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浙江省舟山市定海二中教育集团2025年中考三模数学试题
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（2025·定海模拟）下列说法正确的是（　　）
A．2025的相反数是
B．2025的倒数是
C．算术平方根等于它本身的数是0和1
D．绝对值等于相反数的数是0
【答案】C
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、2025的相反数是-2025，原选项错误，不符合题意；
B、2025的倒数是，原选项错误，不符合题意；
C、算术平方根等于它本身的数是0和1，正确，符合题意；
D、绝对值等于相反数的数是非正数，选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相反数，倒数，平方根，绝对值的相关概念及计算判定即可.
2．（2025·定海模拟）如图是由两个圆柱组成的几何体，其主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、此平面图形是该几何体的主视图，故A符合题意；
B、此平面图形是该几何体的俯视图，故B不符合题意；
C、D均不是该图形的三视图，故C、D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由主视图是从物体的正前方观察得到的视图可得答案.
3．（2025·定海模拟）2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1400000000000=1.4×1012，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．（2025·定海模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用只有同类型才能合并，可对A进行判断；利用完全平方公式可对B进行判断；利用幂的乘方法则可对C进行判断；利用单项式乘单项式法则可对D进行判断.
5．（2025·定海模拟）已知不等式组有解，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵不等式组有解，
∴
∴a的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】由不等式组有解可得，再利用不等式组取解集的方法“小大大小中间找”确定a的范围即可．
6．（2025·定海模拟）据网络平台数据，截至2025年5月5日，电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破158亿元，排名全球电影票房榜第五，则（　　）．
A．想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择全面调查
B．想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查
C．随机抽一个学生，看过《哪吒》是必然事件
D．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不可能事件
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类
【解析】【解答】解：A.想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查，则不符合题意，
B.想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查，则符合题意，
C.随机抽一个学生，看过《哪吒》是随机事件，则不符合题意，
D.随机抽一个学生，看过《哪吒》是随机事件，则不符合题意，
故答案为：B.
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
7．（2025·定海模拟）如图，在平面直角坐标系中，如果点的位置用表示，点的位置用表示，那么表示的位置是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系如下图：
∴表示的位置是点．
故答案为：A．
【分析】根据点和点N的位置坐标可以建立满足题意的平面直角坐标系，即可确定对应的点．
8．（2025·定海模拟）月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将太阳光板绕支点顺时针旋转的最小角度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：将太阳光板绕支点P顺时针旋转到位置时，太阳光，，
，，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】利用垂直的定义得，同时可证，利用平行线的性质得到的度数，进而求出的度数.
9．（2025·定海模拟）如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，延长交轴于点，
∵点的坐标为在反比例函数上，
∴，
∵轴，轴，轴，
∴轴，
∴，
∴四边形、四边形、四边形均是矩形，
∵点在反比例函数图象上，点P在反比例函数图象上，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交轴于点，将点P的坐标代入可求出k1的值，利用矩形的判定可证四边形，四边形，四边形均是矩形，再利用反比例函数系数的几何意义推出，最后求出符合题意的的值.
10．（2025·定海模拟）如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，取中点，
∵正方形的对角线、相交于点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
∵当 正方形绕点顺时针旋转 时，，
∴此时，
又，，
四边形是正方形，
，即点G与点H重合，
，
；
点是与的交点，是定线段，，
点G在线段上运动，
∴在整个运动过程中，
当与重合，点G，点E与点C重合，有最大值，
当时，点G与点H重合，有最小值，
当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值，
点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，
点经过的路径长是，
点经过的路径长是，
故答案为：A．
【分析】取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，故点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果．
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．（2025·定海模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=x(x-2025)，
故答案为：x(x-2025).
【分析】提取公因式x进行因式分解即可.
12．（2025·定海模拟）已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于，的二元一次方程组的一组解，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】把代入得出m和n的值，代入即可得出答案.
13．（2025·定海模拟）如图，内接于，，点在上，平分．若，则　 　．
【答案】55
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，设交于点，连接，则四边形是圆的内接四边形，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，，
∴∠AED=∠BED，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】如图所示，设交于点，连接，则四边形是圆的内接四边形，根据等边对等角得∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理可推出，即可求解．
14．（2025·定海模拟）骑自行车可以放松心情，是一种非常好的“黄金有氧运动”．骑行过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种测量方法：双腿（不穿鞋）站立，测量档部离地面的距离（单位：），得出的数据乘0.883就是相应的骑行时最合适的长度（由长度为的立管和可调节的坐杆组成，如图所示）．若设长度最合适时坐杆的长度为，则与之间的关系式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】由可得．
15．（2025·定海模拟）已知，满足，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
故答案为：．
【分析】利用二次根式被开方数的非负性可计算出a的值，再将a的值代入 求出b的值，最后将a、b代入代数式，即可求解．
16．（2025·定海模拟）数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形．这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙，且对角互补的四边形．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：和都是等腰直角三角形，
，
四边形是对角互补的四边形，
，
，即．
是直角三角形，
．
；
和都是直角三角形，
，
．
，
设，则，
，
，解得：，
．
故答案为：.
【分析】根据题意利用等腰三角形性质得，可推出，即．进而推出，再由相似三角形判定得，可得，再按比例设未知数，进而利用相似三角形性质即可求的值 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，第24题12分，共72分）
17．（2025·定海模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先同时计算非零实数的零指数幂、特殊角的三角函数值，负整数指数幂，和二次根式的乘法运算，然后再进行加减计算即可得出答案.
18．（2025·定海模拟）已知，求代数式的值．
【答案】解：
．
∵，
∴，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将分式化简，然后再根据变形得的值，代入求解即可．
19．（2025·定海模拟）如图，在中，交的延长线于点E，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）F为的中点，连接，．已知，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，
，
为的中点，
，
∵
，
由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合∠AEB=90°，证出四边形是矩形；
（2）先求出，再利用勾股定理求出BF的长即可.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，
，
为的中点，
，
∵
，
由勾股定理得．
20．（2025·定海模拟）某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理，描述和分析如下：成绩得分用表示（为整数）共分成四组：．；．；．；．．
七年级10名学生的成绩是：82，86，86，88，90，96，96，96，100，100．
八年级10名学生的成绩在组中的数据是：90，94，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级 92 94 100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中，的值：______，______，______．
（2）由表格中数据可推出，八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有______人．
（3）若八年级参加竞赛的学生共100人，估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数．
【答案】（1）
（2）4
（3）（人）；
答：估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数为人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）；
；
∵出现次数最多的为，
∴；
故答案为：；
（2）∵八年级学生成绩的中位数为：94，
∴第5个和第6个数据均为，
又∵八年级10名学生的成绩在组中的数据为90，94，94，
∴八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有（人）；
故答案为：4．
【分析】（1）根据中位数，众数和平均数的概念进行求解即可；
（2）根据中位数进行判断即可；
（3）利用样本估算总体的思想进行求解即可．
（1）解：；
；
出现次数最多的为，
∴；
故答案为：；
（2）∵八年级学生成绩的中位数为：94，
得到第5个和第6个均为，
而八年级10名学生的成绩在组中的数据为90，94，94，
故八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有（人）；
故答案为：4．
（3）（人）；
答：估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数为人．
21．（2025·定海模拟）如图1所示是一种简易手机支架，由底座、支撑板和托架组成，将手机放置在托架上，图2是其简易结构图．现测量托架长长，支撑板长，可绕点转动，可绕点转动．
（1）若水平视线与的夹角，，求的度数；
（2）当，时，求点到底座的距离．（结果精确到0.1，参考：）
【答案】（1）如图，过点作，
，
又，
，
，
；
（2）过点作，过点作于，交于，作于，
，
∴∠HKL=∠ALK=∠AHK=90°
∴四边形ALKH是矩形，
在中，，
，
，
(cm)，
，
，
，
在中．，
(cm)，
(cm)，
cm.
答：点到底座的距离为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过作，根据平行线的性质和猪蹄模型可推出，即可求的度数；
（2）过点作，过点作于，交于，作于，利用有三个直角的四边形是矩形可推出四边形ALKH是矩形，可得，由30°的直角边等于斜边的一半，可求得，由，求得，在中．根据，
（1）解：过作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，过点作于，交于，作于，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中．，
，
．
答：点到底座的距离为．
22．（2025·定海模拟）阅读理解：
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如：我们称是的“差分式”，
解答下列问题：
（1）分式是分式的“ 差分式”．
（2）分式 是分式的“差分式”．
① （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
（3）已知，分式是的“差分式”（其中为正数），求的值．
【答案】（1）
（2）①；
②由①得，
∴，
又∵ 的值为正整数，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）∵分式是的“差分式”
∴，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
【知识点】分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）①∵分式 是分式的“差分式”
∴，
整理，得，
解得，；
故答案为：.
【分析】（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“差分式”的计算方法可得，利用分式的混合运算即可求出C；
（3）根据“差分式”的计算方法可得，利用分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①，
∴，
解得，；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
23．（2025·定海模拟）项目式学习
背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？
素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（分钟）12345…总水量（毫升）1015202530…
问题探究和问题解决
任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点．
任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断和（、为常数）哪一个能正确反映总水量与时间的函数关系？请求出这个关系式．
任务3 ①同学们继续观察，当量简中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议．
【答案】解：任务1：如图，描点如下：
任务2：由数据和画图可知（k，b为常数）才能正确反映总水量y与时间t的函数关系；
点和都在此函数的图象上
解得：，
；
任务3：①当时，则
解得：，
当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟；
②每分钟浪费的水（15-10）÷（2-1）=5（毫升），60分钟浪费的水5×60=300（毫升）
照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费300毫升水；
③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键．
任务1：根据表格数据描点即可；
任务2：根据上表中的数据和所描的点，（k、b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系；再利用待定系数法求解解析式即可；
任务3：①把代入解析式即可得到答案；
②先求出每分钟浪费的水，再求60分钟浪费的水；
③答案不唯一，合理即可．
24．（2025·定海模拟）如图1，点在正方形的边上．将线段绕点顺时针旋转得到线段．边分别与相交于点．
（1）证明：．
（2）如图2，连接，与线段分别相交于点．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②设正方形的边长为，求线段的长（用字母和表示）．
【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下；
①∵正方形，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，，
∴，
∵，均为所对角，
∴点A、B、E、P四点共圆，
∵∠ABC=90°，
∴，
∴；结论得证.
②延长CB到点Q，使BQ=DH，连接AQ，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABE=∠ADH=90°，AB//CD，
∴∠ABQ=90°=∠ADH，
∴△ABQ≌△ADH (SAS)，
∴∠QAB=∠HAD，AQ=AH.
由①得，
∴∠QAB+∠BAE=∠HAD+∠BAE=90°－∠EAH=45°，
∴∠QAE=∠HAE.
又∵AQ=AH，AE=AE，
∴△AEQ≌△AEH (SAS)，
∴EH=QE.
∵AB//CD，
∴△DHP∽△BAP，
∴，
∴，
∴EH=QE=QB+BE=DH+BE，
∴EH=3λ+a.
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及各角之间的关系得出，再由相似三角形的判定即可证明；
（2）①由正方形的性质得∠CBD=45°，再由旋转的性质得△AEF是等腰直角三角形，于是可得，利用圆内接四边形的判定可得点A、B、E、P四点共圆，确定，再由等腰直角三角形的性质即可得出结果；
（2）②延长CB到点Q，使BQ=DH，连接AQ，先利用SAS证明△ABQ≌△ADH，可得∠QAB=∠HAD，AQ=AH，于是可证明∠QAE=∠HAE.再利用SAS证明△AEQ≌△AEH，可得EH=QE.证明△DHP∽△BAP，可得，于是可利用EH=QE=DH+BE，求得EH的长.
（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①根据题意得：，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，，
∴，
∵，均为所对角，
∴点A、B、E、P四点共圆，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省舟山市定海二中教育集团2025年中考三模数学试题
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（2025·定海模拟）下列说法正确的是（　　）
A．2025的相反数是
B．2025的倒数是
C．算术平方根等于它本身的数是0和1
D．绝对值等于相反数的数是0
2．（2025·定海模拟）如图是由两个圆柱组成的几何体，其主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·定海模拟）2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·定海模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·定海模拟）已知不等式组有解，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·定海模拟）据网络平台数据，截至2025年5月5日，电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破158亿元，排名全球电影票房榜第五，则（　　）．
A．想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择全面调查
B．想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查
C．随机抽一个学生，看过《哪吒》是必然事件
D．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不可能事件
7．（2025·定海模拟）如图，在平面直角坐标系中，如果点的位置用表示，点的位置用表示，那么表示的位置是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．（2025·定海模拟）月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将太阳光板绕支点顺时针旋转的最小角度为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·定海模拟）如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·定海模拟）如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．（2025·定海模拟）因式分解：　 　．
12．（2025·定海模拟）已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为　 　．
13．（2025·定海模拟）如图，内接于，，点在上，平分．若，则　 　．
14．（2025·定海模拟）骑自行车可以放松心情，是一种非常好的“黄金有氧运动”．骑行过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种测量方法：双腿（不穿鞋）站立，测量档部离地面的距离（单位：），得出的数据乘0.883就是相应的骑行时最合适的长度（由长度为的立管和可调节的坐杆组成，如图所示）．若设长度最合适时坐杆的长度为，则与之间的关系式为　 　．
15．（2025·定海模拟）已知，满足，则的值为　 　．
16．（2025·定海模拟）数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形．这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙，且对角互补的四边形．若，则的值为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，第24题12分，共72分）
17．（2025·定海模拟）计算：．
18．（2025·定海模拟）已知，求代数式的值．
19．（2025·定海模拟）如图，在中，交的延长线于点E，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）F为的中点，连接，．已知，，求的长．
20．（2025·定海模拟）某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理，描述和分析如下：成绩得分用表示（为整数）共分成四组：．；．；．；．．
七年级10名学生的成绩是：82，86，86，88，90，96，96，96，100，100．
八年级10名学生的成绩在组中的数据是：90，94，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级 92 94 100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中，的值：______，______，______．
（2）由表格中数据可推出，八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有______人．
（3）若八年级参加竞赛的学生共100人，估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数．
21．（2025·定海模拟）如图1所示是一种简易手机支架，由底座、支撑板和托架组成，将手机放置在托架上，图2是其简易结构图．现测量托架长长，支撑板长，可绕点转动，可绕点转动．
（1）若水平视线与的夹角，，求的度数；
（2）当，时，求点到底座的距离．（结果精确到0.1，参考：）
22．（2025·定海模拟）阅读理解：
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如：我们称是的“差分式”，
解答下列问题：
（1）分式是分式的“ 差分式”．
（2）分式 是分式的“差分式”．
① （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
（3）已知，分式是的“差分式”（其中为正数），求的值．
23．（2025·定海模拟）项目式学习
背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？
素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（分钟）12345…总水量（毫升）1015202530…
问题探究和问题解决
任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点．
任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断和（、为常数）哪一个能正确反映总水量与时间的函数关系？请求出这个关系式．
任务3 ①同学们继续观察，当量简中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议．
24．（2025·定海模拟）如图1，点在正方形的边上．将线段绕点顺时针旋转得到线段．边分别与相交于点．
（1）证明：．
（2）如图2，连接，与线段分别相交于点．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②设正方形的边长为，求线段的长（用字母和表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、2025的相反数是-2025，原选项错误，不符合题意；
B、2025的倒数是，原选项错误，不符合题意；
C、算术平方根等于它本身的数是0和1，正确，符合题意；
D、绝对值等于相反数的数是非正数，选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相反数，倒数，平方根，绝对值的相关概念及计算判定即可.
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、此平面图形是该几何体的主视图，故A符合题意；
B、此平面图形是该几何体的俯视图，故B不符合题意；
C、D均不是该图形的三视图，故C、D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】由主视图是从物体的正前方观察得到的视图可得答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1400000000000=1.4×1012，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用只有同类型才能合并，可对A进行判断；利用完全平方公式可对B进行判断；利用幂的乘方法则可对C进行判断；利用单项式乘单项式法则可对D进行判断.
5．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵不等式组有解，
∴
∴a的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】由不等式组有解可得，再利用不等式组取解集的方法“小大大小中间找”确定a的范围即可．
6．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类
【解析】【解答】解：A.想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查，则不符合题意，
B.想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查，则符合题意，
C.随机抽一个学生，看过《哪吒》是随机事件，则不符合题意，
D.随机抽一个学生，看过《哪吒》是随机事件，则不符合题意，
故答案为：B.
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
7．【答案】A
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系如下图：
∴表示的位置是点．
故答案为：A．
【分析】根据点和点N的位置坐标可以建立满足题意的平面直角坐标系，即可确定对应的点．
8．【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：将太阳光板绕支点P顺时针旋转到位置时，太阳光，，
，，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】利用垂直的定义得，同时可证，利用平行线的性质得到的度数，进而求出的度数.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，延长交轴于点，
∵点的坐标为在反比例函数上，
∴，
∵轴，轴，轴，
∴轴，
∴，
∴四边形、四边形、四边形均是矩形，
∵点在反比例函数图象上，点P在反比例函数图象上，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交轴于点，将点P的坐标代入可求出k1的值，利用矩形的判定可证四边形，四边形，四边形均是矩形，再利用反比例函数系数的几何意义推出，最后求出符合题意的的值.
10．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，取中点，
∵正方形的对角线、相交于点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
∵当 正方形绕点顺时针旋转 时，，
∴此时，
又，，
四边形是正方形，
，即点G与点H重合，
，
；
点是与的交点，是定线段，，
点G在线段上运动，
∴在整个运动过程中，
当与重合，点G，点E与点C重合，有最大值，
当时，点G与点H重合，有最小值，
当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值，
点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，
点经过的路径长是，
点经过的路径长是，
故答案为：A．
【分析】取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，故点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=x(x-2025)，
故答案为：x(x-2025).
【分析】提取公因式x进行因式分解即可.
12．【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于，的二元一次方程组的一组解，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】把代入得出m和n的值，代入即可得出答案.
13．【答案】55
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，设交于点，连接，则四边形是圆的内接四边形，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，，
∴∠AED=∠BED，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】如图所示，设交于点，连接，则四边形是圆的内接四边形，根据等边对等角得∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理可推出，即可求解．
14．【答案】
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】由可得．
15．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
故答案为：．
【分析】利用二次根式被开方数的非负性可计算出a的值，再将a的值代入 求出b的值，最后将a、b代入代数式，即可求解．
16．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：和都是等腰直角三角形，
，
四边形是对角互补的四边形，
，
，即．
是直角三角形，
．
；
和都是直角三角形，
，
．
，
设，则，
，
，解得：，
．
故答案为：.
【分析】根据题意利用等腰三角形性质得，可推出，即．进而推出，再由相似三角形判定得，可得，再按比例设未知数，进而利用相似三角形性质即可求的值 ．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先同时计算非零实数的零指数幂、特殊角的三角函数值，负整数指数幂，和二次根式的乘法运算，然后再进行加减计算即可得出答案.
18．【答案】解：
．
∵，
∴，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将分式化简，然后再根据变形得的值，代入求解即可．
19．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，
，
为的中点，
，
∵
，
由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合∠AEB=90°，证出四边形是矩形；
（2）先求出，再利用勾股定理求出BF的长即可.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，
，
为的中点，
，
∵
，
由勾股定理得．
20．【答案】（1）
（2）4
（3）（人）；
答：估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数为人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）；
；
∵出现次数最多的为，
∴；
故答案为：；
（2）∵八年级学生成绩的中位数为：94，
∴第5个和第6个数据均为，
又∵八年级10名学生的成绩在组中的数据为90，94，94，
∴八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有（人）；
故答案为：4．
【分析】（1）根据中位数，众数和平均数的概念进行求解即可；
（2）根据中位数进行判断即可；
（3）利用样本估算总体的思想进行求解即可．
（1）解：；
；
出现次数最多的为，
∴；
故答案为：；
（2）∵八年级学生成绩的中位数为：94，
得到第5个和第6个均为，
而八年级10名学生的成绩在组中的数据为90，94，94，
故八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有（人）；
故答案为：4．
（3）（人）；
答：估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数为人．
21．【答案】（1）如图，过点作，
，
又，
，
，
；
（2）过点作，过点作于，交于，作于，
，
∴∠HKL=∠ALK=∠AHK=90°
∴四边形ALKH是矩形，
在中，，
，
，
(cm)，
，
，
，
在中．，
(cm)，
(cm)，
cm.
答：点到底座的距离为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过作，根据平行线的性质和猪蹄模型可推出，即可求的度数；
（2）过点作，过点作于，交于，作于，利用有三个直角的四边形是矩形可推出四边形ALKH是矩形，可得，由30°的直角边等于斜边的一半，可求得，由，求得，在中．根据，
（1）解：过作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，过点作于，交于，作于，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中．，
，
．
答：点到底座的距离为．
22．【答案】（1）
（2）①；
②由①得，
∴，
又∵ 的值为正整数，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）∵分式是的“差分式”
∴，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
【知识点】分式的加减法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）①∵分式 是分式的“差分式”
∴，
整理，得，
解得，；
故答案为：.
【分析】（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“差分式”的计算方法可得，利用分式的混合运算即可求出C；
（3）根据“差分式”的计算方法可得，利用分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①，
∴，
解得，；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
23．【答案】解：任务1：如图，描点如下：
任务2：由数据和画图可知（k，b为常数）才能正确反映总水量y与时间t的函数关系；
点和都在此函数的图象上
解得：，
；
任务3：①当时，则
解得：，
当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟；
②每分钟浪费的水（15-10）÷（2-1）=5（毫升），60分钟浪费的水5×60=300（毫升）
照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费300毫升水；
③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键．
任务1：根据表格数据描点即可；
任务2：根据上表中的数据和所描的点，（k、b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系；再利用待定系数法求解解析式即可；
任务3：①把代入解析式即可得到答案；
②先求出每分钟浪费的水，再求60分钟浪费的水；
③答案不唯一，合理即可．
24．【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下；
①∵正方形，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，，
∴，
∵，均为所对角，
∴点A、B、E、P四点共圆，
∵∠ABC=90°，
∴，
∴；结论得证.
②延长CB到点Q，使BQ=DH，连接AQ，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABE=∠ADH=90°，AB//CD，
∴∠ABQ=90°=∠ADH，
∴△ABQ≌△ADH (SAS)，
∴∠QAB=∠HAD，AQ=AH.
由①得，
∴∠QAB+∠BAE=∠HAD+∠BAE=90°－∠EAH=45°，
∴∠QAE=∠HAE.
又∵AQ=AH，AE=AE，
∴△AEQ≌△AEH (SAS)，
∴EH=QE.
∵AB//CD，
∴△DHP∽△BAP，
∴，
∴，
∴EH=QE=QB+BE=DH+BE，
∴EH=3λ+a.
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及各角之间的关系得出，再由相似三角形的判定即可证明；
（2）①由正方形的性质得∠CBD=45°，再由旋转的性质得△AEF是等腰直角三角形，于是可得，利用圆内接四边形的判定可得点A、B、E、P四点共圆，确定，再由等腰直角三角形的性质即可得出结果；
（2）②延长CB到点Q，使BQ=DH，连接AQ，先利用SAS证明△ABQ≌△ADH，可得∠QAB=∠HAD，AQ=AH，于是可证明∠QAE=∠HAE.再利用SAS证明△AEQ≌△AEH，可得EH=QE.证明△DHP∽△BAP，可得，于是可利用EH=QE=DH+BE，求得EH的长.
（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①根据题意得：，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，，
∴，
∵，均为所对角，
∴点A、B、E、P四点共圆，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
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