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福建省泉州市洛江区2024-2025学年 七年级下学期期末数学试卷
一、单选题
1．若关于x的方程的解是，则a的值是(　　)
A． B． C．5 D．4
2．若，则下列式子不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得， ，那么的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，如图是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开后即得到图案）：
下列四副图案中，不能用上述方法剪出的是（ ）
A． B． C． D．
7．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（ ）

A．最大 B．最大 C．最大 D．四个一样大
10．如图，，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．将方程2x+y＝2变成用x的代数式表示y，则y＝ ．
12．“y的3倍与2的和不小于1” 用不等式表示： ．
13．一个正n边形的一个外角等于，则 ．
14．如图，是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好落在上，，则的度数是 ．
15．如图，将沿、翻折，顶点A、B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数是 ．
16．关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．解方程组：．
19．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
20．如图，在中，，点D、E分别在边、上．
(1)若，求证：；
(2)若，求证：．
21．某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分达到或超过15分才能获得决赛资格．一支球队现已比赛了5场，得8分．
(1)前5场比赛中，这支球队共胜了多少场？
(2)这支球队打满10场比赛，最高能得多少分？
(3)如果这支球队要获得参加决赛资格，那么在初赛阶段至少还要胜多少场？
22．尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）．

(1)如图1，已知，点M在线段上，沿着折叠，得到．点A落在边上的点N处． 求作点M和点N；
(2)如图2，绕点O旋转得到，点D，E，F的对应点分别是点，求作旋转中心点O．
23．已知关于的方程组的解都为正数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知，且，求z的取值范围．
24．实践与探究：
主 题 探究正多边形的密铺
素材1 密铺的概念：在数学中用形状、大小完全相同的几种平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺成一片，称为平面图形的密铺，或称为平面镶嵌．
素材2 密铺的条件：1．拼接在同一个点的各个角的和恰好是360度； 2．相邻的多边形边长相等（以下探讨的正多边形的边长都相等）．
素材3 正n边形的每个内角度数 边数34568101215每个内角
探 究 一 仅用一种正多边形密铺平面． 任务一：如果仅用一种正多边形能密铺平面，这样的正多边形有哪几种？
探 究 二 同时用两种正多边形密铺平面． 任务二：同一拼接点用x个正方形和y个正八边形可以密铺平面吗？如果可以请求出x、y的值，如果不能请说明理由．
探 究 三 同时用三种正多边形密铺平面． 任务三：请你根据素材3每种正多边形的内角度数，写出两组用三种正多边形密铺平面的组合．
探 究 四 用方程思想解释用一种正多边形密铺平面． 任务四：设正多边形的边数是n，每一个接点处的正多边形的数量为m，则有，整理得：，利用这个等式求出整数m、n的值．
25．在中，
(1)如图1，若，分别是的高，求证：；
(2)如图2，若，分别是的角平分线，与交于点O，，求的度数（用的代数式表示）；
(3)我们知道，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．如图3，若D，E，F分别是三边，，的中点，线段，，相交于点O，求证：．
参考答案
1．D
解：把代入中，得，
解得．
故选D．
2．D
解：A、由得，故A选项的式子正确，不符合题意；
B、由得，故B选项的式子正确，不符合题意；
C、由得，故C选项的式子正确，不符合题意；
D、由，，则不一定成立，故D选项的式子错误，符合题意．
故选：D．
3．A
解：，
解得，，
把不等式的解集在数轴上表示如下：
故选：A．
4．B
解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意；
．作出的是的边上的高线，故该选项符合题意；
．不能作出的高，故该选项不符合题意；
．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意；
故选：B．
5．A
解：∵， ，
∴，
即
只有A不在范围内，
故选：A．
6．C
解：由题意，剪出的图形一定是轴对称图形，且有两条过中心的相互垂直的对称轴，
A中，是轴对称图形，且有两条过中心的相互垂直的对称轴，所以可以剪出，故不符合题意；
B中，是轴对称图形，且有两条过中心的相互垂直的对称轴，所以可以剪出，故不符合题意；
C中，不是轴对称图形，所以不可以剪出，故符合题意；
D中，是轴对称图形，且有两条过中心的相互垂直的对称轴，所以可以剪出，故不符合题意；
故选：C．
7．A
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A
8．B
解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：B．
9．D
解：由平移可知，
中小路面积，
中小路面积，
中小路面积，
中小路面积，
∴四条小路面积大小一样，
故选：．
10．C
解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
故选：C
11．﹣2x+2
解：方程2x+y＝2，
解得：y＝﹣2x+2，
故答案为：﹣2x+2．
12．
解：“y的3倍与2的和不小于1” 用不等式表示：．
故答案为：
13．
解：∵正n边形的每个外角都相等，且所有的外角度数之和为360度，
∴，
故答案为：．
14．/20度
解：∵是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．/42度
解：根据折叠的性质可得，
，
，
故答案为：．
16．
解：在中，
解不等式①可得，
解不等式②可得，
由题意可知原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为，
∵该不等式组恰好有四个整数解，
∴整数解为0，1， 2，3，
故答案为：．
17．
解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
解得，
18．．
解：，
①+②得，5x＝5，解得x＝1；
把x＝1代入②得，2﹣y＝1，解得y＝1，
故此方程组的解为：．
19．，见解析
解：
解不等式①，得．
解不等式②，得
故不等式组的解集为
将不等式的解集表示在数轴上为：

20．(1)见解析
(2)见详解
（1）证明：∵，
∴
是的外角，
，
即：，
∴
即
（2）解：，，
．
，
，
又∵，
，
21．(1)3场
(2)18分
(3)2场
（1）解：设前5场，这支球队胜了x场，则负了场，
根据题意可得：，
解得：，
答：前5场比赛中，这支球队共胜了3场；
（2）解：若要得最高分，剩余5场必须全胜，最高分即为：（分）
答：这支球队打满10场比赛，最高能得18分；
（3）解：设这支球队在初赛阶段还要胜a场，
根据题意可得：，
解得：，
∴最小整数
答：支球队在初赛阶段至少还要胜2场．
22．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图，M、N为所求作的点．
（2）解：点O为所求作的点．
23．（1）a＞1；（2）-7＜z＜8
解：（1），
∴解得：，
由于该方程组的解都是正数，
∴，
解得：a＞1；
（2）∵a+b=4，
∴a=4-b，
∴，
解得：0＜b＜3，
∴z=2（4-b）-3b=8-5b，
∵-15<-5b<0,
∴-7＜8-5b＜8，
∴-7＜z＜8．
24．任务一：正三角形、正方形、正六边形；任务二：可以，，；任务三：见解析（答案不唯一）；任务四：或或
解：任务一：仅用一种正多边形能密铺平面，这样的正多边形有正三角形、正方形、正六边形；
任务二：同一拼接点用正方形和正八边形可以密铺平面．
依题意得，
整理得：
∵x、y均为正整数
∴
则同时用正方形和正八边形可以密铺平面，其中，．
任务三：用三种正多边形密铺平面的组合可以是：
1．正三角形、正方形、正十二边形；
2．正三角形、正方形、正六边形；
3．正方形、正六边形、正十二边形．(答案不唯一)
任务四：∵m、n均为正整数，
∴或或
解得或或
25．(1)见解析
(2)
(3)见解析
（1）证明：∵，分别是的高，
∴，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，分别是的角平分线，
∴，，
∴
，
∴
．
（3）证明：∵D是的中点，
∴，，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

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