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广东省汕头市龙湖实验中学2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·龙湖期中）下列各数是有理数的是（　　）
A． B． C． D．0
2．（2025七下·龙湖期中）如果剧院里5排2号记作，那么表示（　　）
A．9排7号 B．7排9号 C．7排7号 D．9排9号
3．（2025七下·龙湖期中）如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（　　）
A．40° B．60° C．70° D．80°
4．（2025七下·龙湖期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2） B．（-6，3） C．（-4，-6） D．（3，-4）
5．（2025七下·龙湖期中）如图，能判定的条件是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·龙湖期中）如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（　　）
A．100° B．120° C．135° D．150°
7．（2025七下·龙湖期中）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（　　）
如图：已知直线，，求证：． 证明：①∵（已知） ∴（垂直的定义） ②又∵（已知） ③∴（同位角相等，两直线平行） ∴（等量代换） ④∴（垂直的定义）．
A．① B．② C．③ D．④
8．（2025七下·龙湖期中）若是16的一个平方根，则x的值为(　　)
A．1 B． C．1或 D．
9．（2025七下·龙湖期中）如图，将一张长方形纸条沿折叠，点B，A分别落在，位置上，与的交点为G．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·龙湖期中）如图． 在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至． 然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动， 则的坐标是( )
A． B．
C． D．
二、填空题 （本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025七下·龙湖期中）化简：　 　.
12．（2025七下·龙湖期中）已知，，那么　 　.
13．（2025七下·龙湖期中）已知点在x轴上，则点P坐标是　 　.
14．（2025七下·龙湖期中）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为　 　．
15．（2025七下·龙湖期中）如图，若，则　 　°．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（2025七下·龙湖期中）计算：
（1）
（2）
17．（2025七下·龙湖期中）已知点，解答下列各题．
（1）点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标．
（2）若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标．
18．（2025七下·龙湖期中）如图，直线、相交于点，平分．
（1）若，，求的度数；
（2）若平分，，求的度数．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025七下·龙湖期中）填空完成推理过程：
如图：已知，，求证：．
证明：∵（__________）
∴__________（____________________）
∴（____________________）
∵
∴__________（____________________）
∴ （____________________）
∴．（____________________）
20．（2025七下·龙湖期中）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为：、、．
（1）画出，它的面积为________；
（2）在中，点C经过平移后的对应点，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出、的坐标；
（3）点为内一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则________，________．
21．（2025七下·龙湖期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请回答：
（1）的整数部分是______，小数部分是______．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．（2025七下·龙湖期中）问题探究：
如图①，已知ABCD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EFAB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BFDE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
（3）问题迁移：
如图④，已知ABCD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数．
23．（2025七下·龙湖期中）已知，如图1，在平面直角坐标系中，轴于点B，点满足，平移线段，使点A与原点对应，点B的对应点为点C．
（1）填空： ， ；
（2）如图2，P是线段所在直线上一动点，连接平分，以为边，在外部，作射线，若，当点P在直线上运动的过程中，请探究与的位置关系，并证明；
（3）如图3，点是线段上一个动点．
①连接，请利用，，的面积关系（“”表示三角形），求出m，n满足的关系式；
②过点A作直线轴，在l上取点M，使得，若的面积为1，请直接写出点D的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数及其分类
【解析】【解答】解：四个选项的数中： ， ， 是无理数， 0是有理数，
故答案为：D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，判断即可.
2．【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵ 剧院里5排2号记作（5，2），
∴（7，9）表示7排9号.
故答案为：B.
【分析】根据题意得有序数对中，前面的数表示排数，后面的数表示号数，据此即可解题即可.
3．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角相等，得
∠1=∠2，又∠1+∠2=80°，
∴∠1=40°．
故选：A．
【分析】
本题考查的是对顶角，根据对顶角的性质，可得∠1的度数．
4．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：小手盖住的点位于第三象限，
A.（5，2）在第一象限，故本选项不符合题意；
B.（-6，3）在第二象限，故本选项不符合题意；
C.（-4，-6）在第三象限，故本选项符合题意；
D.（3，-4）在第四象限，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠C和∠ABE，既不是同位角也不是内错角，不能判定任何直线平行，不符合题意；
B、∠A和∠EBD，既不是同位角也不是内错角，不能判定任何直线平行，不符合题意；
C、∠A和∠ABE，是内错角，内错角相等两直线平行，符合题意；；
D、∠C和∠ABC，虽然是同旁内角，但其和不等于180°，不能判定任何直线平行，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题考查的是平行线的判定定理，根据题目和答案进行逐一分析即可．
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥CB，∠C=90°
∴∠DAC=∠C=90°
∵∠BAC=30°
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+30°=120°
故选：B．
【分析】
先根据平行线的性质可得∠DAC=∠C=90°，再根据角的和差即可得∠ DAB的度数
7．【答案】C
【知识点】垂线的概念；推理与论证；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：∵（已知），
∴（垂直的定义）．
又∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换），
∴（垂直的定义）．
所以数学依据错误的是③．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定方法、垂线的判定及推理方法分析求解即可.
8．【答案】C
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵是16的一个平方根，16的平方根是±4
∴或
解得：或，
故选：C．
【分析】
因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系可列出方程，即可求出．
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据折叠性质可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：∵2023÷4=5053，
∴点在第三象限，
第三象限的点，，，
4n-1=2023，
n=506
2n-1=2×506-1=1011
2n=2×506=1012
∴（-1011，-1012）
故选：C．
【分析】
本题考查坐标与图形，由于2023÷4=5053，确定在第三象限，再根据第三象限点的规律确定的坐标。
11．【答案】7
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：7.
【分析】二次根式的性质：=|a|，据此解答.
12．【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解∶ ∵，
==10×1.414=14.14，
故答案为∶．
【分析】
本题考查了算术平方根的概念，根据计算即可。
13．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由于点在x轴上，
∴，
解得，
则
故.
故答案为：.
【分析】x轴上的点：纵坐标为0，则2x+1=0，求出x的值，进而可得点P的坐标.
14．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：正方形的面积为3，
．
．
的坐标为，E在点A的右侧，
的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题考查了实数与数轴，以及算术平方根的求解，先求出的长，得到的长，结合的坐标为，E在点A的右侧，求得的坐标，即可得到答案.
15．【答案】180
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：180．
【分析】过点O作，先利用平行线的性质可得．再结合，利用角的运算和等量代换可得．
16．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、算术平方根的性质化简，再计算乘除法，最后计算加减法即可；
（2）先利用二次根式的性质及立方根的性质和绝对值的性质化简，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
17．【答案】（1）解：点Q的坐标为，直线轴，
点Q和点P的横坐标相同，
即，
解得，
当时，，
点P的坐标为.
（2）解：点P到x轴的距离为2，
，
即或，
解得或，
当，，
点P的坐标为，
当，，
点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或.
【知识点】点的坐标；点到直线的距离
【解析】【分析】（1）先证出点Q和点P的横坐标相同，可得，求出a的值，再求出点P的坐标即可；
（2）利用“点P到x轴的距离为2”可得，求出a的值，再求出点P的坐标即可.
（1）解：点Q的坐标为，直线轴，
点Q和点P的横坐标相同，
即，
解得，
当时，，
点P的坐标为；
（2）解：点P到x轴的距离为2，
，
即或，
解得或，
当，，
点P的坐标为，
当，，
点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或.
18．【答案】（1）解：∠AOC=∠BOD=48°
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD=∠BOD=24°
∴∠EOF=∠FOD-∠EOD=90°-24°=66°
（2）解：∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
设∠BOE=∠DOE=，
∴∠EOF=COE=39°+
COD=∠COF+∠EOF+∠DOE=180°
∠COF+∠EOF+∠DOE=180°
39°++39°++=180°
求得=34°
∴∠DOE=34°
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查对顶角与邻补角、垂线、角平分线，熟练掌握对顶角与邻补角的定义、垂线的定义、角平分线的定义是解决本题的关键．（1）根据角平分线的定义和对顶角相等得到∠BOE=∠DOE=24°，再根据垂直的定义得∠BOD=∠FOD-∠EOD，进行求解即可；
（2）根据角平分线的定义，设∠BOE=∠DOE=，则∠EOF=∠COF=39°+，利用邻补角的定义得，∠COD=∠COF+∠EOF+∠DOE=180°求出即可。
（1）解：平分，，
．
，
，
；
（2）平分，平分，
，．
，
，
，
，
．
19．【答案】证明：∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴．（等量代换）
【知识点】推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
20．【答案】（1）解：作图如下所示：
三角形为所求；
（2）解：作图如下所示：
为所求；
、的坐标分别为、
（3）3，1
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解（3）：∵点P(-3，m)为△ABC内一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点Q(N，-3)，∴-3+4=n，m-6=-3
∴m=3， n=1
故答案为：3，1．
【分析】
（1）根据题意描出各点并顺次连接成△ABC，矩形的面积(6×6）减去三个顶点上三角形的面积即可得三角形ABC的面积；
（2）根据题意把三角形ABC相对应的点向右移5格，向上移1格。根据移动后的图形写出A、B的坐标。
（3）根据“右加左减，上加下减”移动规律求出出m、n的值
21．【答案】（1），；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，
∵，即，
∴的整数部分为，
∴
.
（3）解：，
∴的整数部分为，小数部分是，
∴，
∵，x是整数，且，
∴，，
∴，
∴，
∴的相反数为．
【知识点】无理数的估值；相反数的意义与性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，.
【分析】（1）参照题干中的计算方法分析求解即可；
（2）先参照题干中的计算方法求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）先参照题干中的计算方法求出x、y的值，再利用相反数的定义分析求解即可.
（1）解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，
∵，即，
∴的整数部分为，
∴
；
（3）解：，
∴的整数部分为，小数部分是，
∴，
∵，x是整数，且，
∴，，
∴，
∴，
∴的相反数为．
22．【答案】（1）解：如图②中，过点E作EFAB，∵ABCD，EFAB，
∴ABEFCD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D；
（2）如图③中，过点B作BFDE交CD的延长线于G．
∵DEFG，
∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，
∵ABCG，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，
∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC；
（3）如图④中，
∵EF平分∠AEC，DF平分∠EDC，
∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，
∵∠CED＝3∠F，
∴∠CED＝3x+3y，
∵ABCD，
∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，
∴5x+5y＝180°，
∴x+y＝36°，
∴∠F＝36°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念；补角
【解析】【分析】（1）如图②中，过点E作EFAB，得到ABEFCD，得到∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，结合∠BED＝∠BEF+∠DEF证，即可证得结论；
（2）如图③中，过点B作BFDE交CD的延长线于G，由DEFG，得到∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，再由ABCG，得到∠EDC＝∠ABF，结合∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF，即可得证；
（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x＋y，求出∠CED＝3x+3y，∠BED＝∠CDE＝2y，根据∠AEC＋∠CED＋∠DEB＝180°，构建方程，求出x＋y的值，即可得到答案.
23．【答案】（1）4，1
（2）解：OF⊥OE，理由如下：
∵OE平分∠PON，
∴∠POE=∠EON，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，
∴∠NOE=∠PEO
∴∠POE=∠PEO
∵∠OPE+∠PEO+∠POE=180°
即∠OPE+2∠POE=180°
∵∠POF=∠OPE，即∠OPE=2∠POF
∴2∠POF+2∠POE=180°
∠POF+∠POE=90°
即∠FOE=90°
∴OF⊥OE
（3）解
①如图，过点D分别作DP垂直x轴于点P，DQ⊥y轴于点Q，连接OD．
由（1）知，A(4，1)， B(0，4)， C(0，-1)，
∴BO=4 CO=1
，
∴m-4n=4，
m、n满足的关系式为：m-4n=4，
②点D的坐标为或(4，0)．
设直线AM交y轴于T，连接DT，CM
当点M在点A的左侧时，如图，M(2，1)，TM=2，TC=2，
得m-n=2，
又∵m-4n=4，
解得，
当点M在点A的右侧时．如图
TM=6 ，TC=2
化简得m-3n-4=0
又∵m-4n=4
求出m=4，n=0
D(4，0)
综上所述，满足条件的点D的坐标为或(4，0)．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；分类讨论
【解析】【解答】解：（1），
，
解得：a=4，b=1，
故答案为：4，1.
【分析】
本题考查几何变换综合应用，涉及非负数的性质，坐标与图形及三角形面积等知识，解题的关键是方程思想的应用．
（1）由，得：a=4，b=1；
（2）OF、OE的关系式OF⊥OE，根据OE平分∠PON，AB⊥x轴，得到∠POE=∠PEO，在△POE中其内角和是180°，可以得到∠OPE+2∠POE=180°，根据POF=∠OPE，代入化简得到∠POF+∠POE=90°，故证明OF⊥OE
（3）
①过点D分别作DP垂直x轴于点P，DQ⊥y轴于点Q，连接OD．由（1）知，A(4，1)， B(0，4)， C(0，-1)，根据可以求出m-4n=4的关系。
②．点D的坐标为或(4，0)．设直线AM交y轴于T，连接DT，CM，分两种情况讨论。
当点M在点A的左侧时，如图，M(2，1)，TM=2，TC=2，根据
，求出m-n=2，结合①m-4n=4，求出m、n的值，继而求出D点坐标。
当点M在点A的右侧时．M(6.1)，TM=6 ，TC=2，根据
，求出m-3n=4，结合①m-4n=4，求出m、n的值，继而求出D点坐标。
1 / 1广东省汕头市龙湖实验中学2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·龙湖期中）下列各数是有理数的是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】D
【知识点】有理数及其分类
【解析】【解答】解：四个选项的数中： ， ， 是无理数， 0是有理数，
故答案为：D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，判断即可.
2．（2025七下·龙湖期中）如果剧院里5排2号记作，那么表示（　　）
A．9排7号 B．7排9号 C．7排7号 D．9排9号
【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵ 剧院里5排2号记作（5，2），
∴（7，9）表示7排9号.
故答案为：B.
【分析】根据题意得有序数对中，前面的数表示排数，后面的数表示号数，据此即可解题即可.
3．（2025七下·龙湖期中）如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（　　）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角相等，得
∠1=∠2，又∠1+∠2=80°，
∴∠1=40°．
故选：A．
【分析】
本题考查的是对顶角，根据对顶角的性质，可得∠1的度数．
4．（2025七下·龙湖期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（5，2） B．（-6，3） C．（-4，-6） D．（3，-4）
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：小手盖住的点位于第三象限，
A.（5，2）在第一象限，故本选项不符合题意；
B.（-6，3）在第二象限，故本选项不符合题意；
C.（-4，-6）在第三象限，故本选项符合题意；
D.（3，-4）在第四象限，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
5．（2025七下·龙湖期中）如图，能判定的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠C和∠ABE，既不是同位角也不是内错角，不能判定任何直线平行，不符合题意；
B、∠A和∠EBD，既不是同位角也不是内错角，不能判定任何直线平行，不符合题意；
C、∠A和∠ABE，是内错角，内错角相等两直线平行，符合题意；；
D、∠C和∠ABC，虽然是同旁内角，但其和不等于180°，不能判定任何直线平行，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题考查的是平行线的判定定理，根据题目和答案进行逐一分析即可．
6．（2025七下·龙湖期中）如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（　　）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥CB，∠C=90°
∴∠DAC=∠C=90°
∵∠BAC=30°
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+30°=120°
故选：B．
【分析】
先根据平行线的性质可得∠DAC=∠C=90°，再根据角的和差即可得∠ DAB的度数
7．（2025七下·龙湖期中）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（　　）
如图：已知直线，，求证：． 证明：①∵（已知） ∴（垂直的定义） ②又∵（已知） ③∴（同位角相等，两直线平行） ∴（等量代换） ④∴（垂直的定义）．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】垂线的概念；推理与论证；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：∵（已知），
∴（垂直的定义）．
又∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换），
∴（垂直的定义）．
所以数学依据错误的是③．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定方法、垂线的判定及推理方法分析求解即可.
8．（2025七下·龙湖期中）若是16的一个平方根，则x的值为(　　)
A．1 B． C．1或 D．
【答案】C
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵是16的一个平方根，16的平方根是±4
∴或
解得：或，
故选：C．
【分析】
因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系可列出方程，即可求出．
9．（2025七下·龙湖期中）如图，将一张长方形纸条沿折叠，点B，A分别落在，位置上，与的交点为G．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据折叠性质可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
10．（2025七下·龙湖期中）如图． 在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至． 然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动， 则的坐标是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：∵2023÷4=5053，
∴点在第三象限，
第三象限的点，，，
4n-1=2023，
n=506
2n-1=2×506-1=1011
2n=2×506=1012
∴（-1011，-1012）
故选：C．
【分析】
本题考查坐标与图形，由于2023÷4=5053，确定在第三象限，再根据第三象限点的规律确定的坐标。
二、填空题 （本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025七下·龙湖期中）化简：　 　.
【答案】7
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：7.
【分析】二次根式的性质：=|a|，据此解答.
12．（2025七下·龙湖期中）已知，，那么　 　.
【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解∶ ∵，
==10×1.414=14.14，
故答案为∶．
【分析】
本题考查了算术平方根的概念，根据计算即可。
13．（2025七下·龙湖期中）已知点在x轴上，则点P坐标是　 　.
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由于点在x轴上，
∴，
解得，
则
故.
故答案为：.
【分析】x轴上的点：纵坐标为0，则2x+1=0，求出x的值，进而可得点P的坐标.
14．（2025七下·龙湖期中）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：正方形的面积为3，
．
．
的坐标为，E在点A的右侧，
的坐标为．
故答案为：．
【分析】本题考查了实数与数轴，以及算术平方根的求解，先求出的长，得到的长，结合的坐标为，E在点A的右侧，求得的坐标，即可得到答案.
15．（2025七下·龙湖期中）如图，若，则　 　°．
【答案】180
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：180．
【分析】过点O作，先利用平行线的性质可得．再结合，利用角的运算和等量代换可得．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（2025七下·龙湖期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、算术平方根的性质化简，再计算乘除法，最后计算加减法即可；
（2）先利用二次根式的性质及立方根的性质和绝对值的性质化简，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
17．（2025七下·龙湖期中）已知点，解答下列各题．
（1）点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标．
（2）若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：点Q的坐标为，直线轴，
点Q和点P的横坐标相同，
即，
解得，
当时，，
点P的坐标为.
（2）解：点P到x轴的距离为2，
，
即或，
解得或，
当，，
点P的坐标为，
当，，
点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或.
【知识点】点的坐标；点到直线的距离
【解析】【分析】（1）先证出点Q和点P的横坐标相同，可得，求出a的值，再求出点P的坐标即可；
（2）利用“点P到x轴的距离为2”可得，求出a的值，再求出点P的坐标即可.
（1）解：点Q的坐标为，直线轴，
点Q和点P的横坐标相同，
即，
解得，
当时，，
点P的坐标为；
（2）解：点P到x轴的距离为2，
，
即或，
解得或，
当，，
点P的坐标为，
当，，
点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或.
18．（2025七下·龙湖期中）如图，直线、相交于点，平分．
（1）若，，求的度数；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）解：∠AOC=∠BOD=48°
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD=∠BOD=24°
∴∠EOF=∠FOD-∠EOD=90°-24°=66°
（2）解：∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
设∠BOE=∠DOE=，
∴∠EOF=COE=39°+
COD=∠COF+∠EOF+∠DOE=180°
∠COF+∠EOF+∠DOE=180°
39°++39°++=180°
求得=34°
∴∠DOE=34°
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查对顶角与邻补角、垂线、角平分线，熟练掌握对顶角与邻补角的定义、垂线的定义、角平分线的定义是解决本题的关键．（1）根据角平分线的定义和对顶角相等得到∠BOE=∠DOE=24°，再根据垂直的定义得∠BOD=∠FOD-∠EOD，进行求解即可；
（2）根据角平分线的定义，设∠BOE=∠DOE=，则∠EOF=∠COF=39°+，利用邻补角的定义得，∠COD=∠COF+∠EOF+∠DOE=180°求出即可。
（1）解：平分，，
．
，
，
；
（2）平分，平分，
，．
，
，
，
，
．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025七下·龙湖期中）填空完成推理过程：
如图：已知，，求证：．
证明：∵（__________）
∴__________（____________________）
∴（____________________）
∵
∴__________（____________________）
∴ （____________________）
∴．（____________________）
【答案】证明：∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴．（等量代换）
【知识点】推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理步骤分析求解即可.
20．（2025七下·龙湖期中）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为：、、．
（1）画出，它的面积为________；
（2）在中，点C经过平移后的对应点，将作同样的平移得到，画出平移后的，并写出、的坐标；
（3）点为内一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点，则________，________．
【答案】（1）解：作图如下所示：
三角形为所求；
（2）解：作图如下所示：
为所求；
、的坐标分别为、
（3）3，1
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解（3）：∵点P(-3，m)为△ABC内一点，将点P向右平移4个单位后，再向下平移6个单位得到点Q(N，-3)，∴-3+4=n，m-6=-3
∴m=3， n=1
故答案为：3，1．
【分析】
（1）根据题意描出各点并顺次连接成△ABC，矩形的面积(6×6）减去三个顶点上三角形的面积即可得三角形ABC的面积；
（2）根据题意把三角形ABC相对应的点向右移5格，向上移1格。根据移动后的图形写出A、B的坐标。
（3）根据“右加左减，上加下减”移动规律求出出m、n的值
21．（2025七下·龙湖期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请回答：
（1）的整数部分是______，小数部分是______．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
【答案】（1），；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，
∵，即，
∴的整数部分为，
∴
.
（3）解：，
∴的整数部分为，小数部分是，
∴，
∵，x是整数，且，
∴，，
∴，
∴，
∴的相反数为．
【知识点】无理数的估值；相反数的意义与性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，.
【分析】（1）参照题干中的计算方法分析求解即可；
（2）先参照题干中的计算方法求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）先参照题干中的计算方法求出x、y的值，再利用相反数的定义分析求解即可.
（1）解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，
∵，即，
∴的整数部分为，
∴
；
（3）解：，
∴的整数部分为，小数部分是，
∴，
∵，x是整数，且，
∴，，
∴，
∴，
∴的相反数为．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．（2025七下·龙湖期中）问题探究：
如图①，已知ABCD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EFAB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BFDE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
（3）问题迁移：
如图④，已知ABCD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数．
【答案】（1）解：如图②中，过点E作EFAB，∵ABCD，EFAB，
∴ABEFCD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D；
（2）如图③中，过点B作BFDE交CD的延长线于G．
∵DEFG，
∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，
∵ABCG，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，
∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC；
（3）如图④中，
∵EF平分∠AEC，DF平分∠EDC，
∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，
∵∠CED＝3∠F，
∴∠CED＝3x+3y，
∵ABCD，
∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，
∴5x+5y＝180°，
∴x+y＝36°，
∴∠F＝36°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念；补角
【解析】【分析】（1）如图②中，过点E作EFAB，得到ABEFCD，得到∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，结合∠BED＝∠BEF+∠DEF证，即可证得结论；
（2）如图③中，过点B作BFDE交CD的延长线于G，由DEFG，得到∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，再由ABCG，得到∠EDC＝∠ABF，结合∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF，即可得证；
（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x＋y，求出∠CED＝3x+3y，∠BED＝∠CDE＝2y，根据∠AEC＋∠CED＋∠DEB＝180°，构建方程，求出x＋y的值，即可得到答案.
23．（2025七下·龙湖期中）已知，如图1，在平面直角坐标系中，轴于点B，点满足，平移线段，使点A与原点对应，点B的对应点为点C．
（1）填空： ， ；
（2）如图2，P是线段所在直线上一动点，连接平分，以为边，在外部，作射线，若，当点P在直线上运动的过程中，请探究与的位置关系，并证明；
（3）如图3，点是线段上一个动点．
①连接，请利用，，的面积关系（“”表示三角形），求出m，n满足的关系式；
②过点A作直线轴，在l上取点M，使得，若的面积为1，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）4，1
（2）解：OF⊥OE，理由如下：
∵OE平分∠PON，
∴∠POE=∠EON，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，
∴∠NOE=∠PEO
∴∠POE=∠PEO
∵∠OPE+∠PEO+∠POE=180°
即∠OPE+2∠POE=180°
∵∠POF=∠OPE，即∠OPE=2∠POF
∴2∠POF+2∠POE=180°
∠POF+∠POE=90°
即∠FOE=90°
∴OF⊥OE
（3）解
①如图，过点D分别作DP垂直x轴于点P，DQ⊥y轴于点Q，连接OD．
由（1）知，A(4，1)， B(0，4)， C(0，-1)，
∴BO=4 CO=1
，
∴m-4n=4，
m、n满足的关系式为：m-4n=4，
②点D的坐标为或(4，0)．
设直线AM交y轴于T，连接DT，CM
当点M在点A的左侧时，如图，M(2，1)，TM=2，TC=2，
得m-n=2，
又∵m-4n=4，
解得，
当点M在点A的右侧时．如图
TM=6 ，TC=2
化简得m-3n-4=0
又∵m-4n=4
求出m=4，n=0
D(4，0)
综上所述，满足条件的点D的坐标为或(4，0)．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；分类讨论
【解析】【解答】解：（1），
，
解得：a=4，b=1，
故答案为：4，1.
【分析】
本题考查几何变换综合应用，涉及非负数的性质，坐标与图形及三角形面积等知识，解题的关键是方程思想的应用．
（1）由，得：a=4，b=1；
（2）OF、OE的关系式OF⊥OE，根据OE平分∠PON，AB⊥x轴，得到∠POE=∠PEO，在△POE中其内角和是180°，可以得到∠OPE+2∠POE=180°，根据POF=∠OPE，代入化简得到∠POF+∠POE=90°，故证明OF⊥OE
（3）
①过点D分别作DP垂直x轴于点P，DQ⊥y轴于点Q，连接OD．由（1）知，A(4，1)， B(0，4)， C(0，-1)，根据可以求出m-4n=4的关系。
②．点D的坐标为或(4，0)．设直线AM交y轴于T，连接DT，CM，分两种情况讨论。
当点M在点A的左侧时，如图，M(2，1)，TM=2，TC=2，根据
，求出m-n=2，结合①m-4n=4，求出m、n的值，继而求出D点坐标。
当点M在点A的右侧时．M(6.1)，TM=6 ，TC=2，根据
，求出m-3n=4，结合①m-4n=4，求出m、n的值，继而求出D点坐标。
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