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福建省泉州市永春县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．等边三角形 D．圆
4．某病毒的直径约为米，则数据可用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四边相等
6．一组数据从小到大排列为1，2，4，x，7，9．这组数据的中位数是5，则x的值为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
7．甲，乙两个工程队，甲队修路300米与乙队修路400米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修10米．若可列方程表示题中的等量关系，则方程中表示（ ）
A．甲队每天修路的长度 B．乙队每天修路的长度
C．甲队修路300米所用天数 D．乙队修路400米所用天数
8．如图，函数和的图象相交于点，则当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，点D从点A出发沿着线段运动到点B，过点D作于于F，连接，在整个运动过程中，下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（ ）
A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．一直变短 D．始终保持不变
10．如图，点F是菱形对角线上的一动点，点E在线段上，且，连接，设的长为，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象如图所示，则图象最低点的横坐标是（ ）
A． B．1 C． D．3
二、填空题
11．若代数式的值为0，则x= ．
12．在平行四边形中，，则 ．
13．在菱形中，对角线，，则菱形的周长为 ．
14．已知一组数据的方差，则 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
16．如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段的三等分点，连接、，则面积为 ．
三、解答题
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，四边形是平行四边形，E、F分别是上的点，．求证：．
20．某销售部共有21名营销员．为了制定某种商品的月销售定额，随机抽取了这21名营销员一个月的销售量，统计结果如下表：
每人销售件数 1650 510 250 245 150 140
人数 2 3 6 4 4 2
(1)直接写出这21位营销员该月销售量的中位数；
(2)你认为应从“平均数”、“中位数”两个统计量中选取哪一个作为月销售定额较为合适，说说你的理由．
21．已知函数，（为常数）．
(1)若该函数的图象与直线平行，求的值；
(2)若这个函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限，求的取值范围．
22．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.3万元，用15万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价分别是多少？
(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共20个，要求乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的3倍，若每个充电桩的安装费用为0.1万元，求该停车场安装好这批充电桩所需的最少总费用．
23．综合与实践：根据以下信息，探索完成任务．
如何设计窗户限位器位置
信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图．
信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如右示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，E，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点C与点A重合，和均落在上；当点O向点B滑动时，四边形始终为平行四边形，其中．
信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）．
问题解决
任务1 求解关键数量 （1）滑撑支架中的长度为____________，滑动轨道的长度是____________；
任务2 确定安装方案 （2）为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号）
24．已知直线（，为常数）过定点，且交轴于点，交轴于点．
(1)①求定点的坐标；
②求面积的最小值；
(2)若，点在内都且到各边距离之和为，问：是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1，在正方形中，E是线段上的一点，连接，过点A作于点G，交于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，在射线上取点P使，作的平分线交于点H，连接、，判断的形状，并说明理由；
(3)如图3，若E是的中点，在线段上取点N使，作的平分线交于点M，求出与满足的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．C
解：根据分式有意义的条件可知，
解得：，
故选C．
2．D
解：在平面直角坐标系中，点在第四象限，
故选D．
3．A
A. 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
B. 矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C. 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D. 圆既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
4．D
解：．
故选：D．
5．B
解：∵矩形的性质有：①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的两条对角线相互平分且相等；③矩形的两组对角分别相等，矩形四个角都为直角；
菱形的性质有：①菱形的两组对边分别平行，菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线相互平分且垂直，菱形的每一对角线分别平分一组对角；③菱形的两组对角分别相等；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质为：对角线相等，
故选：B．
6．D
解：根据题意得：，
解得：，
故选D．
7．B
解：设甲队每天修路的长度为米，则乙队每天修路的长度为米．甲队修300米所用时间为天，乙队修400米所用时间为天．根据题意，两者时间相等，故方程成立．
因此，方程中的表示乙队每天修路的长度，
故选：B．
8．C
解：函数和的图象相交于点，
将代入得：
，
且，
即反比例函数图像在直线上方且位于y轴左侧，由图像知：
故选：C
9．A
解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小，
∴点D从点A出发沿着线段运动到点B的过程中，则线段的值大小变化情况是先变短后变长．
故选：A．
10．B
解：如图1，连接，与交于点，
∵四边形是菱形，
∴点A，C关于对称，
∴，
∴，
当点A，F，E三点共线时，y取得最小值，最小值为的长，
设，则，
∴，
由函数图象得：当时，，此时；x的最大值为6，即，
∴，解得：，
∴，
如图3，连接交于点G，连接，过点E作于点H，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴
即，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
即图象最低点的横坐标是1．
故选：B
11．-2
解：根据题意，得
解得x=-2；
故答案是：-2．
12．120
解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵，
∴．
故答案为：120．
13．20
解：如图：在菱形中，对角线，，令对角线、相交于点，
，
则，，，
∴，
∴菱形的周长为，
故答案为：．
14．6
解：由于这组数据的方差，
∴平均数是6，共有5个数据
∴
∴．
故答案为：6．
15．
解：在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，
关于、的二元一次方程组的解是．
故答案为： ．
16．
解：∵C、D两点为线段的三等分点，
∴，即为的中点，
∴，
设，，
由中点坐标公式可得，，
代入反比例函数解析式可得：，
∴，
如图，作轴于，
则，，
∴，
∴面积为，
故答案为：．
17．
解：
．
18．，
解：原式
；
当时，
原式
．
19．见解析
解法一：证明：∵四边形是平行四边形
在和中
；
解法二：证明：∵四边形是平行四边形
又
∴四边形是平行四边形
．
20．(1)250
(2)中位数，理由见解析
（1）解：表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是250，故中位数是250；
（2）解：平均数是：
（件）；
选取中位数，250是大部分人能达到或经过努力能达到的定额，所以用中位数作为月销售定额比较合理．（或因为前面2人销售量与其他人相差太大，对平均数影响较大，所以用中位数作为月销售定额比较合理等）．
21．(1)
(2)
（1）解：∵函数的图象与直平行，
∴，
解得：．
（2）解：∵函数是一次函数，且该函数的图象不经过第二象限，
∴
解得：．
22．(1)甲、乙两种型号充电桩的单价分别是1.5万元和1.2万元
(2)27.5万元
（1）解：设乙型号充电桩的单价为x万元，则甲型号充电桩的单价为万元，
依题意得：，
解得：
经检验，为原方程的解，且符合题意；
答：甲、乙两种型号充电桩的单价分别是1.5万元和1.2万元．
（2）解：设甲型的充电桩购买x个，安装甲、乙型充电桩总费用为w万元，
则乙型的充电桩购买个，
依题意得：
解得：
又
随x的增大而增大，
又，
∴当时，w有最小值，
w最小（万元）
答：安装好这批充电桩所需的最少总费用是27.5万元．
23．（1）6，29；（2）
解：（1）∵四边形是平行四边形，，
∴；
∵窗户关闭时，点C与点A重合，和均落在上，
∴；
故答案为：6，；
解：（2）如图，过点E作于点G，假设点O滑动到点P，，
∵四边形是平行四边形，
∴；
在中，，
由勾股定理得；
在中，由勾股定理得，
∴．
答：限位器P应装在离点A的位置．
24．(1)①；②
(2)存在，
（1）解：①
直线过定点，与取值无关，
，
．
∴直线过定点．
②当定点P为中点时，面积最小
理由：对于，，如图：
令得，
令得，
即点的坐标为，点的坐标为，
，
即面积的最小值为24．
（2）解：，直线解析式为，
令得，令得，
即点的坐标为，点的坐标为，
故，，
在中，；
连结，，，设点的坐标为，
则
即
整理得，
即，
故；
∵以、、、四点为顶点的四边形是菱形，
情况一：若为边，点在内部，这样的菱形不存在；
情况二：若为对角线，取中点，则，
如图，四边形是菱形，
则，点是的中点，
∵，，，
∴
解得：；
，
∵点是的中点，，
．
25．(1)见解析
(2)等腰直角三角形，理由见解析
(3)，见解析
（1）证明：在正方形中，，，
，
，
，
，
又，，
；
（2）解：是等腰直角三角形
理由如下：设
平分，
，
又，，
，
，且，，
，
，
，
，
，
∴是等腰直角三角形
（3）解：，理由如下：连结，
，，，
，
，
，
，
平分，
在正方形中，，
，
，
又，
，
，
，即M、N、F三点共线
设正方形边长为，，则，，
为中点，由（1）得F为中点，
，
，，
在中，，，即
整理得：，又，
，即．

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