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山西省运城市盐湖区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．2025年世界读书日的主题是“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆的标志是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列由左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍
5．在中，已知，，，则的面积是（ ）
A．6 B． C．12 D．
6．分式方程的根是（ ）
A． B．无解 C． D．
7．如图，在中，，的平分线交于点，于点，若，，则的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．不等式的最大整数解是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．
9．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件中能够判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C．， D．，
10．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④．
正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．因式分解： ．
12．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ．
13．直线与正六边形的边分别相交于点，如图所示，则 ．
14．如图，在中，，，平分，是的中点，连接，则的周长为 ．
15．如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为 ．
三、解答题
16．（1）因式分解：
（2）解不等式组：
17．下面是小红化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
(1)化简过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是____，第二步变形的依据是______．
(2)上述解答过程中第______步开始出现错误．错误的原因是______．
(3)请写出正确的化简过程．
18．已知：如图，四边形是平行四边形，P，Q是对角线上的两个点，且．试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由．
19．在平面直角坐标系中，如图所示，
(1)请画出向右平移5个单位后得到的．
(2)经过一次旋转得到
①请直接写出旋转中心点P的坐标_______．
②经过怎样的旋转可以得到？
20．年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到月日全球票房超亿，登顶动画电影票房排行榜，五一假期小明一家自驾去哪吒传奇主题公园游玩．
(1)从小明家到主题公园的路程为千米，其中高速公路路段与普通公路路段的长度比为，已知高速公路行驶的平均速度是普通公路路段行驶速度的2倍，经过小时后到达目的地．求汽车在高速路段行驶的平均速度是多少？
(2)小明计划用不超过元购买《哪吒之魔童闹海》主题手办，哪吒手办单价元，敖丙手办单价元．他准备买一些送给表弟表妹，要求敖丙手办数量比哪吒手办多个．请问小明最多能买几个哪吒手办？
21．阅读与思考
下面是小明同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
利用尺规，过直线外一点作已知直线的平行线 今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知直线和外一点，请利用尺规作的平行线，使它经过点． 同学们以小组为单位展开了讨论． 勤学小组的作法如图2： ①在直线上任取一点，连接并延长至点，使， ②在直线上再取一点，连接， ③作的垂直平分线，交于点， ④作直线．则直线即为所求． 勤学小组的证明： ，点是的中点 是的垂直平分线，点是的中点 ∴是的中位线 ∴（依据 ），即 善思小组的作法如图3： ①在直线l上取点B，C两点，②作射线，③作的角平分线，④以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，⑤作直线．则直线即为所求． 善思小组的证明：……
(1)任务一：请补充上面证明过程中的“依据”：_______．
(2)任务二：请完成善思小组的证明过程．
(3)任务三：用不同于材料的方法过点A作直线l的平行线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
22．综合与实践
【问题呈现】如图1，是某数学兴趣小组的实践活动基地示意图，其中，垂足为O，三角形空地已用围墙围好，现计划用篱笆在空地中央围一个平行四边形区域（图2），使点分别在上，点F在上，经测量，采购员需要准备分割所用的篱笆和．
【数学建模】采购员以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，直接写出直线的函数表达式．
(2)①当米时，求点E的坐标．
②在①的基础上直接写出所需购买篱笆的总长（结果精确到1米，参考数据：）
23．综合与探究
【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行探究．
【探索发现】
（1）如图1，已知，，，，将点与重合，点与点重合，与交于点，发现此时线段，请尝试证明．
【猜想证明】
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点分别为，，当点落在线段上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
【深入探究】
（3）在旋转过程中，当时，直接写出线段的长度．
参考答案
1．A
解：由题意得：，
∴；
故选A．
2．B
解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
3．D
解：A. ，左边是乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法而非因式分解，故错误．
B. ，右边为乘积与常数相加的形式，未完全转化为积的形式，故错误．
C. ，左边是单项式与多项式的乘积，右边展开为多项式，属于整式乘法，故错误．
D. ，左边是二次多项式，右边分解为两个一次整式的乘积，符合因式分解的定义，故正确．
故选：D
4．A
解：，即分式的值不变．
故选：A．
5．D
解：如图，过点C作于E，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：D．
6．B
解：两边同时乘以得，
解得：，
经检验：是原方程的增根，
∴原方程无解，
故选：B．
7．A
解：在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：A．
8．B
解：
去分母：两边同乘6，得：
展开并整理：
合并同类项：
两边减2：
确定最大整数解：满足的最大整数是4，
故选：B
9．B
解：A、，，根据一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，故该选项不符合题意；
B、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，故该选项符合题意；
C、，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
故选：B．
10．C
解：，，，
，
是直角三角形，且，
，故①正确；
，，都是等边三角形，
，，，，
，，
即，，
在与中，
，
，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
四边形是平行四边形，故③正确；
，故②正确；
过作于，则，
四边形是平行四边形，
，
，
，故④错误；
正确的有个，
故选：C．
11．
解：，
故答案为：．
12．
解：∵一次函数与的图象相交于点，
根据图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的下方，
∴不关于x的不等式的解集是：，
故答案为：．
13．/120度
解：∵是正六边形，
∴正六边形的各内角相等，
∴．
∵正六边形的内角和为：，
∴．
在四边形中，，
∴
．
∵，，
∴．
故答案为：．
14．
解：∵，平分，
∴，，
∴，
∵E是的中点，，
∴是的中位线，，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
15．3
解：连接，
由平移的性质得到，，
∴，，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
16．（1）；（2）
解：（1）
=
=
=
=；
（2）解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
17．(1)完全平方公式；分式的基本性质
(2)三；括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号
(3)见解析
（1）解：观察解答过程可得，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是完全平方公式，第二步变形的依据是分式的基本性质；
故答案为：完全平方公式，分式的基本性质；
（2）解：观察解答过程知，解答过程中第三步开始出现错误．
错误的原因是括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
故答案为：三，括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
（3）解：
．
18．，，见解析
解：，，理由如下：
方法一：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
∴．
方法二：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，，
∴．
方法三：
连接与交于点O，连接，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
19．(1)见解析
(2)①；②绕点逆时针旋转可以得到
（1）解：如图，即为所求，
（2）①旋转中心点P的坐标为，
故答案为：
②由题意可得，绕点逆时针旋转可以得到
20．(1)千米时；
(2)个．
（1）解：设汽车在普通公路路段行驶的平均速度为千米时，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合实际，
（千米时）
答：汽车在高速公路路段行驶的平均速度为千米时；
（2）解：设小明购买了个哪吒手办，
根据题意，得，
解得：，
∵为正整数且取最大值，
∴，
答：小明最多能买个哪吒手办．
21．(1)三角形的中位线定理
(2)见解析
(3)见解析
（1）解：任务一：证明过程中的“依据”：三角形的中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半），
故答案为：三角形的中位线定理；
（2）解：任务二：由作图可知：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，即；
（3）解：任务三：
如图4，直线m即为所求作的直线．（方法不唯一）．
22．(1)见解析，；
(2)①；②
（1）解：画出直角坐标系如图，
∵，
∴，
设直线的表达式为，把代入得到，
，
解得，
∴直线的表达式为，
设直线的表达式为，把代入得到，
，
解得，
∴直线的表达式为，
（2）①设点D的坐标为，
∵轴，，
∴,
∵在直线上，
∴，
解得，
∴
②∴由①知，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴所需购买篱笆的总长为．
23．（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）或
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
由旋转得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）如图3，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，，
∴，
∵，
∴，
∴，C，B三点共线，
过作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图4，将绕点逆时针旋转，点D，F的对应点分别为，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴C，B，三点共线，
∴过作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，线段的长度为或．

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