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广东省东莞市东城区东莞中学2024—2025学年下学期七年级数学期中考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·东莞期中）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·东莞期中）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能大致用平移来分析其形成过程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·东莞期中）点P（3，﹣4）在平面直角坐标系中所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025七下·东莞期中）下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·东莞期中）用代入法解方程组时，将②代入①正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·东莞期中）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·东莞期中）如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·东莞期中）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·东莞期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（　　）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
10．（2025七下·东莞期中）已知二元一次方程组，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025七下·东莞期中） 的相反数是　 　.
12．（2025七下·东莞期中）一个正数的两个平方根为和，则的值为　 　．
13．（2025七下·东莞期中）是方程的解，则　 　．
14．（2025七下·东莞期中）在平面直角坐标系中，点在第二象限，到轴，轴的距离分别为，则点的坐标为　 　．
15．（2025七下·东莞期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025七下·东莞期中）计算：
17．（2025七下·东莞期中）解方程组：.
18．（2025七下·东莞期中）如图，直线AB，CD相交于O，若，OA平分，求．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025七下·东莞期中）如图，将三角形整体向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到三角形．
（1）画出平移后的图形三角形，并写出三角形各顶点的坐标；
（2）求出三角形的面积．
20．（2025七下·东莞期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，请问购买方案分别是：___________________________________________________
21．（2025七下·东莞期中）阅读下列材料，完成相应任务．
台球中的数学
如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．已知长方形桌面中，，，．
（1）如图2，求证：；
（2）如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，，请你判断与的位置关系，并说明理由．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025七下·东莞期中）【问题初探】
（）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：；
【类比探究】
（）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系；
【学以致用】
（）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数．
23．（2025七下·东莞期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且，满足．
（1）直接写出，，的坐标：_____，_____，_____；
（2）平移线段得到线段，连接，则四边形是平行四边形，求四边形的面积；
（3）在（2）的条件下，点在四边形内部，满足．
（提示：，分别表示三角形，三角形的面积）
①求，满足的数量关系；
②若，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：、是整数，属于有理数，不合题意；
、是整数，属于有理数，不合题意；
、是无理数，符合题意；
、是分数，属于有理数，不合题意；
故答案为：．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有C选项中的图形是经过平移得到的，
故答案为：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵3＞0，﹣4＜0，
∴点P（3，﹣4）所在的象限是第四象限．
故答案为：D．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可。
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】A．，故该选项计算错误，不符合题意；
B．，故该选项计算错误，不符合题意；
C．，故该选项计算错误，不符合题意；
D．，故该选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，利用平方根，算术平方根，立方根定义判断即可。
5．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将②代入①得：，
故答案为：C.
【分析】利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
B、，根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
C、，根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，∠3=45°，∠1=23°
∴∠2=∠1+∠3=23°+45°=68°
故选：B
【分析】
此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案．
8．【答案】B
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图所示，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据点A、B的坐标建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系直接求出点C的坐标即可.
9．【答案】B
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】解：设正方形边长为，
由正方形的面积为8得：，
又，
，
，
，
，
即正方形的边长在2与3之间，故B正确．
故答案为：B．
【分析】设正方形边长为，先利用正方形的面积求出，再利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
10．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
①②，得，
即，
∴，
故答案为：．
【分析】利用加减消元法可得，再求出即可.
11．【答案】
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-3的相反数是3.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案。
12．【答案】1
【知识点】解一元一次方程；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根为和，
∴，
解得：，
故答案为：1．
【分析】利用平方根的定义及性质可得，再求出m的值即可.
13．【答案】2
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】已知是方程的解，
将代入方程中，得到，即，
解得：，
故答案为：2．
【分析】
本题考查二元一次方程的解的概念以及一元一次方程的求解．把已知的方程的解代入ax+y=1中，得到关于的一元一次方程，再求解该方程得出的值
14．【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
又∵点到轴，轴的距离分别为，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】利用点坐标与象限的关系可得点的横坐标为负数，纵坐标为正数，再结合点到轴，轴的距离分别为，最后求出点M的坐标即可.
15．【答案】30
【知识点】三角形外角的概念及性质；邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，延长DE交AC于点F，取直线AB上一点N，点N位于点A右侧，
∵∠BAC=125°
∴∠CAN=180°-125°=55°
AB∥DE
∴∠CFD=∠CAN=55°
∠CDE=∠CFD+∠DCF
即85°=55°+∠DCF
∠DCF=30°
∠ACD=∠DCF=30°，
故答案为：30．
【分析】
本题主要考查平行线的性质、平角性质、三角形的外角的性质。延长DE交AC于点F，取直线AB上一点N，点N位于点A右侧，由平角性质得平行线的性质可得∴∠CAN=55°，由平行线性质得∠CFD=55°，由外角的性质可得∠CDE=∠CFD+∠DCF，求出∠DCF=30°。∠ACD=∠DCF=30°
16．【答案】解：原式．
【知识点】有理数的加、减混合运算；求算术平方根；立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用二次根式和立方根的性质分析化简，再计算即可.
17．【答案】解：，①-②得：3y=3，
解得：y=1，
将y=1代入①中可得：x=3，
∴方程组的解为：

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查解二元一次方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可
18．【答案】解：∵∠EOC：∠EOD=1：2，
∴设∠EOC=x，∠EOD=2x，
故x+2x=180°，
解得：x=60°，
可得：∠COE=60°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA=∠AOE=30°，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查了角平分线、邻补角、对顶角定义和性质，根据∠EOC：∠EOD=1：2，求出∠COE=60°，根据OA平分∠EOC，求出∠AOC，由于∠BOD与∠AOC是对顶角，所以∠BOD=∠AOC．
19．【答案】（1）解：如图所示，三角形即为所求，
由图可得，，，；
（2）解：三角形的面积．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点A'、B'、C'的坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
（1）解：如图所示，三角形即为所求，由图可得，，，；
（2）解：三角形的面积．
20．【答案】解：任务1、设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
任务2、设购买A款奶茶m杯，购买B款奶茶n杯，
由题意得：
整理得：，
均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案：（1）A款奶茶14杯，购买B款奶茶5杯；（2）A款奶茶8杯，购买B款奶茶10杯；（3）A款奶茶2杯，购买B款奶茶15杯．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题；二元一次不定方程
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．
任务1：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
任务2，设购买A款奶茶m杯，购买B款奶茶n杯，根据购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
21．【答案】（1）证明：，
，
又，，
，
，，
，
.
（2）解：．理由：
由题意可知，，
，
，
，，
，
．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠2=∠3，再利用等量代换可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后证出即可；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再证出即可．
（1）证明：，
，
又，，
，
，，
，
；
（2）解：．理由：
由题意可知，，
，
，
，，
，
．
22．【答案】（）证明：如图，
过点作，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）如图，过点作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（）如图，过点作，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）过点作，则，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）过点作，则，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）过点作，过点作，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得．
23．【答案】（1），，
（2）解：由（1）得，，
∴求平行四边形的面积为.
（3）解：①设，
，，，
，
∵平移线段至线段，
∴，
∵，，，
，
，
②由①得，
由图可得：，
，
，
，
，则，
．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；一元一次方程的实际应用-几何问题；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】（1）解：∵，满足，
∴，，
解得：，，
∴，，.
【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再求出点A、B、C的坐标即可；
（2）先求出AC和OB的长，再利用平行四边形的面积公式求解即可；
（3）①设，根据“，，”可得，再求出即可；
②先求出，再利用割补法可得，再结合，列出方程，求出m的值，最后求出点Q的坐标即可.
（1）解：∵，满足，
∴，，
解得，，
∴，，；
（2）解：由（1）得，，
∴求平行四边形的面积为；
（3）解：①设，
，，，
，
∵平移线段至线段，
∴，
∵，，
∵，
，
，
②由①得，
由图可得：，
，
，
，
，则，
．
1 / 1广东省东莞市东城区东莞中学2024—2025学年下学期七年级数学期中考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·东莞期中）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：、是整数，属于有理数，不合题意；
、是整数，属于有理数，不合题意；
、是无理数，符合题意；
、是分数，属于有理数，不合题意；
故答案为：．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．（2025七下·东莞期中）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能大致用平移来分析其形成过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有C选项中的图形是经过平移得到的，
故答案为：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
3．（2025七下·东莞期中）点P（3，﹣4）在平面直角坐标系中所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵3＞0，﹣4＜0，
∴点P（3，﹣4）所在的象限是第四象限．
故答案为：D．
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可。
4．（2025七下·东莞期中）下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】A．，故该选项计算错误，不符合题意；
B．，故该选项计算错误，不符合题意；
C．，故该选项计算错误，不符合题意；
D．，故该选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，利用平方根，算术平方根，立方根定义判断即可。
5．（2025七下·东莞期中）用代入法解方程组时，将②代入①正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将②代入①得：，
故答案为：C.
【分析】利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
6．（2025七下·东莞期中）如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
B、，根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
C、，根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
7．（2025七下·东莞期中）如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，∠3=45°，∠1=23°
∴∠2=∠1+∠3=23°+45°=68°
故选：B
【分析】
此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案．
8．（2025七下·东莞期中）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图所示，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据点A、B的坐标建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系直接求出点C的坐标即可.
9．（2025七下·东莞期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（　　）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】解：设正方形边长为，
由正方形的面积为8得：，
又，
，
，
，
，
即正方形的边长在2与3之间，故B正确．
故答案为：B．
【分析】设正方形边长为，先利用正方形的面积求出，再利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
10．（2025七下·东莞期中）已知二元一次方程组，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
①②，得，
即，
∴，
故答案为：．
【分析】利用加减消元法可得，再求出即可.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025七下·东莞期中） 的相反数是　 　.
【答案】
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-3的相反数是3.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案。
12．（2025七下·东莞期中）一个正数的两个平方根为和，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】解一元一次方程；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根为和，
∴，
解得：，
故答案为：1．
【分析】利用平方根的定义及性质可得，再求出m的值即可.
13．（2025七下·东莞期中）是方程的解，则　 　．
【答案】2
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】已知是方程的解，
将代入方程中，得到，即，
解得：，
故答案为：2．
【分析】
本题考查二元一次方程的解的概念以及一元一次方程的求解．把已知的方程的解代入ax+y=1中，得到关于的一元一次方程，再求解该方程得出的值
14．（2025七下·东莞期中）在平面直角坐标系中，点在第二象限，到轴，轴的距离分别为，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
又∵点到轴，轴的距离分别为，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】利用点坐标与象限的关系可得点的横坐标为负数，纵坐标为正数，再结合点到轴，轴的距离分别为，最后求出点M的坐标即可.
15．（2025七下·东莞期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则　 　．
【答案】30
【知识点】三角形外角的概念及性质；邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，延长DE交AC于点F，取直线AB上一点N，点N位于点A右侧，
∵∠BAC=125°
∴∠CAN=180°-125°=55°
AB∥DE
∴∠CFD=∠CAN=55°
∠CDE=∠CFD+∠DCF
即85°=55°+∠DCF
∠DCF=30°
∠ACD=∠DCF=30°，
故答案为：30．
【分析】
本题主要考查平行线的性质、平角性质、三角形的外角的性质。延长DE交AC于点F，取直线AB上一点N，点N位于点A右侧，由平角性质得平行线的性质可得∴∠CAN=55°，由平行线性质得∠CFD=55°，由外角的性质可得∠CDE=∠CFD+∠DCF，求出∠DCF=30°。∠ACD=∠DCF=30°
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025七下·东莞期中）计算：
【答案】解：原式．
【知识点】有理数的加、减混合运算；求算术平方根；立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用二次根式和立方根的性质分析化简，再计算即可.
17．（2025七下·东莞期中）解方程组：.
【答案】解：，①-②得：3y=3，
解得：y=1，
将y=1代入①中可得：x=3，
∴方程组的解为：

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查解二元一次方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可
18．（2025七下·东莞期中）如图，直线AB，CD相交于O，若，OA平分，求．
【答案】解：∵∠EOC：∠EOD=1：2，
∴设∠EOC=x，∠EOD=2x，
故x+2x=180°，
解得：x=60°，
可得：∠COE=60°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA=∠AOE=30°，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查了角平分线、邻补角、对顶角定义和性质，根据∠EOC：∠EOD=1：2，求出∠COE=60°，根据OA平分∠EOC，求出∠AOC，由于∠BOD与∠AOC是对顶角，所以∠BOD=∠AOC．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025七下·东莞期中）如图，将三角形整体向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到三角形．
（1）画出平移后的图形三角形，并写出三角形各顶点的坐标；
（2）求出三角形的面积．
【答案】（1）解：如图所示，三角形即为所求，
由图可得，，，；
（2）解：三角形的面积．
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点A'、B'、C'的坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
（1）解：如图所示，三角形即为所求，由图可得，，，；
（2）解：三角形的面积．
20．（2025七下·东莞期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2024年杭州茶文化“西湖悦读节”，某班级开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 如果购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，请问购买方案分别是：___________________________________________________
【答案】解：任务1、设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
任务2、设购买A款奶茶m杯，购买B款奶茶n杯，
由题意得：
整理得：，
均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案：（1）A款奶茶14杯，购买B款奶茶5杯；（2）A款奶茶8杯，购买B款奶茶10杯；（3）A款奶茶2杯，购买B款奶茶15杯．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题；二元一次不定方程
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．
任务1：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
任务2，设购买A款奶茶m杯，购买B款奶茶n杯，根据购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
21．（2025七下·东莞期中）阅读下列材料，完成相应任务．
台球中的数学
如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．已知长方形桌面中，，，．
（1）如图2，求证：；
（2）如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，，请你判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：，
，
又，，
，
，，
，
.
（2）解：．理由：
由题意可知，，
，
，
，，
，
．
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠2=∠3，再利用等量代换可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后证出即可；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再证出即可．
（1）证明：，
，
又，，
，
，，
，
；
（2）解：．理由：
由题意可知，，
，
，
，，
，
．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025七下·东莞期中）【问题初探】
（）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，，点在，之间且点在点右侧，求证：；
【类比探究】
（）李明对王老师给出的问题进行了改编：如图，，点在，之间且点在点左侧，直接写出，，之间的数量关系；
【学以致用】
（）如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，求的度数．
【答案】（）证明：如图，
过点作，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）如图，过点作，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（）如图，过点作，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）过点作，则，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）过点作，则，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）过点作，过点作，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得．
23．（2025七下·东莞期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且，满足．
（1）直接写出，，的坐标：_____，_____，_____；
（2）平移线段得到线段，连接，则四边形是平行四边形，求四边形的面积；
（3）在（2）的条件下，点在四边形内部，满足．
（提示：，分别表示三角形，三角形的面积）
①求，满足的数量关系；
②若，求点的坐标．
【答案】（1），，
（2）解：由（1）得，，
∴求平行四边形的面积为.
（3）解：①设，
，，，
，
∵平移线段至线段，
∴，
∵，，，
，
，
②由①得，
由图可得：，
，
，
，
，则，
．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；一元一次方程的实际应用-几何问题；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】（1）解：∵，满足，
∴，，
解得：，，
∴，，.
【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再求出点A、B、C的坐标即可；
（2）先求出AC和OB的长，再利用平行四边形的面积公式求解即可；
（3）①设，根据“，，”可得，再求出即可；
②先求出，再利用割补法可得，再结合，列出方程，求出m的值，最后求出点Q的坐标即可.
（1）解：∵，满足，
∴，，
解得，，
∴，，；
（2）解：由（1）得，，
∴求平行四边形的面积为；
（3）解：①设，
，，，
，
∵平移线段至线段，
∴，
∵，，
∵，
，
，
②由①得，
由图可得：，
，
，
，
，则，
．
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