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2025年新九年级数学人教版暑假大课堂
第十六讲 待定系数法求 二次函数解析式
知识点梳理
知识点1 用一般式确定二次函数解析式
一般式y=ax2+bx+c.（a≠0）代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式.
要点诠释：
已知抛物线上任意三点坐标时使用。
求解步骤 ：将三点坐标代入方程，得到三元一次方程组，解方程组求出a、b、c。
知识点2 用顶点式确定二次函数解析式
顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
要点诠释：
已知顶点坐标（h, k）或对称轴方程时使用。
求解步骤 ：将顶点坐标代入方程，再代入另一点坐标求a，最后整理成标准形式
知识点3 用交点式确定二次函数解析式
交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
要点诠释
已知抛物线与x轴交点坐标（x1, 0）、（x2, 0）时使用。
求解步骤 ：将交点坐标代入方程，再代入另一点坐标求a，最后整理成标准形式。
待定系数法 是三种形式的核心求解方法，需根据已知条件灵活选择解析式形式。
通过灵活运用这三种形式，可高效解决二次函数解析式相关问题。
题型1 一般式求二次函数解析式
【例1】．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示：
(1)求二次函数解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)当时，的取值范围是 ．
针对训练1
1．已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求该二次函数图象的顶点坐标；
(3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
2．已知二次函数的图象过点，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为；
②当时，y随x增大而减小；
③当时，y的取值范围为；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．
3．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为，若点的坐标为，，点为某个动点．
(1)直接写出点，的坐标；
(2)当点在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线的解析式为，依据函数图象试求不等式的解集；
(3)如图2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，记，求关于的函数解析式．
①当随的增大而增大时，求的取值范围；
②根据的不同取值确定点的个数．
4．一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式．
5．抛物线（a，b，c是常数，）．
(1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式；
(2)若，，点（）在该抛物线上，求证：
题型2 顶点式求二次函数解析式
【例2】．已知抛物线的顶点坐标，且与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线过点，，求的值．
针对训练2
1．已知抛物线的顶点是，且抛物线过点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)将抛物线向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当时，y随x的增大而减小；当时 ，y随x的增大而增大．求m的取值范围．
(3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n， 设抛物线上点P左侧的部分为图象G（含点P）．若图象G的最低点的纵坐标为，直接写出n的值．
2．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是，并且经过点．
(1)求抛物线表示的二次函数的解析式；
(2)已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点的坐标．
3．已知是关于的二次函数，满足下表
… …
… …
根据上表数据，完成下列问题：
(1)直接写出此图象对称轴表达式 ；
(2)写出此二次函数顶点坐标是 ；
(3)求此二次函数的解析式．
4．如图，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，点在抛物线上，点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点．
(1)求的值，并写出和的数量关系；
(2)若的面积是的面积的倍，求抛物线的解析式．
5．若抛物线的顶点坐标为，图像与轴的交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当取何值时，抛物线中随增大而增大．
题型3交点式求二次函数解析式
【例3】．已知二次函数与自变量的部分对应值如下表：
0 1
5 0
(1)______．
(2)求该二次函数的表达式；
(3)当时，的取值范围是______．
针对训练3
1．已知二次函数．
(1)求该二次函数图象的顶点坐标．
(2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式．
(3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：．
2．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 8 0 0 …
(1)根据以上表格填空：抛物线经过点（3， ），在对称轴右侧，y随x的增大而 ；
(2)求抛物线的解析式．
3．已知抛物线，经过，，三点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)当为何值时，函数随的增大而增大？
4．在平面直角坐标系中，抛物线 过点
(1)请用含 的代数式表示 ．
(2)若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式．
(3)当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围．
5．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称.
图1 图2
(1)求线段的长；
(2)当时，求的取值范围；
(3)如图2，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值.
题型4 选择适当方法求二次函数解析式
【例4】．已知抛物线交轴于点，，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标．
(2)如图，是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当的长度最大时，求点的坐标．
针对训练4
1．已知二次函数的图象经过点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求的面积．
2．已知抛物线．
(1)求这条拋物线的对称轴；
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式；
(3)设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
3．已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
(1)求此抛物线的解析式；
(2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围．
4．如图，抛物线过点，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标；
(3)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值．
5．已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m．
①当四边形为正方形时，求m的值；
②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围．
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第十六讲 待定系数法求 二次函数解析式（解析版）
知识点梳理
知识点1 用一般式确定二次函数解析式
一般式y=ax2+bx+c.（a≠0）代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式.
要点诠释：
已知抛物线上任意三点坐标时使用。
求解步骤 ：将三点坐标代入方程，得到三元一次方程组，解方程组求出a、b、c。
知识点2 用顶点式确定二次函数解析式
顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
要点诠释：
已知顶点坐标（h, k）或对称轴方程时使用。
求解步骤 ：将顶点坐标代入方程，再代入另一点坐标求a，最后整理成标准形式
知识点3 用交点式确定二次函数解析式
交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
要点诠释
已知抛物线与x轴交点坐标（x1, 0）、（x2, 0）时使用。
求解步骤 ：将交点坐标代入方程，再代入另一点坐标求a，最后整理成标准形式。
待定系数法 是三种形式的核心求解方法，需根据已知条件灵活选择解析式形式。
通过灵活运用这三种形式，可高效解决二次函数解析式相关问题。
题型1 一般式求二次函数解析式
【例1】．已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示：
(1)求二次函数解析式；
(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)当时，的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图形，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据函数解析式，用描点法即可求解；
（3）根据自变量的取值范围，结合图象，即可确定函数值的取值范围．
【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，，
∴，解得，
∴二次函数解析式为．
（2）解：二次函数解析式为，图像如图所示，
函数与轴的交点是，，与轴的交点是，对称轴为直线，符合题意．
（3）解：当时，
当时，；
当时，；
当时，．
根据（2）中图象可知，当时，．
针对训练1
1．已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求该二次函数图象的顶点坐标；
(3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【答案】(1)
(2)
(3)当时，y随x的增大而减小
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，求得解析式是解题的关键．
（1）将点和代入中，得，进行计算即可得；
（2）由表达式即可得到顶点坐标；
（3）根据二次函数的性质得即可得．
【详解】（1）解：将点和代入中，得
解得
则该二次函数表达式为；
（2）解：∵
∴顶点坐标为；
（3）解：根据二次函数的性质得，当时，y随x的增大而减小．
2．已知二次函数的图象过点，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为；
②当时，y随x增大而减小；
③当时，y的取值范围为；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．
【答案】(1)
(2)见解答
(3)①④
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象的画法及二次函数的性质，正确理解题意、准确计算是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数表达式；
（2）取点描点连线绘制函数图象即可；
（3）根据函数图象和性质逐次求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：取点补全表格为：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
如图，
（3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意；
②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意；
③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
3．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为，若点的坐标为，，点为某个动点．
(1)直接写出点，的坐标；
(2)当点在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线的解析式为，依据函数图象试求不等式的解集；
(3)如图2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，记，求关于的函数解析式．
①当随的增大而增大时，求的取值范围；
②根据的不同取值确定点的个数．
【答案】(1)，
(2)或
(3)，①当随的增大而增大时，或；②当，点有2个点；当时，点有4个点；当时，点有3个点，时，点有2个点
【分析】本题主要考出了二次函数的性质、二次函数与不等式的综合、二次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
（1）先由二次函数的对称性可得，再结合即可确定点B的坐标；
（2）先求出二次函数解析式，由题意可得，解得或，进而确定，即，再结合函数图象即可解答；
（3）①由第（2）问可知：点D在直线上运动，其中，进而可得；再分当或时，；当时，两种情况，分别利用二次函数的增减性解答即可．②分当，点有2个点；当时，点有无数个点；当时，点有3个点，时，点有无数个点得解．
【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点，交轴于点，对称轴为，若点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：抛物线交轴于，两点，交轴于点，
将点，点，点的坐标代入得：
，
解得：，
∴函数解析式为，
∵函数解析式为，
将点代入得：，
解得：或，
∵点在对称轴的右边，
∴，
∴，即；
∴可以看作抛物线在直线的下方，
∴由以上函数图象可知：或；
（3）解：①点在直线上运动，其中，，，，
∴，
当或时，，
∵，对称轴，
∴当时，随的增大而增大，
∴时，随的增大而增大；
当时，，
∵，抛物线开口向下，对称轴为；
∴当时，随的增大而增大，
∴时，随的增大而增大；
综上所述：当随的增大而增大时，或．
②∵
∴当时，，即，
此时，，
所以，方程有两个不相等的实数根，即点E有2个点；
当时，，
∴或，
解得，或，
解得，，
所以，点E有3个点；
当时，点有无数个点；当时，点有无数个点．
综上，当，点有2个点；当时，点有4个点；当时，点有3个点，时，点有2个点
4．一个二次函数的图象经过，，三点．求：这个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．设一般式，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
根据题意得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为．
5．抛物线（a，b，c是常数，）．
(1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式；
(2)若，，点（）在该抛物线上，求证：
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质；
（1）由已知可知，图象过，即可判断图象不过点C，再根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）把代入解析式可得，再把代入可得，
再根据可得，进而可得，即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴图象过，
∴图象不过点C，
将点，代入抛物线，得，
解得，
∴；
（2）证明：当时，，
∵，
，
，
∵，
，
，
，
∴．
题型2 顶点式求二次函数解析式
【例2】．已知抛物线的顶点坐标，且与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线过点，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由抛物线顶点为，故可设抛物线的解析式为，又抛物线过，从而可求出的值，进而可以得解；
（2）依据题意，由（1），又抛物线过点，，从而求出的值，代入代数式进而得到答案．
【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标，
可设抛物线的解析式为．
又∵抛物线过，
．
．
抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）中求得的解析式，
抛物线过点，，
，
．
针对训练2
1．已知抛物线的顶点是，且抛物线过点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)将抛物线向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当时，y随x的增大而减小；当时 ，y随x的增大而增大．求m的取值范围．
(3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n， 设抛物线上点P左侧的部分为图象G（含点P）．若图象G的最低点的纵坐标为，直接写出n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）写出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据平移方式确定新的解析式，根据增减性确定m的取值范围，即可；
（3）分两种情况，根据二次函数的增减性，确定最值，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，把代入得，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：抛物线向右平移个单位长度后，解析式为，
∴新的抛物线的对称轴为，
∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
∴，解得．
（3）解：当时，图象的最低点为顶点，纵坐标为，
则，解得：；
当时，把代入得，
则，
∴，
∴，解得或（舍去），
∴或．
2．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是，并且经过点．
(1)求抛物线表示的二次函数的解析式；
(2)已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，等知识，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）设抛物线的解析式为顶点式，把点的坐标代入即可求解；
（2）由点A在抛物线上，得；变形为，根据与均为整数，得，即可求得点A的坐标．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把点的坐标代入得：，
解得： ，
∴；
（2）解：∵点A在抛物线上，
∴，
即；
∵
；
由于K，m都为整数，则，
∴或，
此时；
综上，点A的坐标为或．
3．已知是关于的二次函数，满足下表
… …
… …
根据上表数据，完成下列问题：
(1)直接写出此图象对称轴表达式 ；
(2)写出此二次函数顶点坐标是 ；
(3)求此二次函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（）根据表中数据即可求解；
（）根据（）所得对称轴方程及表中数据即可求解；
（）利用抛物线的顶点式及待定系数法解答即可；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由表可知，当和时，，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
故答案为：；
（2）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，当时，
∴二次函数图象的顶点坐标为，
故答案为：；
（3）解：设二次函数解析式为，把代入得，
，
解得，
∴二次函数解析式为．
4．如图，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，点在抛物线上，点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点．
(1)求的值，并写出和的数量关系；
(2)若的面积是的面积的倍，求抛物线的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据抛物线经过点，可得的值，根据对称轴公式可得和的数量关系；
（2）根据点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，可得点坐标，结合的面积是的面积的倍，可得抛物线顶点坐标，设抛物线的顶点式，把点坐标代入解析式，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，
，
对称轴为直线，
，
即；
（2）解：点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，
，
，
，
的面积是的面积的倍，顶点为，对称轴为直线，
在抛物线对称轴上的高为，即，
设抛物线的解析式为，
又抛物线经过点，
，
即，
抛物线的解析式为．
5．若抛物线的顶点坐标为，图像与轴的交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当取何值时，抛物线中随增大而增大．
【答案】(1)
(2)当时，随增大而增大
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；
（1）根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，将代入求解即可；
（2）根据二次函数的性质，即可求解；
【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
所以抛物线解析式为；
（2）解：当时，随增大而增大．
题型3交点式求二次函数解析式
【例3】．已知二次函数与自变量的部分对应值如下表：
0 1
5 0
(1)______．
(2)求该二次函数的表达式；
(3)当时，的取值范围是______．
【答案】(1)0
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练利用二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，所以点和关于直线对称，从而确定的值；
（2）设交点式，然后把代入求出即可；即；
（2）先计算出时，；时，，加上时，有最小值，所以当时，的取值范围为．
【详解】（1）解：时，；时，，
抛物线的对称轴为直线，
点和关于直线对称，
；
故答案为：0；
（2）解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
即；
（3）解：时，；时，，
而时，有最小值，
当时，的取值范围为．
故答案为：．
针对训练3
1．已知二次函数．
(1)求该二次函数图象的顶点坐标．
(2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式．
(3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数平移的性质，函数增减性式关键．
（1）根据解析式得到对称轴直线为，再代入计算函数值即可求解；
（2）由题意得平移后的解析式为，将代入，运用待定系数法即可得到解析式；
（3）根据题意得到，结合题意得到，，所以原式，可得，结合二次函数顶点坐标即可求解．
【详解】（1）解：对称轴为直线，
当时，，
∴顶点坐标为；
（2）解：由题意得平移后的解析式为，将代入，
∴，
∴，
∴二次函数表达式为；
（3）证明：二次函数化为一般式得，
∴，
∵和是该二次函数图象上任意两点，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，，
∴原式，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∵二次函数对称轴直线为，
∴当时，，
∴．
2．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 8 0 0 …
(1)根据以上表格填空：抛物线经过点（3， ），在对称轴右侧，y随x的增大而 ；
(2)求抛物线的解析式．
【答案】(1)8，增大
(2)
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等；
（1）抛物线与x轴的交点坐标是和，可得抛物线的对称轴为，由函数的对称性可得及时的函数值相等，故由对应的函数值可得出所对应的函数值，从而得出正确答案；由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，从而求解；
（2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标和，与y轴的交点坐标代入即可求出．
【详解】（1）解：由表格可知，当时或，
所以抛物线与x轴的交点坐标是和，抛物线的对称轴为直线，
所以和对应的函数值相等，
所以当时，．
所以抛物线经过点．
由表格可知，y随x的增大先减小再增大，
所以在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
（2）解：抛物线与x轴的交点坐标是和，
所以设抛物线，
把代入，
得，
解得，
所以抛物线的解析式为，即．
3．已知抛物线，经过，，三点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)当为何值时，函数随的增大而增大？
【答案】(1)
(2)当时，函数随的增大而增大
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数，二次函数的图象和性质，正确求得二次函数的解析式是解题的关键．
（1）由于已知抛物线与轴的交点坐标，则可设交点式，然后把代入求出即可；
（2）根据二次函数的性质求解．
【详解】（1）
解：由于抛物线经过，，
则可设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
（2）解：对称轴为直线，
由于，则二次函数开口向下，
当时，函数随的增大而增大．
4．在平面直角坐标系中，抛物线 过点
(1)请用含 的代数式表示 ．
(2)若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式．
(3)当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图像的性质，
（1）将两个点的坐标代入关系式，整理可得答案；
（2）先求出对称前该抛物线经过点，再设抛物线的关系式为，然后将点代入可得答案；
（3）由（1）可得，进而得出 ，接下来求出抛物线的对称轴，再分两种情况：当 时，当 时，随的增大而增大，再将时代入关系式，可得答案；当时，当时，随的增大而减小，将代入关系式，可得答案.
【详解】（1）解：由题意得 ，
解得，
∴；
（2）解：该抛物线关于y轴对称后的图象经过，则对称前该抛物线经过点．
设 ，
将代入，得
，
解得,
该抛物线的函数表达式为；
（3）解：由（1），得，
∴．
由，得，记作 ，
抛物线的对称轴为直线 .
当 时，如图 1，当 时，随的增大而增大．
当时，，则 成立，
即 ，
解得，
所以．
当时，如图2，当时，随的增大而减小，
当时，，则成立，
即 恒成立．
所以或时，始终成立．

5．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称.
图1 图2
(1)求线段的长；
(2)当时，求的取值范围；
(3)如图2，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值.
【答案】(1)
(2)当时，
(3)见解析
【分析】本题考查二次函数图象得性质．熟练掌握二次函数的对称性，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据对称性求出点B的坐标，即可求出的长；
（2）由A、B的坐标求出抛物线解析式，求出顶点，可得y的取值范围；
（3）分别过、作直线的垂线，垂直为、，根据为等腰直角三角形，可得，得到，，得根据，即得．
【详解】（1）抛物线与轴交于、两点，且对称轴为直线，
；
（2）∵抛物线与轴交于，两点，
．
∴．
．
．
当时，．
∵当时，，
当时，．
（3）分别过、作直线的垂线，垂直为、．
则，．
．
又为等腰直角三角形，
，．
．
．
．
，．
，，
，．
．
∵，，
∴．
．
．
．
题型4 选择适当方法求二次函数解析式
【例4】．已知抛物线交轴于点，，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标．
(2)如图，是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当的长度最大时，求点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为
(2)
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式；（2）中用参数t表示抛物线上的点P、直线上点的坐标，再用t表示出的长是解题关键．
（1）将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出直线的解析式，设出点坐标，表示出点坐标，建立，利用二次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：将点，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为．
，
抛物线的解析式为，顶点坐标为；
（2）解：令，得，
点．
设直线的函数解析式为．
把点，代入，得，
解得，
直线的函数解析式为．
设点，则点，
．
，
当时，的长度最大，
此时点的坐标为．
针对训练4
1．已知二次函数的图象经过点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)15
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
（1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式；
（2）直接根据三角形的面积公式求解．
【详解】（1）解：由题意得，设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，
即；
（2）解：∵，
∴，
∴的面积．
2．已知抛物线．
(1)求这条拋物线的对称轴；
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式；
(3)设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)；或．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把解析式化成顶点式，根据顶点式求得对称轴；
（2）根据顶点式可得顶点坐标，根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值，即可得出结论；
（3）根据二次函数的性质，分两种情况即可求出m的范围．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
∴或，
①当时，；
②当时，．
（3）解：Q关于对称轴的对称点为，
①当时，∵，∴；
②当时，∵，∴或．
3．已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
(1)求此抛物线的解析式；
(2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围．
【答案】(1)，
(2)．
【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象性质等知识点，解决此题关键是能根据表格里的数据得到对称轴．
（1）根据表格里的数据得到对称轴，可设抛物线解析式，再找一个组值代入即可；
（2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系里描出点，用平滑的曲线连接即可；根据图象的性质，即可得到时，y的范围．
【详解】（1）解：由表格可知对称轴为，所以可设抛物线的解析式为，
∵时，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：函数图象如图所示
由（1）可知，对称轴为，
所以令时，，
当时，
∴能取到最小值，
即．
4．如图，抛物线过点，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标；
(3)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值．
【答案】(1)
(2)的最大面积为，此时点P的坐标为
(3)
【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键．
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由待定系数法求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线，交于Q，设，则，则，
，根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）连接，过点M作于点N，证得是等腰直角三角形，可得，从而得到，当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长，再由，解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得，
所以抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为：，
如图，过点P作y轴的平行线，交于Q，
设，则，则，
∴
，
即当时，的面积最大，最大为，
即的最大面积为，此时点P的坐标为；
（3）解：如图，连接，过点M作于点N，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
5．已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m．
①当四边形为正方形时，求m的值；
②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①m的值为1或0；②时，m的取值范围为或．
【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点，解决本题的关键是结合二次函数的图象得到的取值范围．
（1）根据抛物线对称轴求出的值，再根据抛物线与轴的交点求出的值，从而求出二次函数解析式；
（2）①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，可得，，．根据正方形的性质列出方程求解即可；
②根据①可知得当或时，，然后结合抛物线即可解决问题．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的交点坐标为，
，
抛物线的解析式为；
（2）解：①点是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，轴，，点的横坐标为，
，
，，
当四边形为正方形时，，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
或者，
解得，（不符合题意，舍去），
的值为1或0；
②根据①可知：当或时，，
当时，，
，
当或时，，
当时，的取值范围为或．
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