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广东省茂名市龙岭教育共同体2024-2025学年下学期九年级中考模拟质量检测三数学
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2025·茂南模拟）下列各数中，最小的是（　　）
A． B．3 C． D．
2．（2025·茂南模拟）自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录.11040000用科学记数法可表示为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
3．（2025·茂南模拟）若是方程的一个解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．（2025·茂南模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
5．（2025·茂南模拟）下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．正五边形
6．（2025·茂南模拟）如图，在中，，，是的外角，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·茂南模拟）在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·茂南模拟）定义：．已知，，则（　　）
A． B．8 C． D．32
9．（2025·茂南模拟）如图，在菱形中，，对角线交于点O，E为的中点，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·茂南模拟）如图，的半径为，以圆外一点为圆心，画半径为的弧，将截成弧长相等的两部分，则两点的距离为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·茂南模拟）计算：　 　．
12．（2025·茂南模拟）因式分解：　 　．
13．（2025·茂南模拟）分式方程的解为　 　．
14．（2025·茂南模拟）如图，为的直径．平分，与交于点，．若，则的面积为　 　．
15．（2025·茂南模拟）如图，半圆的直径长为8，点C，D是半圆的三等分点，连接，，过点C作，垂足为E，则图中阴影部分的面积为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025·茂南模拟）计算：．
17．（2025·茂南模拟）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式 ……
解：原式 ……
（1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
18．（2025·茂南模拟）如图：在平行四边形中，点F在上，且．
（1）用直尺和圆规作的平分线交于点E（尺规作图的痕迹保留在图中），
（2）求证：四边形为菱形．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·茂南模拟）高州荔枝以品种多、品质优、口感佳和历史悠久而驰名中外．在销售挂绿荔枝过程中，每千克售价不低于40元且不高于80元，商家发现销售量y（千克）与每千克售价（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求关于的函数关系式．
（2）设该商家挂绿荔枝的销售额为（元），当每千克售价定为多少元时，销售额最大？最大销售额是多少？
20．（2025·茂南模拟）某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年级被抽取的学生得分统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级
九年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高 请说明理由 (写出一条理由即可)；
（3）该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名
21．（2025·茂南模拟）综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒
如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接．
（1）求证：．
（2）如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）．
①该纸盒的高为x，用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围．
②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025·茂南模拟）如图（1），在中，是直径，为弦，，相交于点，直线与相切于点B，且．
（1）求证：点是的中点．
（2）如图（2），是的直径，连接，，线段上存在一点，满足，求证：．
（3）如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接，当的面积最大时，求的大小．
23．（2025·茂南模拟）如图1，矩形的两个顶点，分别落在，轴上，顶点，位于第一象限，对角线，交于点，，，若双曲线经过点，．
（1）求的值；
（2）点，分别在射线、射线上，满足，，求的度数；
（3）如图2，若抛物线的顶点是线段上一动点，与轴交于点，，过点作轴于点，当取得最大值时，求此时的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
∴这几个数，最小，
故选：A．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 11040000=1.104×107
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
3．【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得，
故答案为：D．
【分析】根据方程解的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”，将x=1代入原方程可得关于字母m的一元一次方程，求解即可得出m的值.
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，．
解得∶且．
故选：D．
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
5．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：等边三角形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故A错误；
B：平行四边形为中心对称图形，但不为轴对称图形，故B正确；
C：菱形及为中心对称图形也为轴对称图形，故C错误；
D：正五边形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故D错误；
故答案为：B．
【分析】轴对称是把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线称对，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。
中心对称是一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这个点对称，也称这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心。根据中心对称图形与轴对称图形的特点逐一判断即可．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：在中，可得：
又
可化为：
即：
解得：
故答案为：C．
【分析】由已知可得∠C=∠B=∠BAC-15°，从而根据三角形的内角和定理建立方程可求出∠BAC=70°，最后根据邻补角可求出∠DAC的度数.
7．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下：
共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，
∴；
故答案为：B.
【分析】设A表示华山、B表示华阳古镇、C表示太白山，列出表格，找出总情况数以及他们两家去同一景点旅游的情况数，然后根据概率公式进行计算.
8．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
故选：B
【分析】
先利用新定义和分式减法得到，再对所求式子进行因式分解并整体代入计算即可．
9．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，
∴，，O为的中点，
∵E为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由菱形的每一条对角线平分一组对角求得，由菱形的对角线互相垂直得，由菱形的对角线互相平分得点O是BD的中点，根据三角形中位线平行于第三边得到，由二直线平行，同位角相等求得，最后根据∠AOE=∠AOD+∠DOE列式计算即可.
10．【答案】C
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵将截成弧长相等的两部分，
∴CD为直径，
∴AC=AD=4，BC=BD=
∴AB垂直平分CD，
∴，∠ABC=∠ABD=90°
∴，
故答案为：．
【分析】由将截成弧长相等的两部分得为直径，根据题意可得，，则垂直平分，然后根据勾股定理即可求解．
11．【答案】9
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：9.
【分析】根据两数相除，同号得正，并把绝对值相除，进行计算即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式2a，再运用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
13．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
等号两边乘以（x-2)x得：，
解得：，
经检验是原方程的解；
故答案为：．
【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵平分，，
∴∠DBC=30°，
在Rt△CEB中，tan30°==，
∵BC=2，
∴EC=，
∴=.
故答案为： ．
【分析】
先利用圆周角定理的推论，求得∠ACB=90°，然后利用角平分线的意义求得∠DBC=30°，接着利用含有30度角的直角三角形的性质求得EC，再求出的面积．
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接，过D点作于F，
∵ 点C，D是半圆的三等分点，
∴，且每段弧所对的圆周角是，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积
∵，
∴是等边三角形，
∵半圆的直径长为8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积；
故答案为： ．
【分析】 连接OD，过D点作DF⊥OB于F， 由圆心角、弧、弦的关系可得BD=AC，∠CAB=∠BOD=60°，从而用AAS判断出△ACE≌△BDF，由全等三角形面积相等得S△ACE=S△BDF，从而可推出S阴影=；由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BOD是等边三角形，由等边三角形的三线合一得OF=BF=2，再利用勾股定理算出DF，最后根据扇形及三角形面积计算公式列式计算即可.
16．【答案】解：

【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据乘方、算术平方根、特殊角的三角函数、零指数幂、绝对值进行计算即可．
17．【答案】（1）②，③
（2）解：甲同学的解法：
原式
；
乙同学的解法：
原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【(解答】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
【分析】（1）根据所给的解题过程可得甲是先通分计算括号内异分母分式的加法，乙是用括号外的因式与括号内的每一个加数相乘，据此可得答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质，通分计算括号内异分母分式的加法，同时利用平方差公式将括号外因式的分子分解因式，进而计算分式乘法，约分化简即可；乙同学的解法：根据乘法分配律用括号外的因式与括号内的每一个加数相乘，再把所得的积相加，进而利用平方差公式将每一个加数中的第二个因式分解因式，进而计算分式乘法，约分化简，最后合并同类项即可．
18．【答案】（1）解：如图所示：AE就是所求的∠BAD的角平分线；
（2）证明：由尺规作的角平分线的过程可得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边相等及已知可得AB=CD=AF，以点A为圆心，AF为半径，画弧，分别与AD、AB交于点F和B，再以点F和B为圆心，大于FB为半径画弧，两弧在∠BAD内交于一点过这点及点A作射线，交BC于点E，则AE就是所求的∠BAD的角平分线；
（2）由平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AB=CD，由二直线平行，内错角相等得∠FAE=∠AEB，结合角平分线的定义可推出∠BAE=∠AEB，由等角对等边得AB=BE，则BE=AF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABEF是平行四边形，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论.
（1）解：如图所示：
（2）证明：由尺规作的角平分线的过程可得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
19．【答案】（1）解：由题图可设，
且该函数图象经过点，
，
解得
关于的函数关系式为；
（2）解：由题意得，
，
当时，w有最大值，最大值为3920．
答：当每千克售价定为56元时，销售额最大，最大销售额为3920元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由图象可得销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间存在一次函数关系，从而设所求函数解析式为y=kx+b(k、b为常量，且k≠0)，然后将点（40，90）与点（80，40）分别代入，可得关于字母k、b的二元一次方程组，解该方程组求出k、b的值，即可得到所求的函数解析式；
（2）销售额等于销售量乘以售价，据此即可列出销售额关于售价的函数关系式，进而根据所得二次函数性质即可解答．
（1）解：由题图可设，
且该函数图象经过点，
，
解得
关于的函数关系式为；
（2）解：由题意得，
，
当时，w有最大值，最大值为3920．
答：当每千克售价定为56元时，销售额最大，最大销售额为3920元．
20．【答案】（1）82，78，20
（2）八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
（3）（名）
【知识点】扇形统计图；常用统计量的选择；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）解：将8年级抽取学生的得分从低到高排列，则第5个和第6个分数的平均数则为中位数，
八年级“了解”的数据：82，82，82，89；八年级“不了解”的数据有；
八年级“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82，78，20；
【分析】
（1）由题可推得八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值；
（2）从中位数或众数的角度出发回答即可；
（3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可.
（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有；
八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82，78，20；
（2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
（3）解：（名）．
答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，△ABE是等边三角形
∴AD=BC，AE=BE，∠EAB=∠EBA=60°
∠DAE=90°-∠EAB=30°
∠CBE=90°-∠EBA=30°
∴△DAE≌△CBE（SAS）
∴DE=CE
（2）解：①如图所示，△ABE是正三角形，AB=12， 作AB边上的高EN，作BE边上的高AM，纸盒的高是OG，纸盒的底面边长是OL
∵∠OAG=30°，设OG=x，
∴AG=BK=
AB=AG+OL+BK=OL+2x
∴OL=12-2x
12＞OL＞0，即12-2x＞0
求出0＜x＜2
∴纸盒底面边长为：12-2x （0＜x＜2）；
②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y，
则
当时，y取得最大值
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题主要考查正方形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，（1）根据正方形，等边三角形的性质证明△DAE≌△CBE（SAS），即可求证DE=CE；
（2）
①△ABE是正三角形，AB=12， 作AB边上的高EN，作BE边上的高AM，纸盒的高是OG，纸盒的底面边长是OL，设OG=x，解Rt△AOG，求出 AG=KB=.而AB=AG+OL+BK=OL+2x=12.即可求出OL=12-2x， 0＜12-2x＜12.可求出x的取值范围。
② 该纸盒的侧面积 是三个长为(12-2x)，宽为x的矩形。二次函数当a＜0，x=h时最大值是K.利用二次函数最值的方法求出最大值。
（1）证明：∵四边形为正方形
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：①如图所示，作的角平分线交于点，作的角平分线交于点，两角平分线交于点，则，
∴，则，
∴，
同理，，
∴，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴纸盒底面边长为：；
②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y，
则，
当时，y取得最大值．
22．【答案】（1）证明：直线与相切于点B，为直径，
，
，
即，
点F是的中点；
（2）证明：如图，连接，
由（1）可知，
为直径，
，
，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：将绕点顺时针旋转得到，
，
面积点F到的距离点到的距离，
当点F到的距离最大时，的面积取得最大值．
如图，分析可知，当时，点到的距离最大，此时的面积最大．
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据圆的切线垂直经过切点的半径得∠ABM=90°，由二直线平行，内错角相等得∠CFB=90°，根据垂直定义得AB⊥EC，进而根据垂径定理即可得到结论；
（2）连接BD，由直径所对的圆周角是直角得∠DAC=90°，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠ACE=∠DAB，根据角的构成、三角形外角相等可推出∠DGB=∠DBO，由同弧所对的圆周角相等得∠ACO=∠ABD，则∠ABD=∠BGD，由等角对等边得DG=DB，然后利用SAS判断出△OBD≌△OAC，得到AC=BD，从而等量代换可得结论；
（3）根据旋转可得EC=E'C'，根据等底等高三角形面积相等得到当点F到E'C'的距离最大时，△E'FC'的面积取得最大值，即C'E'∥EC时，F到E'C'的距离最大时，△E'FC'的面积取得最大值，即可得到旋转角度数．
（1）证明：直线与相切于点B，为直径，
，
，
即，
点F是的中点．
（2）如图，连接，
由（1）可知，
为直径，
，
，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：将绕点顺时针旋转得到，
，
面积点F到的距离点到的距离，
当点F到的距离最大时，的面积取得最大值．
如图（2），分析可知，当时，点到的距离最大，此时的面积最大．
，
．
23．【答案】（1）解：如图1，ABCD是矩形，∠ABC=90°
作CE⊥y轴于点E，
∵OA=6，OB=4
∴B(0，4)，A(6，0)
∵∠BEC=∠AOB=90°
∠ECB+∠EBC=90°
∠ECB+∠ABO=90°
∴∠ECB=∠ABO
tan∠ ABO=tan∠ECB=
∴BE：EC=3：2
设CE=2a，BE=3a
C(2a，4+3a)，A(6，0)
G是AB的中点
G(a+3，2+1.5a)
双曲线经过C、G
即
2a(4+3a)=(a+3)(2+1.5a)
解得：，（舍去），
∴C(2，7) ，G(4，3.5)
K=xy=14
∴K=14
（2）解：由（1）得，A(6，0)，B(0，4)，C(2，7)
矩形ABCD，
∴∠CDN=90°
∵CM⊥MN
∴∠CMN=90°
∴∠CDN+CMN=180°
∴C、D、N、M四点共圆，CN是圆Q的直径
又∵CN⊥DM，
∴CN平分DM
∴三角形MCD是等腰三角形，CD=CM
AB=CD=CM=2，CB=
sin∠CMB=
∴∠CMB=30°
CN是圆的直径，∠CMN=90°
∴∠AMN=90°-30°=60°
∵MA⊥DN
∴∠MNA=90°-60°=30°
∵C、D、N、M四点共圆
∠MND+∠DCM=180°
∴∠DCM=180°-30°=150°
∴∠MCN=∠DCM=75°
（3）解：由（1）得，A(6，0)，C(2，7)，G(4，3.5)，
抛物线
顶点，
∴
顶点P是线段AC上一动点，
，
令，则
则，
抛物线与轴交于点K，L，
当时，有最大值4，此时PH=2，
此时
=2
此时的面积为2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；二次函数的最值；垂径定理；四点共圆模型
【解析】【分析】（1）作CE⊥y轴于点E，根据一线三直角模型证∠ECB=∠ABO。解直角三角形得到BE：EC=3：2，设CE=2a，BE=3a，则C(2a，4+3a)，根据中点公式求出G(a+3，2+1.5a).双曲线经过C、G，把C、G坐标代入中建立方程求出a=1，继而求出C(2，7)，K=xy=14，问题得到解决。（2）根据四边形对角互补判断C、D、N、M四点共圆，CN是圆Q的直径。根据垂径定理得到CD=CM
解Rt△CBM，求出∠CMB=30°，CN是圆的直径，∠CMN=90°，得到∠AMN=60°，MA⊥DN，得到∠MNA=30°。C、D、N、M四点共圆对角互补得到∠DCM=150°。而∠MCN=∠DCM=75°
（3）根据二次函数的性质得到顶点，求出二次函数与X轴的交点坐标K(，0)， L(，0）继而求出，结合轴得到，则有，可知当时，取得最大值，再利用三角形的面积公式即可求出此时的面积．
（1）解：如图1，作轴于点，
，，
，，
矩形，
，，
，
轴，
，
，
，
又，
，
，即，
，
设，则，
，
又，，
，
双曲线经过点，，
，
解得：，（舍去），
，，
代入到得，，
的值为14．
（2）解：由（1）得，，，，
，，
矩形，
，，，
，
，
，
四点共圆，记圆心为，且为圆的直径，
又，
平分，
垂直平分，
，，
又，
，
，
，，
，
又，
，
，
在中，，
，
四点共圆，
，
，
的度数为．
（3）解：由（1）得，，，，
抛物线，
顶点，
顶点是线段上一动点，
，
轴，
，
令，则，
则，，
抛物线与轴交于点，，
，
，
当时，有最大值4，此时，
此时
，
此时的面积为2．
1 / 1广东省茂名市龙岭教育共同体2024-2025学年下学期九年级中考模拟质量检测三数学
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2025·茂南模拟）下列各数中，最小的是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
∴这几个数，最小，
故选：A．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．（2025·茂南模拟）自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录.11040000用科学记数法可表示为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 11040000=1.104×107
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
3．（2025·茂南模拟）若是方程的一个解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得，
故答案为：D．
【分析】根据方程解的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”，将x=1代入原方程可得关于字母m的一元一次方程，求解即可得出m的值.
4．（2025·茂南模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，．
解得∶且．
故选：D．
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
5．（2025·茂南模拟）下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．正五边形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：等边三角形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故A错误；
B：平行四边形为中心对称图形，但不为轴对称图形，故B正确；
C：菱形及为中心对称图形也为轴对称图形，故C错误；
D：正五边形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故D错误；
故答案为：B．
【分析】轴对称是把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线称对，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。
中心对称是一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这个点对称，也称这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心。根据中心对称图形与轴对称图形的特点逐一判断即可．
6．（2025·茂南模拟）如图，在中，，，是的外角，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】解：在中，可得：
又
可化为：
即：
解得：
故答案为：C．
【分析】由已知可得∠C=∠B=∠BAC-15°，从而根据三角形的内角和定理建立方程可求出∠BAC=70°，最后根据邻补角可求出∠DAC的度数.
7．（2025·茂南模拟）在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设表示华山、表示华阳古镇、表示太白山，列表如下：
共有9种情况，他们两家去同一景点旅游共有3中情况，
∴；
故答案为：B.
【分析】设A表示华山、B表示华阳古镇、C表示太白山，列出表格，找出总情况数以及他们两家去同一景点旅游的情况数，然后根据概率公式进行计算.
8．（2025·茂南模拟）定义：．已知，，则（　　）
A． B．8 C． D．32
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
故选：B
【分析】
先利用新定义和分式减法得到，再对所求式子进行因式分解并整体代入计算即可．
9．（2025·茂南模拟）如图，在菱形中，，对角线交于点O，E为的中点，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，
∴，，O为的中点，
∵E为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由菱形的每一条对角线平分一组对角求得，由菱形的对角线互相垂直得，由菱形的对角线互相平分得点O是BD的中点，根据三角形中位线平行于第三边得到，由二直线平行，同位角相等求得，最后根据∠AOE=∠AOD+∠DOE列式计算即可.
10．（2025·茂南模拟）如图，的半径为，以圆外一点为圆心，画半径为的弧，将截成弧长相等的两部分，则两点的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵将截成弧长相等的两部分，
∴CD为直径，
∴AC=AD=4，BC=BD=
∴AB垂直平分CD，
∴，∠ABC=∠ABD=90°
∴，
故答案为：．
【分析】由将截成弧长相等的两部分得为直径，根据题意可得，，则垂直平分，然后根据勾股定理即可求解．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·茂南模拟）计算：　 　．
【答案】9
【知识点】有理数的除法法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：9.
【分析】根据两数相除，同号得正，并把绝对值相除，进行计算即可.
12．（2025·茂南模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取各项的公因式2a，再运用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
13．（2025·茂南模拟）分式方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
等号两边乘以（x-2)x得：，
解得：，
经检验是原方程的解；
故答案为：．
【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
14．（2025·茂南模拟）如图，为的直径．平分，与交于点，．若，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵平分，，
∴∠DBC=30°，
在Rt△CEB中，tan30°==，
∵BC=2，
∴EC=，
∴=.
故答案为： ．
【分析】
先利用圆周角定理的推论，求得∠ACB=90°，然后利用角平分线的意义求得∠DBC=30°，接着利用含有30度角的直角三角形的性质求得EC，再求出的面积．
15．（2025·茂南模拟）如图，半圆的直径长为8，点C，D是半圆的三等分点，连接，，过点C作，垂足为E，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，连接，过D点作于F，
∵ 点C，D是半圆的三等分点，
∴，且每段弧所对的圆周角是，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积
∵，
∴是等边三角形，
∵半圆的直径长为8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积；
故答案为： ．
【分析】 连接OD，过D点作DF⊥OB于F， 由圆心角、弧、弦的关系可得BD=AC，∠CAB=∠BOD=60°，从而用AAS判断出△ACE≌△BDF，由全等三角形面积相等得S△ACE=S△BDF，从而可推出S阴影=；由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△BOD是等边三角形，由等边三角形的三线合一得OF=BF=2，再利用勾股定理算出DF，最后根据扇形及三角形面积计算公式列式计算即可.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025·茂南模拟）计算：．
【答案】解：

【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据乘方、算术平方根、特殊角的三角函数、零指数幂、绝对值进行计算即可．
17．（2025·茂南模拟）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
解：原式 ……
解：原式 ……
（1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②，③
（2）解：甲同学的解法：
原式
；
乙同学的解法：
原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【(解答】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
【分析】（1）根据所给的解题过程可得甲是先通分计算括号内异分母分式的加法，乙是用括号外的因式与括号内的每一个加数相乘，据此可得答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质，通分计算括号内异分母分式的加法，同时利用平方差公式将括号外因式的分子分解因式，进而计算分式乘法，约分化简即可；乙同学的解法：根据乘法分配律用括号外的因式与括号内的每一个加数相乘，再把所得的积相加，进而利用平方差公式将每一个加数中的第二个因式分解因式，进而计算分式乘法，约分化简，最后合并同类项即可．
18．（2025·茂南模拟）如图：在平行四边形中，点F在上，且．
（1）用直尺和圆规作的平分线交于点E（尺规作图的痕迹保留在图中），
（2）求证：四边形为菱形．
【答案】（1）解：如图所示：AE就是所求的∠BAD的角平分线；
（2）证明：由尺规作的角平分线的过程可得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边相等及已知可得AB=CD=AF，以点A为圆心，AF为半径，画弧，分别与AD、AB交于点F和B，再以点F和B为圆心，大于FB为半径画弧，两弧在∠BAD内交于一点过这点及点A作射线，交BC于点E，则AE就是所求的∠BAD的角平分线；
（2）由平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AB=CD，由二直线平行，内错角相等得∠FAE=∠AEB，结合角平分线的定义可推出∠BAE=∠AEB，由等角对等边得AB=BE，则BE=AF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABEF是平行四边形，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论.
（1）解：如图所示：
（2）证明：由尺规作的角平分线的过程可得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·茂南模拟）高州荔枝以品种多、品质优、口感佳和历史悠久而驰名中外．在销售挂绿荔枝过程中，每千克售价不低于40元且不高于80元，商家发现销售量y（千克）与每千克售价（元）之间的函数关系如图所示．
（1）求关于的函数关系式．
（2）设该商家挂绿荔枝的销售额为（元），当每千克售价定为多少元时，销售额最大？最大销售额是多少？
【答案】（1）解：由题图可设，
且该函数图象经过点，
，
解得
关于的函数关系式为；
（2）解：由题意得，
，
当时，w有最大值，最大值为3920．
答：当每千克售价定为56元时，销售额最大，最大销售额为3920元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由图象可得销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间存在一次函数关系，从而设所求函数解析式为y=kx+b(k、b为常量，且k≠0)，然后将点（40，90）与点（80，40）分别代入，可得关于字母k、b的二元一次方程组，解该方程组求出k、b的值，即可得到所求的函数解析式；
（2）销售额等于销售量乘以售价，据此即可列出销售额关于售价的函数关系式，进而根据所得二次函数性质即可解答．
（1）解：由题图可设，
且该函数图象经过点，
，
解得
关于的函数关系式为；
（2）解：由题意得，
，
当时，w有最大值，最大值为3920．
答：当每千克售价定为56元时，销售额最大，最大销售额为3920元．
20．（2025·茂南模拟）某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用x表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息：
八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年级被抽取的学生得分统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级
九年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高 请说明理由 (写出一条理由即可)；
（3）该校八年级有1500名学生，九年级有1600名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有多少名
【答案】（1）82，78，20
（2）八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
（3）（名）
【知识点】扇形统计图；常用统计量的选择；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）解：将8年级抽取学生的得分从低到高排列，则第5个和第6个分数的平均数则为中位数，
八年级“了解”的数据：82，82，82，89；八年级“不了解”的数据有；
八年级“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82，78，20；
【分析】
（1）由题可推得八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值；
（2）从中位数或众数的角度出发回答即可；
（3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可.
（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89；
而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有；
八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有；
∴第5个，第6个数据分别是：82，82，
所以中位数，
九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，
，
∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有，
∴，
∴；
故答案为：82，78，20；
（2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）：
①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79；
②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78．
（3）解：（名）．
答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名．
21．（2025·茂南模拟）综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒
如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接．
（1）求证：．
（2）如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）．
①该纸盒的高为x，用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围．
②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，△ABE是等边三角形
∴AD=BC，AE=BE，∠EAB=∠EBA=60°
∠DAE=90°-∠EAB=30°
∠CBE=90°-∠EBA=30°
∴△DAE≌△CBE（SAS）
∴DE=CE
（2）解：①如图所示，△ABE是正三角形，AB=12， 作AB边上的高EN，作BE边上的高AM，纸盒的高是OG，纸盒的底面边长是OL
∵∠OAG=30°，设OG=x，
∴AG=BK=
AB=AG+OL+BK=OL+2x
∴OL=12-2x
12＞OL＞0，即12-2x＞0
求出0＜x＜2
∴纸盒底面边长为：12-2x （0＜x＜2）；
②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y，
则
当时，y取得最大值
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题主要考查正方形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，（1）根据正方形，等边三角形的性质证明△DAE≌△CBE（SAS），即可求证DE=CE；
（2）
①△ABE是正三角形，AB=12， 作AB边上的高EN，作BE边上的高AM，纸盒的高是OG，纸盒的底面边长是OL，设OG=x，解Rt△AOG，求出 AG=KB=.而AB=AG+OL+BK=OL+2x=12.即可求出OL=12-2x， 0＜12-2x＜12.可求出x的取值范围。
② 该纸盒的侧面积 是三个长为(12-2x)，宽为x的矩形。二次函数当a＜0，x=h时最大值是K.利用二次函数最值的方法求出最大值。
（1）证明：∵四边形为正方形
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：①如图所示，作的角平分线交于点，作的角平分线交于点，两角平分线交于点，则，
∴，则，
∴，
同理，，
∴，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴纸盒底面边长为：；
②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y，
则，
当时，y取得最大值．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025·茂南模拟）如图（1），在中，是直径，为弦，，相交于点，直线与相切于点B，且．
（1）求证：点是的中点．
（2）如图（2），是的直径，连接，，线段上存在一点，满足，求证：．
（3）如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接，当的面积最大时，求的大小．
【答案】（1）证明：直线与相切于点B，为直径，
，
，
即，
点F是的中点；
（2）证明：如图，连接，
由（1）可知，
为直径，
，
，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：将绕点顺时针旋转得到，
，
面积点F到的距离点到的距离，
当点F到的距离最大时，的面积取得最大值．
如图，分析可知，当时，点到的距离最大，此时的面积最大．
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据圆的切线垂直经过切点的半径得∠ABM=90°，由二直线平行，内错角相等得∠CFB=90°，根据垂直定义得AB⊥EC，进而根据垂径定理即可得到结论；
（2）连接BD，由直径所对的圆周角是直角得∠DAC=90°，由直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠ACE=∠DAB，根据角的构成、三角形外角相等可推出∠DGB=∠DBO，由同弧所对的圆周角相等得∠ACO=∠ABD，则∠ABD=∠BGD，由等角对等边得DG=DB，然后利用SAS判断出△OBD≌△OAC，得到AC=BD，从而等量代换可得结论；
（3）根据旋转可得EC=E'C'，根据等底等高三角形面积相等得到当点F到E'C'的距离最大时，△E'FC'的面积取得最大值，即C'E'∥EC时，F到E'C'的距离最大时，△E'FC'的面积取得最大值，即可得到旋转角度数．
（1）证明：直线与相切于点B，为直径，
，
，
即，
点F是的中点．
（2）如图，连接，
由（1）可知，
为直径，
，
，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：将绕点顺时针旋转得到，
，
面积点F到的距离点到的距离，
当点F到的距离最大时，的面积取得最大值．
如图（2），分析可知，当时，点到的距离最大，此时的面积最大．
，
．
23．（2025·茂南模拟）如图1，矩形的两个顶点，分别落在，轴上，顶点，位于第一象限，对角线，交于点，，，若双曲线经过点，．
（1）求的值；
（2）点，分别在射线、射线上，满足，，求的度数；
（3）如图2，若抛物线的顶点是线段上一动点，与轴交于点，，过点作轴于点，当取得最大值时，求此时的面积．
【答案】（1）解：如图1，ABCD是矩形，∠ABC=90°
作CE⊥y轴于点E，
∵OA=6，OB=4
∴B(0，4)，A(6，0)
∵∠BEC=∠AOB=90°
∠ECB+∠EBC=90°
∠ECB+∠ABO=90°
∴∠ECB=∠ABO
tan∠ ABO=tan∠ECB=
∴BE：EC=3：2
设CE=2a，BE=3a
C(2a，4+3a)，A(6，0)
G是AB的中点
G(a+3，2+1.5a)
双曲线经过C、G
即
2a(4+3a)=(a+3)(2+1.5a)
解得：，（舍去），
∴C(2，7) ，G(4，3.5)
K=xy=14
∴K=14
（2）解：由（1）得，A(6，0)，B(0，4)，C(2，7)
矩形ABCD，
∴∠CDN=90°
∵CM⊥MN
∴∠CMN=90°
∴∠CDN+CMN=180°
∴C、D、N、M四点共圆，CN是圆Q的直径
又∵CN⊥DM，
∴CN平分DM
∴三角形MCD是等腰三角形，CD=CM
AB=CD=CM=2，CB=
sin∠CMB=
∴∠CMB=30°
CN是圆的直径，∠CMN=90°
∴∠AMN=90°-30°=60°
∵MA⊥DN
∴∠MNA=90°-60°=30°
∵C、D、N、M四点共圆
∠MND+∠DCM=180°
∴∠DCM=180°-30°=150°
∴∠MCN=∠DCM=75°
（3）解：由（1）得，A(6，0)，C(2，7)，G(4，3.5)，
抛物线
顶点，
∴
顶点P是线段AC上一动点，
，
令，则
则，
抛物线与轴交于点K，L，
当时，有最大值4，此时PH=2，
此时
=2
此时的面积为2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；二次函数的最值；垂径定理；四点共圆模型
【解析】【分析】（1）作CE⊥y轴于点E，根据一线三直角模型证∠ECB=∠ABO。解直角三角形得到BE：EC=3：2，设CE=2a，BE=3a，则C(2a，4+3a)，根据中点公式求出G(a+3，2+1.5a).双曲线经过C、G，把C、G坐标代入中建立方程求出a=1，继而求出C(2，7)，K=xy=14，问题得到解决。（2）根据四边形对角互补判断C、D、N、M四点共圆，CN是圆Q的直径。根据垂径定理得到CD=CM
解Rt△CBM，求出∠CMB=30°，CN是圆的直径，∠CMN=90°，得到∠AMN=60°，MA⊥DN，得到∠MNA=30°。C、D、N、M四点共圆对角互补得到∠DCM=150°。而∠MCN=∠DCM=75°
（3）根据二次函数的性质得到顶点，求出二次函数与X轴的交点坐标K(，0)， L(，0）继而求出，结合轴得到，则有，可知当时，取得最大值，再利用三角形的面积公式即可求出此时的面积．
（1）解：如图1，作轴于点，
，，
，，
矩形，
，，
，
轴，
，
，
，
又，
，
，即，
，
设，则，
，
又，，
，
双曲线经过点，，
，
解得：，（舍去），
，，
代入到得，，
的值为14．
（2）解：由（1）得，，，，
，，
矩形，
，，，
，
，
，
四点共圆，记圆心为，且为圆的直径，
又，
平分，
垂直平分，
，，
又，
，
，
，，
，
又，
，
，
在中，，
，
四点共圆，
，
，
的度数为．
（3）解：由（1）得，，，，
抛物线，
顶点，
顶点是线段上一动点，
，
轴，
，
令，则，
则，，
抛物线与轴交于点，，
，
，
当时，有最大值4，此时，
此时
，
此时的面积为2．
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