬菜本周进价按从小到大排列为2.2元/斤，2.5元/斤，2.6元/斤，2.8元/斤，3元/斤，3元/斤，3.3元/斤，所以中位数为2.8元/斤，故D选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据折线统计图中的数据分别求出每一天的利润，再逐项分析判断即可.
9．（2025·陇南模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设牧童有x人，
由题意可得：．
故答案为：A．
【分析】设牧童有x人，根据“竹竿的数量不变”和“每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿”列出方程即可.
10．（2025·陇南模拟）在中，，点D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形，如图1所示．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，
解得：，
∴，
当时，，
解得：（舍）或，
∴，
故答案为：D．
【分析】设抛物线解析式为：，将点（2，6）代入解析式求出a的值可得二次函数解析式，再将S=18代入解析式求出t的值，最后求出AB的长即可.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2025·陇南模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】先提取公因式2xy，再利用平方差公式进行因式分解即可.
12．（2025·陇南模拟）关于x的方程a2x2﹣（2a+1）x+1＝0有实数根，则a满足的条件是　 　.
【答案】
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a2x2﹣（2a+1）x+1＝0有实数根，
（ 1 ）当a≠0时，方程式一元二次方程，△＝b2﹣4ac≥0，
即
解之得a≥﹣ 且a≠0.
（ 2 ）当a＝0时，方程是﹣x+1＝0，方程有实根.
总之a≥﹣ .
【分析】分两种情况讨论：当原方程是一元二次方程时，利用一元二次方程的定义，可知a≠0，已知方程有两个实数根，可知b2﹣4ac≥0，建立不等式求出a的取值范围；当已知方程是一元一次方程时，即当a＝0时，方程是﹣x+1＝0，方程有实根，综上所述可得出a的取值范围。
13．（2025·陇南模拟）将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴把点向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为，
∴平移后得到的抛物线解析式为：．
故答案为：．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
14．（2025·陇南模拟）从2，9，11中随机选取两个不同的数，其积是偶数的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下，
　 2 9 11
2 　
9 　
11 　
共有6种等可能的结果，其中积是偶数的结果有4种，
∴其积是偶数的概率是：，
故答案为：.
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
15．（2025·陇南模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点C的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是以O为位似中心的位似图形，，，
∴，
∴且相似比为，
∵点A的坐标为，
∴点C的坐标是，即．
故答案为：．
【分析】先求出且相似比为，再结合点A的坐标，求出点C的坐标即可.
16．（2025·陇南模拟）如图，半圆的直径，把半圆沿水平方向向右平移个单位后，得半圆，则阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；平移的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设两个半圈交于点，连接和，作于点，
由题意可知，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴两半圆叠合部分的面积，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【分析】设两个半圈交于点，连接和，作于点，先证出是等边三角形，再求出DM的长，最后利用三角形的面积公式、扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·陇南模拟）计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】先利用0指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质化简，再计算即可.
18．（2025·陇南模拟）解不等式组：
【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】
本题考查了一元一次不等式组的解法，先解每个不等式，找出两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集.
19．（2025·陇南模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再把a的值代入计算即可．
20．（2025·陇南模拟）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大，画出放大后的图形．
【答案】（1）解：由的三个顶点坐标分别为，，．
故关于y轴对称的坐标分别为，画图如下：
则即为所求．
（2）解：根据题意，，，．以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大，
则，画图如下：
，
则即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）先利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用位似图形的性质及特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可.
（1）解：由的三个顶点坐标分别为，，．
故关于y轴对称的坐标分别为，画图如下：
则即为所求．
（2）解：根据题意，，，．以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大，
则，画图如下：
，
则即为所求．
21．（2025·陇南模拟）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“A：立春”、“B：清明”、“C：雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张邮票是“B：清明”的概率是 ；
（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“C：雨水”的概率．
【答案】（1）
（2）解：列树状图：
共有9种等可能结果，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的结果的5种，
∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是．
答：小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式的应用，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
（1）直接由概率公式求解；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
解：（1）一共有三种可能，小明从中随机抽取一张邮票是“B：清明”的概率是，
故答案为：；
（1）解：一共有三种可能，小明从中随机抽取一张邮票是“B：清明”的概率是，
故答案为：；
（2）解：列树状图：
共有9种等可能结果，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的结果的5种，
∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是．
答：小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是．
22．（2025·陇南模拟）如图1，某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2，某时刻折臂升降机工作时的平面示意图．点，，，，，，，都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，折臂底座长为2m，上折臂长为8m，下折臂长为6m，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端到地面的距离的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，0.93）
【答案】解：过作交于，延长交于，如图，
∵，
∴；
由题意，得：，
∴；
在中，，，
∴；
∵，
∴四边形为矩形，
∴；
∵，，
∴；
在中，，，
∴，
∴，
∴；
答：长约为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过作交于，延长交于，先证出四边形为矩形，再利用角的运算求出，再利用解直角三角形的方法可得，将数据代入求出FPD长，最后利用线段的和差求出BF的长即可.
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（2025·陇南模拟）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
七年级10人的得分：；
八年级10人的得分在B组中的分数为：；
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七 76.8 83 a
八 76.8 b 84
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_______，________，______；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）；
（3）若七年级有360人参与测试，八年级有400人参与测试，请估计七、八两个年级得分在A组的人数之和．
【答案】（1）83，，20
（2）解：八年级掌握垃圾分类知识比较好，
理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好.
（3）解：∵人，人，
∴七、八两个年级得分在A组的人数之和为：人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：∵七年级10人的分数中83出现的次数最多，
∴众数．
∵八年级C组人数：，
八年级D组人数：，
八年级B组人数：4，
∴八年级A组人数：，
∴，
∴．
∵八年级成绩排在第5和第6位的是84和97，
∴．
故答案为：86，，20.
【分析】（1）利用众数、中位数的定义及计算方法求出a、b的值，再利用“A”的人数除以总人数可得m的值；
（2）利用中位数的定义及性质分析求解即可；
（3）先分别求出七、八年级“A”组的人数，再相加即可.
（1）解：∵七年级10人的分数中83出现的次数最多，
∴众数．
∵八年级C组人数：，
八年级D组人数：，
八年级B组人数：4，
∴八年级A组人数：，
∴，
∴．
∵八年级成绩排在第5和第6位的是84和97，
∴．
故答案为：86，，20；
（2）解：八年级掌握垃圾分类知识比较好，
理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好；
（3）解：∵人，人，
∴七、八两个年级得分在A组的人数之和为：人．
24．（2025·陇南模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
（1）求k与m的值；
（2）为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求a的值．
【答案】（1）解：把代入，得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
（2）解：当时，．
∴．
∵为x轴正半轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或（舍去）．
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入，求出k的值，再求出点A的坐标，将点A的坐标代入，求出m的值即可；
（2）先求出，再结合，可得，最后求出a的值即可.
（1）解：把代入，得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
（2）当时，．
∴．
∵为x轴正半轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或（舍去）．
∴．
25．（2025·陇南模拟）如图，为的直径，为的切线，连接交于点，点为弧的中点，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵点D为弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：连接，
∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接BE，先利用圆周角的性质及切线的性质可得，，再结合，可得，最后利用等角对等边的性质可得；
（2）连接AD，先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出BF的长即可.
（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵点D为弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
26．（2025·陇南模拟）如图，已知四边形中，，点是四边形外一点，，连接并延长分别交、于点、．
（1）求证：；
（2），求证：．
【答案】（1）证明：连接，如图，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴点N是，，
由（1）知垂直平分，
∴点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）连接AN，先证出，再利用角的运算和等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用等量代换可得；
（2）先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，再结合，可得，即，再结合，证出，从而可得．
（1）证明：连接，如图，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴点N是，，
由（1）知垂直平分，
∴点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
27．（2025·陇南模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，且过点，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点B时，求m的值；
（3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且最大时，求点的坐标．
【答案】（1）解：把点，代入抛物线，
得，
解得：，
．

（2）解：，
当抛物线向左平移个单位时，，
把代入得，
解得：（舍），，
．
（3）解：如图，过点作轴，交于点，
当时，，则，
设直线解析式解析式为，
把，分别代入，
得，
解得：，
直线解析式：，
设，则，
，
，
则当时，有最大值，此时点的坐标为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点B、C的坐标代入求出a、b的值即可；
（2）设平移后的解析式为，再将点B的坐标代入求出m的值即可；
（3）过点作轴，交于点，先求出直线AC的解析式，再设，则，求出，最后利用二次函数的性质求解即可.
（1）解：把点，代入抛物线，得
，解得：，
．
（2），
当抛物线向左平移个单位时，，
把代入得
，
解得：（舍），，
．
（3）如图，过点作轴，交于点，
当时，，则，
设直线解析式解析式为，
把，分别代入，得
，解得：，
直线解析式：，
设，则，
，
，
则当时，有最大值，此时点的坐标为．
1 / 1甘肃省陇南市2025年中考模拟数学试卷（三）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．
1．（2025·陇南模拟）相反数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·陇南模拟）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，则它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·陇南模拟）计算 的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·陇南模拟）已知函数的函数值y随x的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·陇南模拟）如图，是等边三角形，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·陇南模拟）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·陇南模拟）如图，A是反比例函数图象上一点轴于点B，C是x轴正半轴上一点，且满足，与y轴交于点D，若则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·陇南模拟）为了让小区居民吃上放心蔬菜，王师傅在小区内开了便民蔬菜店．其中，某蔬菜一周内每天的进价、售价信息如右图所示．若该蔬菜每天出售50斤，则下列推断正确的是（　　）
A．该蔬菜周一的销售利润最小
B．该蔬菜周日的销售利润最大
C．该蔬菜周二和周四的销售利润相同
D．该蔬菜本周进价的中位数是2.9元/斤
9．（2025·陇南模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·陇南模拟）在中，，点D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形，如图1所示．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2025·陇南模拟）因式分解：　 　．
12．（2025·陇南模拟）关于x的方程a2x2﹣（2a+1）x+1＝0有实数根，则a满足的条件是　 　.
13．（2025·陇南模拟）将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是　 　．
14．（2025·陇南模拟）从2，9，11中随机选取两个不同的数，其积是偶数的概率为　 　．
15．（2025·陇南模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点C的坐标是　 　．
16．（2025·陇南模拟）如图，半圆的直径，把半圆沿水平方向向右平移个单位后，得半圆，则阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·陇南模拟）计算：
18．（2025·陇南模拟）解不等式组：
19．（2025·陇南模拟）先化简，再求值：，其中．
20．（2025·陇南模拟）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大，画出放大后的图形．
21．（2025·陇南模拟）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“A：立春”、“B：清明”、“C：雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张邮票是“B：清明”的概率是 ；
（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“C：雨水”的概率．
22．（2025·陇南模拟）如图1，某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2，某时刻折臂升降机工作时的平面示意图．点，，，，，，，都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，折臂底座长为2m，上折臂长为8m，下折臂长为6m，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端到地面的距离的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，0.93）
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（2025·陇南模拟）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
七年级10人的得分：；
八年级10人的得分在B组中的分数为：；
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七 76.8 83 a
八 76.8 b 84
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_______，________，______；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）；
（3）若七年级有360人参与测试，八年级有400人参与测试，请估计七、八两个年级得分在A组的人数之和．
24．（2025·陇南模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
（1）求k与m的值；
（2）为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求a的值．
25．（2025·陇南模拟）如图，为的直径，为的切线，连接交于点，点为弧的中点，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
26．（2025·陇南模拟）如图，已知四边形中，，点是四边形外一点，，连接并延长分别交、于点、．
（1）求证：；
（2），求证：．
27．（2025·陇南模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A，且过点，．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点B时，求m的值；
（3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且最大时，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：，而的相反数为；
故答案为：A．
【分析】利用相反数的定义（①符号相反；②绝对值相同的两个数互为相反数）分析求解即可.
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面可看到一个长方形和上面一个长方形，．
∴主视图是：
故答案为：A．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
3．【答案】A
【知识点】去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：原式=﹣3x+6y+4x﹣8y=x﹣2y，
故答案为：A．
【分析】原式去括号合并即可得到结果．
4．【答案】C
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数的函数值随值的增大而减小，
∴，
∴异号，
故答案为：C．
【分析】利用反比例函数的性质与系数的关系（①当k>0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而减小；②当k<0时，在每个象限中，反比例函数的函数值随x的增大而增大）分析可得异号，再求解即可.
5．【答案】B
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
∴，
而，
．
，
∴
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用等边三角形的性质可得，再利用角的运算求出∠DBC的度数，再结合等边对等角的性质可得，最后利用角的运算求出∠ACD的度数即可.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
，
交于点，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠AOB的度数，再利用弧与圆周角的关系可得，最后利用同弧所对的圆周角相等可得.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图，
，
，
轴，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】连接AO，先证出，再利用相似三角形的性质可得，再结合，，求出，最后利用反比例函数k的几何意义可得k的值.
8．【答案】C
【知识点】折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：周一的销售利润为（元），
周二的销售利润为（元），
周三的销售利润为（元）
周四的销售利润为（元）
周五的销售利润为（元）
周六的销售利润为（元）
周日的销售利润为（元）
∵，
∴周六的销售利润最小，周二和周四的销售利润最大，周二和周四的销售利润相同，
故A、B选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意；
又因为蔬菜本周进价按从小到大排列为2.2元/斤，2.5元/斤，2.6元/斤，2.8元/斤，3元/斤，3元/斤，3.3元/斤，所以中位数为2.8元/斤，故D选项错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据折线统计图中的数据分别求出每一天的利润，再逐项分析判断即可.
9．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设牧童有x人，
由题意可得：．
故答案为：A．
【分析】设牧童有x人，根据“竹竿的数量不变”和“每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿”列出方程即可.
10．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，
解得：，
∴，
当时，，
解得：（舍）或，
∴，
故答案为：D．
【分析】设抛物线解析式为：，将点（2，6）代入解析式求出a的值可得二次函数解析式，再将S=18代入解析式求出t的值，最后求出AB的长即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】先提取公因式2xy，再利用平方差公式进行因式分解即可.
12．【答案】
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a2x2﹣（2a+1）x+1＝0有实数根，
（ 1 ）当a≠0时，方程式一元二次方程，△＝b2﹣4ac≥0，
即
解之得a≥﹣ 且a≠0.
（ 2 ）当a＝0时，方程是﹣x+1＝0，方程有实根.
总之a≥﹣ .
【分析】分两种情况讨论：当原方程是一元二次方程时，利用一元二次方程的定义，可知a≠0，已知方程有两个实数根，可知b2﹣4ac≥0，建立不等式求出a的取值范围；当已知方程是一元一次方程时，即当a＝0时，方程是﹣x+1＝0，方程有实根，综上所述可得出a的取值范围。
13．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴把点向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为，
∴平移后得到的抛物线解析式为：．
故答案为：．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下，
　 2 9 11
2 　
9 　
11 　
共有6种等可能的结果，其中积是偶数的结果有4种，
∴其积是偶数的概率是：，
故答案为：.
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是以O为位似中心的位似图形，，，
∴，
∴且相似比为，
∵点A的坐标为，
∴点C的坐标是，即．
故答案为：．
【分析】先求出且相似比为，再结合点A的坐标，求出点C的坐标即可.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；平移的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设两个半圈交于点，连接和，作于点，
由题意可知，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴两半圆叠合部分的面积，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【分析】设两个半圈交于点，连接和，作于点，先证出是等边三角形，再求出DM的长，最后利用三角形的面积公式、扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】先利用0指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质化简，再计算即可.
18．【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】
本题考查了一元一次不等式组的解法，先解每个不等式，找出两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集.
19．【答案】解：
；
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再把a的值代入计算即可．
20．【答案】（1）解：由的三个顶点坐标分别为，，．
故关于y轴对称的坐标分别为，画图如下：
则即为所求．
（2）解：根据题意，，，．以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大，
则，画图如下：
，
则即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）先利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用位似图形的性质及特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可.
（1）解：由的三个顶点坐标分别为，，．
故关于y轴对称的坐标分别为，画图如下：
则即为所求．
（2）解：根据题意，，，．以点O为位似中心，在第四象限内将按相似比2放大，
则，画图如下：
，
则即为所求．
21．【答案】（1）
（2）解：列树状图：
共有9种等可能结果，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的结果的5种，
∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是．
答：小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式的应用，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
（1）直接由概率公式求解；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
解：（1）一共有三种可能，小明从中随机抽取一张邮票是“B：清明”的概率是，
故答案为：；
（1）解：一共有三种可能，小明从中随机抽取一张邮票是“B：清明”的概率是，
故答案为：；
（2）解：列树状图：
共有9种等可能结果，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的结果的5种，
∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是．
答：小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是．
22．【答案】解：过作交于，延长交于，如图，
∵，
∴；
由题意，得：，
∴；
在中，，，
∴；
∵，
∴四边形为矩形，
∴；
∵，，
∴；
在中，，，
∴，
∴，
∴；
答：长约为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过作交于，延长交于，先证出四边形为矩形，再利用角的运算求出，再利用解直角三角形的方法可得，将数据代入求出FPD长，最后利用线段的和差求出BF的长即可.
23．【答案】（1）83，，20
（2）解：八年级掌握垃圾分类知识比较好，
理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好.
（3）解：∵人，人，
∴七、八两个年级得分在A组的人数之和为：人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：∵七年级10人的分数中83出现的次数最多，
∴众数．
∵八年级C组人数：，
八年级D组人数：，
八年级B组人数：4，
∴八年级A组人数：，
∴，
∴．
∵八年级成绩排在第5和第6位的是84和97，
∴．
故答案为：86，，20.
【分析】（1）利用众数、中位数的定义及计算方法求出a、b的值，再利用“A”的人数除以总人数可得m的值；
（2）利用中位数的定义及性质分析求解即可；
（3）先分别求出七、八年级“A”组的人数，再相加即可.
（1）解：∵七年级10人的分数中83出现的次数最多，
∴众数．
∵八年级C组人数：，
八年级D组人数：，
八年级B组人数：4，
∴八年级A组人数：，
∴，
∴．
∵八年级成绩排在第5和第6位的是84和97，
∴．
故答案为：86，，20；
（2）解：八年级掌握垃圾分类知识比较好，
理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好；
（3）解：∵人，人，
∴七、八两个年级得分在A组的人数之和为：人．
24．【答案】（1）解：把代入，得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
（2）解：当时，．
∴．
∵为x轴正半轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或（舍去）．
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入，求出k的值，再求出点A的坐标，将点A的坐标代入，求出m的值即可；
（2）先求出，再结合，可得，最后求出a的值即可.
（1）解：把代入，得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
（2）当时，．
∴．
∵为x轴正半轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或（舍去）．
∴．
25．【答案】（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵点D为弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：连接，
∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接BE，先利用圆周角的性质及切线的性质可得，，再结合，可得，最后利用等角对等边的性质可得；
（2）连接AD，先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出BF的长即可.
（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵点D为弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
26．【答案】（1）证明：连接，如图，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴点N是，，
由（1）知垂直平分，
∴点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）连接AN，先证出，再利用角的运算和等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用等量代换可得；
（2）先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，再结合，可得，即，再结合，证出，从而可得．
（1）证明：连接，如图，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴点N是，，
由（1）知垂直平分，
∴点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
27．【答案】（1）解：把点，代入抛物线，
得，
解得：，
．

（2）解：，
当抛物线向左平移个单位时，，
把代入得，
解得：（舍），，
．
（3）解：如图，过点作轴，交于点，
当时，，则，
设直线解析式解析式为，
把，分别代入，
得，
解得：，
直线解析式：，
设，则，
，
，
则当时，有最大值，此时点的坐标为．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点B、C的坐标代入求出a、b的值即可；
（2）设平移后的解析式为，再将点B的坐标代入求出m的值即可；
（3）过点作轴，交于点，先求出直线AC的解析式，再设，则，求出，最后利用二次函数的性质求解即可.
（1）解：把点，代入抛物线，得
，解得：，
．
（2），
当抛物线向左平移个单位时，，
把代入得
，
解得：（舍），，
．
（3）如图，过点作轴，交于点，
当时，，则，
设直线解析式解析式为，
把，分别代入，得
，解得：，
直线解析式：，
设，则，
，
，
则当时，有最大值，此时点的坐标为．
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