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河北省张家口市宣化区 2024—2025学年七年级下学期期末考试数学试卷（冀教版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若是一个二元一次方程，则“△”可以是（ ）
A．3x B． C．5 D．
2．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．截至2025年5月5日，国产动画电影《哪吒2》在全球范围内热映，票房表现强劲．据官方统计，其全球总票房突破元．这一成绩使其成为中国影史票房排名前列的电影之一、将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．南南在画板上画出两条不平行的直线，（如图①），他发现，如果利用平移变换就可以知道这两条直线所成的角的度数：将直线向左平移与直线交于一点（如图②），则直线，所成的锐角的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．北京烤鸭不仅是一道美食，更是中华民族美食瑰宝中的璀璨明珠．为保证口感，北京烤鸭的标准鸭子重量一般不低于，不高于．下面用不等式表示这一范围正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（ ）
A．1 B．2 C．6 D．9
8．如图所示，中边上的高线画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（ ）
A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解．
C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解．
10．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
11．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．对任意整数都能（　　）
A．被4整除 B．被5整除
C．被6整除 D．被7整除
13．如图，，，，是上一点．若，，甲、乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是（ ）
甲：；
乙：．
A．只有甲的正确 B．只有乙的正确
C．两人的都正确 D．两人的都不正确
14．如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（ ）
A．次 B．次 C．次 D．次
二、填空题
15．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则 ．
16．若是方程的一个解，则的值是 ．
17．已知实数x，y，满足，，则的值为 ．
18．已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 ．
19．如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ．
20．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填序号）
三、解答题
21．因式分解：
(1)；
(2)．
22．先化简，再求值：，其中．
23．解不等式组，把它的解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出所有的整数解．
24．完成下面的证明与解题．
如图，AD∥BC，点E是BA延长线上一点，∠E＝∠DCE．
（1）求证：∠B＝∠D．
证明：∵AD∥BC，
∴∠B＝∠______________（______________）
∵∠E＝∠DCE，
∴AB∥CD（______________）．
∴∠D＝∠______________（______________）．
∴∠B＝∠D．
（2）若CE平分∠BCD，∠E＝50°，求∠B的度数．
25．2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递33万件； B型机器人每台每天可分拣快递27万件．
(1)求两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备购买两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于300万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？
26．小明将一个含角的直角三角板（其中，，）按如图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上，过顶点作直线，在的左侧作直线，分别交直线，于点，．
(1)的度数为 ；
(2)将直角三角板从如图1所示初始位置绕顶点按图中箭头方向转动，且保证点在直线上方．直线，保持初始位置，直线随着点的运动位置发生变化，且保持．
①当点在直线下方时，如图2，试猜想和的数量关系，并说明理由；
②在转动过程中，当直角三角板的一边与直线平行时，求的度数．
河北省张家口市宣化区 2024—2025学年七年级下学期期末考试数学试卷（冀教版）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A C B B B B C A
题号 11 12 13 14
答案 A A A B
1．B
【详解】解：由二元一次方程的定义可得“△”可以是，
故选：B．
2．C
【详解】解：∵，∴；故A选项不成立，不符合题意；
∵，∴；故B选项不成立，不符合题意；
∵，∴；故C选项成立，符合题意；
∵，∴；故D选项不成立，不符合题意；
故选C．
3．A
【详解】解：A、，故符合题意；
B、、不是同类项，不可以合并项，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：A．
4．C
【详解】解：．
故选：C．
5．B
【详解】解：如图所示，设直线，交于点，
根据题意，直线向左平移与直线交于一点，
，
，
直线，所成的锐角的度数为，
故选：B．
6．B
【详解】解：根据题意，得．
故选：B．
7．B
【详解】解：设第三边长为，由题意得：
，
解得：．
故选：B．
8．B
【详解】解：如图所示，过点C作，交的延长线于点H，则即为所求作的高线．
故选：B．
9．C
【详解】解：A、∵某不等式的解集是，
∴0是这个不等式的解，故A不符合题意；
B、∵某不等式的解集是，
∴不是这个不等式的解，故B不符合题意；
C、∵某不等式的解集是，
∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意；
D、∵某不等式的解集是，
∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意．
故选：C
10．A
【详解】解：，
故选：A．
11．A
【详解】解：∵，
∴，
∵，
，
故选：A．
12．A
【详解】解：
，
由于m为整数，则为4的倍数，从而能被4整除；
故选：A．
13．A
【详解】∵，，
∴ ．
∵，
∴ ，所以甲的结论正确．
在中，已知，，
∴ ．
， ， ，
所以与不平行，乙的结论错误．
综上，只有甲的正确，
故选：A．
14．B
【详解】解：由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，，
设经过次传输，可以结束程序，
∵，，
∴，
解得，
∵为正整数，
∴的值为，即经过次传输，可以结束程序，
故选：．
15．/
【详解】解：由题意得，为对顶角，
，
，
故答案为：．
16．
【详解】∵是方程的一个解，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．4
【详解】解：．
，
∴，
故答案为4.
18．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
19．2
【详解】∵，分别是的边，的中点，的面积为6，
∴，．
∵是中点，是中点，的面积为，的面积为，
∴，
∴
．
∴，即，
解得．
故答案为：2．
20．①②③
【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，
∴，故图①可以验证平方差公式；
图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，
∴，故图②可以验证平方差公式；
图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，
∴，故图③可以验证平方差公式；
图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，
∴，故图④不能验证平方差公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③，
故答案为：①②③．
21．(1)
(2)
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
22．；
【详解】解：
；
当时，原式．
23．，数轴见解析
【详解】解：，
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：；
在数轴上表示解集如图：
24．（1）EAD；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；EAD；两直线平行，内错角相等；（2）80°．
【详解】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD（两直线平行，同位角相等），
∵∠E＝∠DCE，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠EAD（两直线平行，内错角相等），
∴∠B＝∠D；
故答案为：EAD；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；EAD；两直线平行，内错角相等；
（2）解：∵∠E＝∠DCE，∠E＝50°，
∴AB∥CD，∠DCE＝50°，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCE＝100°，
∴∠B＝80°．
25．(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
解得，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购进A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，
由题意得，，
解得，，
∵A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元，
∴购买A型智能机器人越少，费用越少，
∴购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台时，费用最少．
答：应该购进A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
26．(1)
(2)①，理由见解析；②的度数为或
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
如图所示，设与交于点，

∵，
∴，
∵
，
∴；
②由（1）可知，，
当时，如图所示，设与交于点，

∵，
∴，
∵，
∴；
当时，如图所示，

∵，
∴，
∴；
当时，（舍，
综上，的度数为或．

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