资源简介

广东省湛江市雷州市第四中学教育集团2025年中考三模联考数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·雷州模拟）的相反数是（　　）
A． B． C．2 D．
2．（2025·雷州模拟）下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．正五边形
3．（2025·雷州模拟）抗日战争时期，我国“四万万同胞”同仇敌忾，经过十四年艰苦卓绝的抗战，终于取得了最后的胜利．数据“四万万”即用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·雷州模拟）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），EF为后下叉，已知，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·雷州模拟）如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·雷州模拟）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　）
A．x B． C． D．
7．（2025·雷州模拟）甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5.下列说法中不一定正确的是（　　）
A．甲、乙的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙成绩的众数相同
8．（2025·雷州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·雷州模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
10．（2025·雷州模拟）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，那么表示9班学生的识别图案是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．（2025·雷州模拟）将抛物线向上平移2个单位长度得到的抛物线表达式为　 　．
12．（2025·雷州模拟）引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知 ，则 　 　.
13．（2025·雷州模拟）若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为　 　．
14．（2025·雷州模拟）若式子有意义，则实数x的取值范围是　 　
15．（2025·雷州模拟）如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025·雷州模拟）计算：．
17．（2025·雷州模拟）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·雷州模拟）如图，中，．
（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分．）
19．（2025·雷州模拟）某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 ，话题D所在扇形的圆心角是 度；
（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A.5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率．
20．（2025·雷州模拟）某职业学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
21．（2025·雷州模拟）综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒
如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接．
（1）求证：．
（2）如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）．
①该纸盒的高为x，用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围．
②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．）
22．（2025·雷州模拟）如图1，是的外接圆，是直径，弦与交于点，与交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求劣弧的长；
（3）如图2，，于点，交于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好在线段上，求证：．
23．（2025·雷州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2．
故选：C．
【分析】
只有符号不同的两个数互为相反数．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：等边三角形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故A错误；
B：平行四边形为中心对称图形，但不为轴对称图形，故B正确；
C：菱形及为中心对称图形也为轴对称图形，故C错误；
D：正五边形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故D错误；
故答案为：B．
【分析】轴对称是把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线称对，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。
中心对称是一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这个点对称，也称这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心。根据中心对称图形与轴对称图形的特点逐一判断即可．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得
．
故选：C.
【分析】学记数法的表示方法是将一个数较大的数表示为的形式，（其中，位数少1），根据科学记数法的形式来求解．
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
，
，
∵，
，
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如下图所示，连接BC，
∵⊙A过原点O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3，
∴根据勾股定理可得：，
又∵同弧所对圆周角相等，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，
∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=，
故答案为：A．
【分析】连接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的长度，根据同弧所对圆周角相等可得sin∠CDO=sin∠OBC，然后根据sin∠CDO=sin∠OBC=计算即可求解．
6．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：分式方程的最简公分母是，
方程两边都乘同一个整式去分母是，
故答案为：C．
【分析】根据解分式方程的去分母，找出最简公分母，结合题意即可求解.
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲射击成绩的方差是 1.1，乙射击成绩的方差是 1.5，且平均数都是8环，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲射击成绩比乙稳定，乙射击成绩的波动比甲较大，
∵甲、乙射靶 10 次，
∴甲、乙射中的总环数相同，
故A、B、C选项都正确，
但甲、乙射击成绩的众数不一定相同.
故D错误；
故答案为：D.
【分析】在数据的总个数及平均数一样的情况下，方差越大，数据的波动就越大，成绩越不稳定， 而众数就是一组数据中出现次数最多的数据，据此即可一一判断得出答案.
8．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D
【分析】根据同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或，
故答案为：A．
【分析】借助图象得到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量x的取值范围即可解题．
10．【答案】C
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题知，
，即A选项的识别图案表示6班学生．
故A选项不符合题意．
，即B选项的识别图案表示10班学生．
故B选项不符合题意．
，即C选项的识别图案表示9班学生．
故C选项符合题意．
，即D选项的识别图案表示7班学生．
故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据题意逐项列式计算即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线的表达式为．故答案为：．
【分析】掌握平移的规律“左加右减，上加下减”．根据平移规律即可求出新抛物线的解析式。
12．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：2.
【分析】首先利用平方差公式将待求式子展开，再将i2=-1代入计算，可求出结果.
13．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：该圆锥的侧面积为．
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求出答案.
14．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴x+1≥0，x-2≠0，
∴x≥-1且x≠2，
故答案为：且
【分析】根据二次根式有意义的调节结合分式有意义的条件得到x+1≥0，x-2≠0，进而化简即可求解.
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作于H，则，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，
在中，由勾股定理得，，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】作于H，则，根据圆周角定理可得， 再根据角之间的关系可得， 根据全等三角形判定定理可得， 则， 设，， 根据勾股定理建立方程，解方程可得， 再根据，结合圆，三角形面积即可求出答案.
16．【答案】解：
＝1+4-+2×
＝1+4-+1+
＝6．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算0指数、负指数、绝对值、特殊角的三角函数值，再去括号。算乘法，最后依次计算即可求解
17．【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算化简，再将x=3代入即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）证明：如图，
∵由作图可得：，由旋转可得：，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
【知识点】矩形的判定；旋转的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）作出线段的垂直平分线EF，交于点O，连接，则线段即为所求；
（2）先证明四边形为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论．
（1）解：如图，线段即为所求；
（2）证明：如图，
∵由作图可得：，由旋转可得：，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
19．【答案】（1）200，25，36
（2）解：由图可知：
选中C的学生为：（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）解：设两个小组选择A、B话题发言的事件为A
画树状图如下：
共有6个等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，而事件A的结果有2个，
∴P(A)=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：调查的学生共有：（人），
选择D的人数百分率为：
，
a=25
故答案为：200，25，36；
【分析】（1）先根据总数=频数÷百分率，计算出总数，求出D的百分率和圆心角，最后求a
(2)根据C组的百分率，先求出C组的人数，补全条形图即可
（3）设设两个小组选择A、B话题发言的事件为A，画出树状图，列出所有结果，根据概率公式计算即可.
20．【答案】（1）解：设A型机器人模型单价是元，则B型机器人模型单价是元．
根据题意，得，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．．
答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元．
（2）解：设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
，即，
，随的增大而增大．
当时，，此时．
答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型机器人模型单价是元，则B型机器人模型单价是元，根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同，建立方程，解方程接口求出答案
（2）设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元，列不等式求解的范围，再求出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，△ABE是等边三角形
∴AD=BC，AE=BE，∠EAB=∠EBA=60°
∠DAE=90°-∠EAB=30°
∠CBE=90°-∠EBA=30°
∴△DAE≌△CBE（SAS）
∴DE=CE
（2）解：①如图所示，△ABE是正三角形，AB=12， 作AB边上的高EN，作BE边上的高AM，纸盒的高是OG，纸盒的底面边长是OL
∵∠OAG=30°，设OG=x，
∴AG=BK=
AB=AG+OL+BK=OL+2x
∴OL=12-2x
12＞OL＞0，即12-2x＞0
求出0＜x＜2
∴纸盒底面边长为：12-2x （0＜x＜2）；
②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y，
则
当时，y取得最大值
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题主要考查正方形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，（1）根据正方形，等边三角形的性质证明△DAE≌△CBE（SAS），即可求证DE=CE；
（2）
①△ABE是正三角形，AB=12， 作AB边上的高EN，作BE边上的高AM，纸盒的高是OG，纸盒的底面边长是OL，设OG=x，解Rt△AOG，求出 AG=KB=.而AB=AG+OL+BK=OL+2x=12.即可求出OL=12-2x， 0＜12-2x＜12.可求出x的取值范围。
② 该纸盒的侧面积 是三个长为(12-2x)，宽为x的矩形。二次函数当a＜0，x=h时最大值是K.利用二次函数最值的方法求出最大值。
（1）证明：∵四边形为正方形
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：①如图所示，作的角平分线交于点，作的角平分线交于点，两角平分线交于点，则，
∴，则，
∴，
同理，，
∴，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴纸盒底面边长为：；
②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y，
则，
当时，y取得最大值．
22．【答案】（1）证明：∵ AC是的直径；
∴∠APC=∠OPC+∠APO=90°，
∵OA=OP
∴∠OAP=∠OPA
∠CPH=∠CAP
∴∠OPA=∠CPH，
∴∠OPH=∠OPC+∠CPH=90°
OP是圆的半径
∴PH是的切线
（2）解：∵BE=1，CE=2∴BC=2+1=3，
∵OP⊥BC，
∴CQ==，
在△PCE和△QCP中
∠BCP=∠BCP
∠APC=∠CQB
∴△PCE∽△QCP
∴，
∴∠QCP=30°，
∠QPC=60°
∴△是等边三角形，
∠OPC=60°
OC=CP=
∠CAP=30°
∴劣弧PC的长为
劣弧PC的长为
（3）解：过点F、G作BC的垂线，垂足分别为M、N，
由旋转的性质知∠FEG=90° EF=EG，
∵∠FEM+∠GEN=90°
∠NGE+∠GEN=90°
∴∠FEM=∠NGE
∠FME=∠GNE=90°
∴△FEM≌△EGN，
GN=EM，EN=FM
∵AC是的直径，
∴∠ABC=90°
BD垂直AC，∠ADB=90°
∠ABD=∠ACB
AB∥FM
∠ABD=∠BFM
tan∠ACB=
即NC=2GN
∴NC=2EM
tan∠BFM=
即FM=2BM
∴EN=2BM
∴CE=EN+NC=2BM+2EM=2(BM+EM)=2BE
∴CE=2BE
【知识点】切线的判定；弧长的计算；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得∠APC=∠OPC+∠APO=90°，再证明∠OPH=∠OPC+∠CPH=90°，且OP是半径，即可证明PH是的切线；（2）利用垂径定理求得CQ==，利用AA证明△PCE∽△QCP，求得CP，利用特殊角的三角函数值求得∠QCP=30°，推出△OPC是等边三角形，求出∠CAP=30°，圆的半径是.再根据求弧长的公式求出劣弧PC的长度。
(3)过点F、G作BC的垂线，垂足分别为M、N，根据一线三直角证明△FEM≌△EGN，得.CN=EM，EN=FM由于AD⊥AC，AB⊥BC，PM⊥BC、CN⊥BC，得到∠ACB=∠ABD=∠BFM，可知tan∠BFM=，得到FM=2BM=EN，tan∠ACB=，得NC=2GN=2EM，而CE=EN+NC，BE=BM+EM，代入化简得到CE=2BE.
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴劣弧的长为；
（3）解：过点、作的垂线，垂足分别为、，
由旋转的性质知，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
23．【答案】解：（1）∵直线与轴、轴分别交于，两点，
∴当时，，所以，
当时，，所以，
∵抛物线经过，两点，
∴，，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）令，
∴，
解得：，，
∴，
∴直线BC的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴当M运动到 时，线段MN的长度最大为．
（3）①；
②连接，，
由①可得，又已知是等腰直角三角形，
，，
∴，
∴，
∴当点在⊙B上运动时，点在以为圆心，半径为的圆上，
∴作射线，与⊙交于，两点，
情况一：当交点为时，为最小值，
即，
已知，，，
∴，，
∴在中， ，
即，
∴；
情况二：当交点为时，为最大值，
即，
已知，，，
∴，，
∴在中， ，
即，
∴；
综上．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；圆与函数的综合；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（3）①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，再根据待定系数法将点A，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的纵坐标特征可得，求出直线BC的解析式为：，设，则，根据l两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，根据旋转性质即可求出答案.
②根据全等三角形判定定理可得，则，即当点在⊙B上运动时，点在以为圆心，半径为的圆上，作射线，与⊙交于，两点，分情况讨论：当交点为时，为最小值，即，根据边之间的关系可得AF，再根据勾股定理即可求出答案；当交点为时，为最大值，已知，，，根据边之间的关系可得AF，再根据勾股定理即可求出答案；
1 / 1广东省湛江市雷州市第四中学教育集团2025年中考三模联考数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·雷州模拟）的相反数是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2．
故选：C．
【分析】
只有符号不同的两个数互为相反数．
2．（2025·雷州模拟）下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．正五边形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：等边三角形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故A错误；
B：平行四边形为中心对称图形，但不为轴对称图形，故B正确；
C：菱形及为中心对称图形也为轴对称图形，故C错误；
D：正五边形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故D错误；
故答案为：B．
【分析】轴对称是把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线称对，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。
中心对称是一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这个点对称，也称这两个图形中心对称，这个点叫做对称中心。根据中心对称图形与轴对称图形的特点逐一判断即可．
3．（2025·雷州模拟）抗日战争时期，我国“四万万同胞”同仇敌忾，经过十四年艰苦卓绝的抗战，终于取得了最后的胜利．数据“四万万”即用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意得
．
故选：C.
【分析】学记数法的表示方法是将一个数较大的数表示为的形式，（其中，位数少1），根据科学记数法的形式来求解．
4．（2025·雷州模拟）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），EF为后下叉，已知，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
，
，
∵，
，
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．（2025·雷州模拟）如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如下图所示，连接BC，
∵⊙A过原点O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3，
∴根据勾股定理可得：，
又∵同弧所对圆周角相等，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，
∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=，
故答案为：A．
【分析】连接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的长度，根据同弧所对圆周角相等可得sin∠CDO=sin∠OBC，然后根据sin∠CDO=sin∠OBC=计算即可求解．
6．（2025·雷州模拟）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（　　）
A．x B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：分式方程的最简公分母是，
方程两边都乘同一个整式去分母是，
故答案为：C．
【分析】根据解分式方程的去分母，找出最简公分母，结合题意即可求解.
7．（2025·雷州模拟）甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5.下列说法中不一定正确的是（　　）
A．甲、乙的总环数相同 B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．乙的成绩比甲的成绩波动大 D．甲、乙成绩的众数相同
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲射击成绩的方差是 1.1，乙射击成绩的方差是 1.5，且平均数都是8环，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲射击成绩比乙稳定，乙射击成绩的波动比甲较大，
∵甲、乙射靶 10 次，
∴甲、乙射中的总环数相同，
故A、B、C选项都正确，
但甲、乙射击成绩的众数不一定相同.
故D错误；
故答案为：D.
【分析】在数据的总个数及平均数一样的情况下，方差越大，数据的波动就越大，成绩越不稳定， 而众数就是一组数据中出现次数最多的数据，据此即可一一判断得出答案.
8．（2025·雷州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D
【分析】根据同底数幂相乘，积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式逐项进行判断即可求出答案.
9．（2025·雷州模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或，
故答案为：A．
【分析】借助图象得到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量x的取值范围即可解题．
10．（2025·雷州模拟）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生，那么表示9班学生的识别图案是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题知，
，即A选项的识别图案表示6班学生．
故A选项不符合题意．
，即B选项的识别图案表示10班学生．
故B选项不符合题意．
，即C选项的识别图案表示9班学生．
故C选项符合题意．
，即D选项的识别图案表示7班学生．
故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据题意逐项列式计算即可求出答案.
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．（2025·雷州模拟）将抛物线向上平移2个单位长度得到的抛物线表达式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线的表达式为．故答案为：．
【分析】掌握平移的规律“左加右减，上加下减”．根据平移规律即可求出新抛物线的解析式。
12．（2025·雷州模拟）引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知 ，则 　 　.
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：2.
【分析】首先利用平方差公式将待求式子展开，再将i2=-1代入计算，可求出结果.
13．（2025·雷州模拟）若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：该圆锥的侧面积为．
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求出答案.
14．（2025·雷州模拟）若式子有意义，则实数x的取值范围是　 　
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴x+1≥0，x-2≠0，
∴x≥-1且x≠2，
故答案为：且
【分析】根据二次根式有意义的调节结合分式有意义的条件得到x+1≥0，x-2≠0，进而化简即可求解.
15．（2025·雷州模拟）如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，作于H，则，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，
在中，由勾股定理得，，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】作于H，则，根据圆周角定理可得， 再根据角之间的关系可得， 根据全等三角形判定定理可得， 则， 设，， 根据勾股定理建立方程，解方程可得， 再根据，结合圆，三角形面积即可求出答案.
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025·雷州模拟）计算：．
【答案】解：
＝1+4-+2×
＝1+4-+1+
＝6．
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算0指数、负指数、绝对值、特殊角的三角函数值，再去括号。算乘法，最后依次计算即可求解
17．（2025·雷州模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算化简，再将x=3代入即可求出答案.
18．（2025·雷州模拟）如图，中，．
（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
【答案】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）证明：如图，
∵由作图可得：，由旋转可得：，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
【知识点】矩形的判定；旋转的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）作出线段的垂直平分线EF，交于点O，连接，则线段即为所求；
（2）先证明四边形为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论．
（1）解：如图，线段即为所求；
（2）证明：如图，
∵由作图可得：，由旋转可得：，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分．）
19．（2025·雷州模拟）某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 ，话题D所在扇形的圆心角是 度；
（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A.5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率．
【答案】（1）200，25，36
（2）解：由图可知：
选中C的学生为：（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）解：设两个小组选择A、B话题发言的事件为A
画树状图如下：
共有6个等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，而事件A的结果有2个，
∴P(A)=．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：调查的学生共有：（人），
选择D的人数百分率为：
，
a=25
故答案为：200，25，36；
【分析】（1）先根据总数=频数÷百分率，计算出总数，求出D的百分率和圆心角，最后求a
(2)根据C组的百分率，先求出C组的人数，补全条形图即可
（3）设设两个小组选择A、B话题发言的事件为A，画出树状图，列出所有结果，根据概率公式计算即可.
20．（2025·雷州模拟）某职业学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】（1）解：设A型机器人模型单价是元，则B型机器人模型单价是元．
根据题意，得，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．．
答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元．
（2）解：设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
，即，
，随的增大而增大．
当时，，此时．
答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型机器人模型单价是元，则B型机器人模型单价是元，根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同，建立方程，解方程接口求出答案
（2）设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元，列不等式求解的范围，再求出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
21．（2025·雷州模拟）综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒
如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接．
（1）求证：．
（2）如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）．
①该纸盒的高为x，用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围．
②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，△ABE是等边三角形
∴AD=BC，AE=BE，∠EAB=∠EBA=60°
∠DAE=90°-∠EAB=30°
∠CBE=90°-∠EBA=30°
∴△DAE≌△CBE（SAS）
∴DE=CE
（2）解：①如图所示，△ABE是正三角形，AB=12， 作AB边上的高EN，作BE边上的高AM，纸盒的高是OG，纸盒的底面边长是OL
∵∠OAG=30°，设OG=x，
∴AG=BK=
AB=AG+OL+BK=OL+2x
∴OL=12-2x
12＞OL＞0，即12-2x＞0
求出0＜x＜2
∴纸盒底面边长为：12-2x （0＜x＜2）；
②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y，
则
当时，y取得最大值
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题主要考查正方形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，（1）根据正方形，等边三角形的性质证明△DAE≌△CBE（SAS），即可求证DE=CE；
（2）
①△ABE是正三角形，AB=12， 作AB边上的高EN，作BE边上的高AM，纸盒的高是OG，纸盒的底面边长是OL，设OG=x，解Rt△AOG，求出 AG=KB=.而AB=AG+OL+BK=OL+2x=12.即可求出OL=12-2x， 0＜12-2x＜12.可求出x的取值范围。
② 该纸盒的侧面积 是三个长为(12-2x)，宽为x的矩形。二次函数当a＜0，x=h时最大值是K.利用二次函数最值的方法求出最大值。
（1）证明：∵四边形为正方形
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：①如图所示，作的角平分线交于点，作的角平分线交于点，两角平分线交于点，则，
∴，则，
∴，
同理，，
∴，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴纸盒底面边长为：；
②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y，
则，
当时，y取得最大值．
五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分．）
22．（2025·雷州模拟）如图1，是的外接圆，是直径，弦与交于点，与交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求劣弧的长；
（3）如图2，，于点，交于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好在线段上，求证：．
【答案】（1）证明：∵ AC是的直径；
∴∠APC=∠OPC+∠APO=90°，
∵OA=OP
∴∠OAP=∠OPA
∠CPH=∠CAP
∴∠OPA=∠CPH，
∴∠OPH=∠OPC+∠CPH=90°
OP是圆的半径
∴PH是的切线
（2）解：∵BE=1，CE=2∴BC=2+1=3，
∵OP⊥BC，
∴CQ==，
在△PCE和△QCP中
∠BCP=∠BCP
∠APC=∠CQB
∴△PCE∽△QCP
∴，
∴∠QCP=30°，
∠QPC=60°
∴△是等边三角形，
∠OPC=60°
OC=CP=
∠CAP=30°
∴劣弧PC的长为
劣弧PC的长为
（3）解：过点F、G作BC的垂线，垂足分别为M、N，
由旋转的性质知∠FEG=90° EF=EG，
∵∠FEM+∠GEN=90°
∠NGE+∠GEN=90°
∴∠FEM=∠NGE
∠FME=∠GNE=90°
∴△FEM≌△EGN，
GN=EM，EN=FM
∵AC是的直径，
∴∠ABC=90°
BD垂直AC，∠ADB=90°
∠ABD=∠ACB
AB∥FM
∠ABD=∠BFM
tan∠ACB=
即NC=2GN
∴NC=2EM
tan∠BFM=
即FM=2BM
∴EN=2BM
∴CE=EN+NC=2BM+2EM=2(BM+EM)=2BE
∴CE=2BE
【知识点】切线的判定；弧长的计算；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求得∠APC=∠OPC+∠APO=90°，再证明∠OPH=∠OPC+∠CPH=90°，且OP是半径，即可证明PH是的切线；（2）利用垂径定理求得CQ==，利用AA证明△PCE∽△QCP，求得CP，利用特殊角的三角函数值求得∠QCP=30°，推出△OPC是等边三角形，求出∠CAP=30°，圆的半径是.再根据求弧长的公式求出劣弧PC的长度。
(3)过点F、G作BC的垂线，垂足分别为M、N，根据一线三直角证明△FEM≌△EGN，得.CN=EM，EN=FM由于AD⊥AC，AB⊥BC，PM⊥BC、CN⊥BC，得到∠ACB=∠ABD=∠BFM，可知tan∠BFM=，得到FM=2BM=EN，tan∠ACB=，得NC=2GN=2EM，而CE=EN+NC，BE=BM+EM，代入化简得到CE=2BE.
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴劣弧的长为；
（3）解：过点、作的垂线，垂足分别为、，
由旋转的性质知，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
23．（2025·雷州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．
【答案】解：（1）∵直线与轴、轴分别交于，两点，
∴当时，，所以，
当时，，所以，
∵抛物线经过，两点，
∴，，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）令，
∴，
解得：，，
∴，
∴直线BC的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴当M运动到 时，线段MN的长度最大为．
（3）①；
②连接，，
由①可得，又已知是等腰直角三角形，
，，
∴，
∴，
∴当点在⊙B上运动时，点在以为圆心，半径为的圆上，
∴作射线，与⊙交于，两点，
情况一：当交点为时，为最小值，
即，
已知，，，
∴，，
∴在中， ，
即，
∴；
情况二：当交点为时，为最大值，
即，
已知，，，
∴，，
∴在中， ，
即，
∴；
综上．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；圆与函数的综合；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（3）①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，再根据待定系数法将点A，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的纵坐标特征可得，求出直线BC的解析式为：，设，则，根据l两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，根据旋转性质即可求出答案.
②根据全等三角形判定定理可得，则，即当点在⊙B上运动时，点在以为圆心，半径为的圆上，作射线，与⊙交于，两点，分情况讨论：当交点为时，为最小值，即，根据边之间的关系可得AF，再根据勾股定理即可求出答案；当交点为时，为最大值，已知，，，根据边之间的关系可得AF，再根据勾股定理即可求出答案；
1 / 1

展开更多......

收起↑