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广西壮族自治区南宁市2025年初中毕业班质量调研(二)数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025·南宁模拟）-3的绝对值是（　　）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算；根据算术平方根的定义进行解答．
【解答】-3的绝对值是|-3|=3；
故选：A
【点评】本题考查了算术平方根的定义、绝对值的定义．注意一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
2．（2025·南宁模拟）下列图形是平面图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面图形的初步认识
【解析】【解答】解：、是立体图形，不合题意；
、是立体图形，不合题意；
、是立体图形，不合题意；
、是平面图形，符合题意；
故答案为：．
【分析】根据平面图形的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025·南宁模拟）国家能源局发布数据，截至2024年底，全国累计发电装机容量约为3350000000千瓦，将3350000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】
本题考查科学记数法表示较大的数，将一个较大的数表示成的形式，其中，为整数且比位数少1，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
4．（2025·南宁模拟）下列交通指示标志的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意；
D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（ 对称轴） 折叠， 使得直线两侧的图形能够完全重合.
5．（2025·南宁模拟）若是关于x的方程的解，则a的值是（　　）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
本题主要考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值即可得到答案．
6．（2025·南宁模拟）如图，已知直线，被直线所截，则的同位角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：因为和是邻补角，
所以A不符合题意；
因为和是同位角，
所以B符合题意；
因为和不是同位角，
所以C不符合题意；
因为和不是同位角，
所以D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据同位角的定义逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025·南宁模拟）小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色和2件是蓝色，从中任意取出一件正好是蓝色的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色和2件是蓝色，
∴从中任意取出一件正好是蓝色的概率为，
故选：C
【分析】
本题考查了概率，对于一个事件A，其概率P(A)的计算公式为：据此可以解答
8．（2025·南宁模拟）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
9．（2025·南宁模拟）如图，是的直径，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
10．（2025·南宁模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，原选项计算错误，不符合题意；
B.，原选项计算错误，不符合题意；
C.，原选项计算错误，不符合题意；
D.，计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据幂的乘方，完全平方公式，合并同类项法则和同底数幂的乘法逐项进行判断即可求出答案.
11．（2025·南宁模拟）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进x套，第二次购进y套，根据题意，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵该书店第一次购进x套，第二次购进y套，两次购进该漫画册共3500套，两次进价都是40元/套．第二次的总价比第一次多20000元，
∴．
故选：C．
【分析】根绝“两次购进该漫画册共3500套，两次进价都是40元/套．第二次的总价比第一次多20000元”列方程组即可求解.
12．（2025·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．则关于方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，
∴点的横坐标为，
∵是一次函数向下平移了个单位，根据反比例函数关于原点对称可得，一次函数与反比例函数在第三象限的交点为，
∴关于方程的解是，
故答案为：D．
【分析】由图象可得点的横坐标为，根据函数图象的平移规律，结合反比例函数的对称性即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025·南宁模拟）若分式 有意义，则 的取值范围是　 　 .
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1.
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可得
14．（2025·南宁模拟）因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 ，
故答案为： ．
【分析】直接利用完全平方公式分解即可.
15．（2025·南宁模拟）平面直角坐标系中，点 到原点的距离是　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】作 轴于 ，则 ， .
则根据勾股定理，得 .
故答案为： .
【分析】根据点P的坐标可求出点P到x轴和y轴的距离，再利用勾股定理求出OP的长。
16．（2025·南宁模拟）如图，在中，，，，点是边的中点，点是上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴，
∵点D是边的中点，将沿翻折得到
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点三点重合时，的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AC，再根据折叠性质可得，则，根据勾股定理可得AM，再根据边之间的关系可得BM，再根据勾股定理可得BD，再根据边之间的关系可得即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·南宁模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】解：（1）原式
；
（2）由①得，，
由②得，，
∴这个不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘除法，最后计算减法即可得到答案；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
18．（2025·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，每个正方形小方格的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，均在格点上．
（1）将向下平移4个单位长度，请你画出平移后得到的；
（2）将绕点顺时针旋转后得到的，请你画出；
（3）在（2）的条件下，求点运动路径的长．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求：
（3）解：由勾股定理得，
所以点运动路径的长为
【知识点】弧长的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的弧长公式即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求：
（3）解：由勾股定理得，
所以点运动路径的长为．
19．（2025·南宁模拟）在某次物理实验中，楠楠将一个试验小物件静止地放在斜面上，其受力情况分析如图所示，重力的方向竖直向下，其方向线交于点，交水平面于点，支持力的方向垂直于，摩擦力的方向线与平行，已知斜面的坡角．
（1）求摩擦力的方向与重力的方向的夹角的度数；
（2）若在此次实验中，，，求小物件的铅垂高（结果取整数）．
（参考数据：，，）
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
答：摩擦力的方向与重力的方向的夹角的度数为
（2）解：在中，，
∵，
∴．
∵，
∴
．
答：在此次实验中小物件的铅垂高约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得∠AEC，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）根据正弦定义可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
答：摩擦力的方向与重力的方向的夹角的度数为．
（2）解：在中，，
∵，
∴．
∵，
∴
．
答：在此次实验中小物件的铅垂高约为．
20．（2025·南宁模拟）项目式学习
背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？
素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（分钟）12345…总水量（毫升）1015202530…
问题探究和问题解决
任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点．
任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断和（、为常数）哪一个能正确反映总水量与时间的函数关系？请求出这个关系式．
任务3 ①同学们继续观察，当量简中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议．
【答案】解：任务1：如图，描点如下：
任务2：由数据和画图可知（k，b为常数）才能正确反映总水量y与时间t的函数关系；
点和都在此函数的图象上
解得：，
；
任务3：①当时，则
解得：，
当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟；
②每分钟浪费的水（15-10）÷（2-1）=5（毫升），60分钟浪费的水5×60=300（毫升）
照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费300毫升水；
③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键．
任务1：根据表格数据描点即可；
任务2：根据上表中的数据和所描的点，（k、b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系；再利用待定系数法求解解析式即可；
任务3：①把代入解析式即可得到答案；
②先求出每分钟浪费的水，再求60分钟浪费的水；
③答案不唯一，合理即可．
21．（2025·南宁模拟）随着人工智能技术的快速发展，AI＋已成为推动全球创新和经济增长的重要力量．某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“AI交互设计”“AI工程实践”“AI综合技能”“AI创新挑战”“AI轨迹普及”五项人工智能社团课程．为了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），并将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）请将条形统计图补充完整．
（2）在扇形统计图中，“AI轨迹普及”的百分比是 ，表示“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数为 度．
（3）学校对有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生进行了现场测试（满分100分），并将成绩统计如下：
成绩/分 83 87 90 92 95 97
人数 2 4 6 8 3 1
则这组数据的平均数是 分，中位数是 分，众数是 分．
（4）若该校学生的总人数是1200人，请你估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有多少人？
【答案】（1）解：∵总人数为：（人），
∵“AI综合技能”占比，
∴“AI综合技能”人数：（人），
∴条形图补全如下：
（2）
（3）
（4）解：∵该校学生的总人数是1200人，
∴参加“AI创新挑战”社团课程的学生：（人），
答：估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有480人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：∵根据条形图可知“AI轨迹普及”人数为：人，
由（1）知：总人数为人，
∴“AI轨迹普及”的百分比：，
∵“AI创新挑战”人数为人，
∴“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数：，
故答案为：；
（3）解：∵根据图表可得：
平均数为：（分），
∵共有人数：，
∴中位数为第和分数的平均数，即：（分），
∵分人数最多，即分为众数，
故答案为：；
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图先求出总人数，再利用占比计算出“AI综合技能”数据，继而补全图形即可；
（2）利用“AI轨迹普及”的人数除以总人数即为占比，先求出“AI创新挑战”的占比后再乘以即可；
（3）先计算总分数再除以总人数即可为平均分，先将分数进行排序后即可求出中位数，观察表格人数最多的即为分数的众数；
（4）根据“AI创新挑战”的占比，再乘以总人数即为答案．
（1）解：∵总人数为：（人），
∵“AI综合技能”占比，
∴“AI综合技能”人数：（人），
∴条形图补全如下：
（2）解：∵根据条形图可知“AI轨迹普及”人数为：人，
由（1）知：总人数为人，
∴“AI轨迹普及”的百分比：，
∵“AI创新挑战”人数为人，
∴“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数：，
故答案为：；
（3）解：∵根据图表可得：
平均数为：（分），
∵共有人数：，
∴中位数为第和分数的平均数，即：（分），
∵分人数最多，即分为众数，
故答案为：；
（4）解：∵该校学生的总人数是1200人，
∴参加“AI创新挑战”社团课程的学生：（人），
答：估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有480人．
22．（2025·南宁模拟）综合与实践
【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”．
【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，．
（1）如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立；
【问题深化】
（3）如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值．
【答案】解：∵，，
∴，
∴．
（2）
证明：如图，过点作于点，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（3）
解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
同理可得，，，
∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点作于点，根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接，过点作交于点，过点作交于点，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，，同理可得，，，再根据菱形性质可得，，，则，，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
23．（2025·南宁模拟）探究与拓展
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是此函数图象在轴上方部分的动点，连接，．设点的横坐标为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．
（1）请直接写出点的坐标，和图2中的值；
（2）当时，求点的坐标；
（3）当点仅在函数图象上点至点之间的部分运动时，连接，交于点，则是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点的坐标为，，
（2）解：当时，，解得：，
当点的横坐标为时，
，此时点的坐标为；
当点的横坐标为时，
，
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或
（3）解：如图，连接，过点作轴于点，交于点，作，交轴于点，
∴四边形为平行四边形，
设直线的解析式为，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
记点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最大值为，
的值为9
【知识点】二次函数的最值；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【解答】（1）解：∵二次函数，点的坐标为，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，，解得：，，
∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴点的坐标为．
二次函数，当时，，
∴点的坐标为，
∴，
设点的横坐标为，的面积为，
∴，
当时，，
∴；
（3）∵当n=3时，取最大值为
∴点D的横坐标为3
∴
【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入二次函数解析式可得 二次函数的解析式为， 根据坐标轴上点的坐标特征可得点的坐标为，点的坐标为，则， 设点的横坐标为，的面积为， 再根据三角形面积即可求出答案.
（2）当时，建立方程，解方程可得，再代入解析式即可求出答案.
（3）连接，过点作轴于点，交于点，作，交轴于点，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，记点的坐标为，则，，再根据平行线分线段成比例定理可得，结合二次函数性质可得的最大值为，求出此时n的值，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵二次函数，点的坐标为，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，，解得：，，
∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴点的坐标为．
二次函数，当时，，
∴点的坐标为，
∴，
设点的横坐标为，的面积为，
∴，
当时，，
∴；
（2）当时，，解得：，
当点的横坐标为时，
，此时点的坐标为；
当点的横坐标为时，
，
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
（3）如图，连接，过点作轴于点，交于点，作，交轴于点，
∴四边形为平行四边形，
设直线的解析式为，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
记点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最大值为，
此时的值为9．
1 / 1广西壮族自治区南宁市2025年初中毕业班质量调研(二)数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025·南宁模拟）-3的绝对值是（　　）
A．3 B．-3 C． D．
2．（2025·南宁模拟）下列图形是平面图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·南宁模拟）国家能源局发布数据，截至2024年底，全国累计发电装机容量约为3350000000千瓦，将3350000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·南宁模拟）下列交通指示标志的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·南宁模拟）若是关于x的方程的解，则a的值是（　　）
A． B．0 C．2 D．3
6．（2025·南宁模拟）如图，已知直线，被直线所截，则的同位角是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·南宁模拟）小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色和2件是蓝色，从中任意取出一件正好是蓝色的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·南宁模拟）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·南宁模拟）如图，是的直径，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·南宁模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·南宁模拟）随着电影《哪吒2之魔童闹海》的热映，与之相关某漫画册的销量也急剧上升．某书店分两次购进该漫画册共3500套，第二次的总价比第一次多20000元，且两次进价都是40元/套．设该书店第一次购进x套，第二次购进y套，根据题意，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．则关于方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025·南宁模拟）若分式 有意义，则 的取值范围是　 　 .
14．（2025·南宁模拟）因式分解： 　 　．
15．（2025·南宁模拟）平面直角坐标系中，点 到原点的距离是　 　.
16．（2025·南宁模拟）如图，在中，，，，点是边的中点，点是上的动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·南宁模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：
18．（2025·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，每个正方形小方格的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，均在格点上．
（1）将向下平移4个单位长度，请你画出平移后得到的；
（2）将绕点顺时针旋转后得到的，请你画出；
（3）在（2）的条件下，求点运动路径的长．
19．（2025·南宁模拟）在某次物理实验中，楠楠将一个试验小物件静止地放在斜面上，其受力情况分析如图所示，重力的方向竖直向下，其方向线交于点，交水平面于点，支持力的方向垂直于，摩擦力的方向线与平行，已知斜面的坡角．
（1）求摩擦力的方向与重力的方向的夹角的度数；
（2）若在此次实验中，，，求小物件的铅垂高（结果取整数）．
（参考数据：，，）
20．（2025·南宁模拟）项目式学习
背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？
素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（分钟）12345…总水量（毫升）1015202530…
问题探究和问题解决
任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点．
任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断和（、为常数）哪一个能正确反映总水量与时间的函数关系？请求出这个关系式．
任务3 ①同学们继续观察，当量简中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议．
21．（2025·南宁模拟）随着人工智能技术的快速发展，AI＋已成为推动全球创新和经济增长的重要力量．某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“AI交互设计”“AI工程实践”“AI综合技能”“AI创新挑战”“AI轨迹普及”五项人工智能社团课程．为了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），并将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）请将条形统计图补充完整．
（2）在扇形统计图中，“AI轨迹普及”的百分比是 ，表示“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数为 度．
（3）学校对有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生进行了现场测试（满分100分），并将成绩统计如下：
成绩/分 83 87 90 92 95 97
人数 2 4 6 8 3 1
则这组数据的平均数是 分，中位数是 分，众数是 分．
（4）若该校学生的总人数是1200人，请你估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有多少人？
22．（2025·南宁模拟）综合与实践
【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”．
【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，．
（1）如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立；
【问题深化】
（3）如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值．
23．（2025·南宁模拟）探究与拓展
如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是此函数图象在轴上方部分的动点，连接，．设点的横坐标为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．
（1）请直接写出点的坐标，和图2中的值；
（2）当时，求点的坐标；
（3）当点仅在函数图象上点至点之间的部分运动时，连接，交于点，则是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数进行计算；根据算术平方根的定义进行解答．
【解答】-3的绝对值是|-3|=3；
故选：A
【点评】本题考查了算术平方根的定义、绝对值的定义．注意一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
2．【答案】D
【知识点】平面图形的初步认识
【解析】【解答】解：、是立体图形，不合题意；
、是立体图形，不合题意；
、是立体图形，不合题意；
、是平面图形，符合题意；
故答案为：．
【分析】根据平面图形的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】
本题考查科学记数法表示较大的数，将一个较大的数表示成的形式，其中，为整数且比位数少1，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
4．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意；
D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（ 对称轴） 折叠， 使得直线两侧的图形能够完全重合.
5．【答案】A
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
本题主要考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值即可得到答案．
6．【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：因为和是邻补角，
所以A不符合题意；
因为和是同位角，
所以B符合题意；
因为和不是同位角，
所以C不符合题意；
因为和不是同位角，
所以D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据同位角的定义逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色和2件是蓝色，
∴从中任意取出一件正好是蓝色的概率为，
故选：C
【分析】
本题考查了概率，对于一个事件A，其概率P(A)的计算公式为：据此可以解答
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，原选项计算错误，不符合题意；
B.，原选项计算错误，不符合题意；
C.，原选项计算错误，不符合题意；
D.，计算正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据幂的乘方，完全平方公式，合并同类项法则和同底数幂的乘法逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵该书店第一次购进x套，第二次购进y套，两次购进该漫画册共3500套，两次进价都是40元/套．第二次的总价比第一次多20000元，
∴．
故选：C．
【分析】根绝“两次购进该漫画册共3500套，两次进价都是40元/套．第二次的总价比第一次多20000元”列方程组即可求解.
12．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，
∴点的横坐标为，
∵是一次函数向下平移了个单位，根据反比例函数关于原点对称可得，一次函数与反比例函数在第三象限的交点为，
∴关于方程的解是，
故答案为：D．
【分析】由图象可得点的横坐标为，根据函数图象的平移规律，结合反比例函数的对称性即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1.
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可得
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 ，
故答案为： ．
【分析】直接利用完全平方公式分解即可.
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】作 轴于 ，则 ， .
则根据勾股定理，得 .
故答案为： .
【分析】根据点P的坐标可求出点P到x轴和y轴的距离，再利用勾股定理求出OP的长。
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴，
∵点D是边的中点，将沿翻折得到
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点三点重合时，的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AC，再根据折叠性质可得，则，根据勾股定理可得AM，再根据边之间的关系可得BM，再根据勾股定理可得BD，再根据边之间的关系可得即可求出答案.
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）由①得，，
由②得，，
∴这个不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘除法，最后计算减法即可得到答案；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求：
（3）解：由勾股定理得，
所以点运动路径的长为
【知识点】弧长的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的弧长公式即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求：
（3）解：由勾股定理得，
所以点运动路径的长为．
19．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
答：摩擦力的方向与重力的方向的夹角的度数为
（2）解：在中，，
∵，
∴．
∵，
∴
．
答：在此次实验中小物件的铅垂高约为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得∠AEC，再根据直线平行性质即可求出答案.
（2）根据正弦定义可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
答：摩擦力的方向与重力的方向的夹角的度数为．
（2）解：在中，，
∵，
∴．
∵，
∴
．
答：在此次实验中小物件的铅垂高约为．
20．【答案】解：任务1：如图，描点如下：
任务2：由数据和画图可知（k，b为常数）才能正确反映总水量y与时间t的函数关系；
点和都在此函数的图象上
解得：，
；
任务3：①当时，则
解得：，
当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟；
②每分钟浪费的水（15-10）÷（2-1）=5（毫升），60分钟浪费的水5×60=300（毫升）
照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费300毫升水；
③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键．
任务1：根据表格数据描点即可；
任务2：根据上表中的数据和所描的点，（k、b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系；再利用待定系数法求解解析式即可；
任务3：①把代入解析式即可得到答案；
②先求出每分钟浪费的水，再求60分钟浪费的水；
③答案不唯一，合理即可．
21．【答案】（1）解：∵总人数为：（人），
∵“AI综合技能”占比，
∴“AI综合技能”人数：（人），
∴条形图补全如下：
（2）
（3）
（4）解：∵该校学生的总人数是1200人，
∴参加“AI创新挑战”社团课程的学生：（人），
答：估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有480人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：∵根据条形图可知“AI轨迹普及”人数为：人，
由（1）知：总人数为人，
∴“AI轨迹普及”的百分比：，
∵“AI创新挑战”人数为人，
∴“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数：，
故答案为：；
（3）解：∵根据图表可得：
平均数为：（分），
∵共有人数：，
∴中位数为第和分数的平均数，即：（分），
∵分人数最多，即分为众数，
故答案为：；
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图先求出总人数，再利用占比计算出“AI综合技能”数据，继而补全图形即可；
（2）利用“AI轨迹普及”的人数除以总人数即为占比，先求出“AI创新挑战”的占比后再乘以即可；
（3）先计算总分数再除以总人数即可为平均分，先将分数进行排序后即可求出中位数，观察表格人数最多的即为分数的众数；
（4）根据“AI创新挑战”的占比，再乘以总人数即为答案．
（1）解：∵总人数为：（人），
∵“AI综合技能”占比，
∴“AI综合技能”人数：（人），
∴条形图补全如下：
（2）解：∵根据条形图可知“AI轨迹普及”人数为：人，
由（1）知：总人数为人，
∴“AI轨迹普及”的百分比：，
∵“AI创新挑战”人数为人，
∴“AI创新挑战”的扇形的圆心角度数：，
故答案为：；
（3）解：∵根据图表可得：
平均数为：（分），
∵共有人数：，
∴中位数为第和分数的平均数，即：（分），
∵分人数最多，即分为众数，
故答案为：；
（4）解：∵该校学生的总人数是1200人，
∴参加“AI创新挑战”社团课程的学生：（人），
答：估计最有意向参加“AI创新挑战”社团课程的学生有480人．
22．【答案】解：∵，，
∴，
∴．
（2）
证明：如图，过点作于点，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（3）
解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
同理可得，，，
∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点作于点，根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接，过点作交于点，过点作交于点，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，，同理可得，，，再根据菱形性质可得，，，则，，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
23．【答案】（1）点的坐标为，，
（2）解：当时，，解得：，
当点的横坐标为时，
，此时点的坐标为；
当点的横坐标为时，
，
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或
（3）解：如图，连接，过点作轴于点，交于点，作，交轴于点，
∴四边形为平行四边形，
设直线的解析式为，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
记点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最大值为，
的值为9
【知识点】二次函数的最值；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【解答】（1）解：∵二次函数，点的坐标为，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，，解得：，，
∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴点的坐标为．
二次函数，当时，，
∴点的坐标为，
∴，
设点的横坐标为，的面积为，
∴，
当时，，
∴；
（3）∵当n=3时，取最大值为
∴点D的横坐标为3
∴
【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入二次函数解析式可得 二次函数的解析式为， 根据坐标轴上点的坐标特征可得点的坐标为，点的坐标为，则， 设点的横坐标为，的面积为， 再根据三角形面积即可求出答案.
（2）当时，建立方程，解方程可得，再代入解析式即可求出答案.
（3）连接，过点作轴于点，交于点，作，交轴于点，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，记点的坐标为，则，，再根据平行线分线段成比例定理可得，结合二次函数性质可得的最大值为，求出此时n的值，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵二次函数，点的坐标为，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，，解得：，，
∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴点的坐标为．
二次函数，当时，，
∴点的坐标为，
∴，
设点的横坐标为，的面积为，
∴，
当时，，
∴；
（2）当时，，解得：，
当点的横坐标为时，
，此时点的坐标为；
当点的横坐标为时，
，
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或；
（3）如图，连接，过点作轴于点，交于点，作，交轴于点，
∴四边形为平行四边形，
设直线的解析式为，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
记点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最大值为，
此时的值为9．
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