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陕西省渭南市临渭区2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷
一、单选题
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．am＞an B． C．m2＞n2 D．c﹣m＜c﹣n
3．下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各命题的逆命题不成立的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．如果两个角是直角，那么它们相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．如果两个实数相等，那么它们的立方相等
5．如图，四边形中，，，且、的角平分线、分别交于点E、F，与交于点G．若，，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．如图是一次函数的图象，则下列结论中，错误的是（ ）

A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
7．若关于x的分式方程有增根，则a的值是 （ ）
A． B． C．0 D．1
8．如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，连接CP．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则 ．
10．用反证法证明“等腰三角形的两个底角小于”，先应假设 ．
11．如图，将沿直线向右平移得到，连接，若的周长为9，四边形的周长为15，则平移的距离为 ．

12．一个多边形的内角和与它的外角和之比为，则这个多边形的边数是 ．
13．在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ．
三、解答题
14．解不等式组并将解集表示在数轴上：
15．因式分解：
(1)；
(2)．
16．先化简，再从，，中选择一个适当的数代入求值．
17．解方程：．
18．如图，已知在中，．请利用尺规在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
19．如图，的延长线于点，于点，，连接、和，．求证：是的平分线．
20．如图，各顶点的坐标分别为，，．
(1)平移，使其顶点平移到点，画出平移后的；（点、的对应点分别为点、）
(2)将绕点顺时针旋转，点的对应点是，得到，请画出，并写出的坐标．
21．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．国家“双减”政策实施后，某校为了发展棋社，决定增添副中国象棋．文具店中国象棋的标价为40元/副，现推出优惠活动，方案如下：
方案一：购买中国象棋超过20副时，超过部分每副打六折；
方案二：不论购买多少副中国象棋，全部按八折销售．
(1)设按照方案一购买的总费用为，按照方案二购买的总费用为，请分别写出，与之间的关系式；
(2)学校怎样选择购买方案更划算？
22．如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，点是上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
23．端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍.
（1）求、两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？
24．如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若求的度数．
25．如图，直线：与直线：交于点，与x轴交于点B，与x轴交于点C．

(1)求直线和直线的表达式；
(2)点P是y轴上一点，点Q是直线上一点，以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且，求点Q的坐标．
26．问题提出：（1）如图①，在，，，点D是边上一点，若平分的面积，则______；
问题拓展：（2）如图②，在平行四边形中，，，，点E在边上，且，点F在边上，若将平行四边形的面积平分，求线段的长度；
问题应用：（3）张伯伯有一块空地，如图③，四边形为空地的示意图，经测量，，，．张伯伯计划在空地内种植花卉，并且过点C修一条笔直的小路将四边形的面积平分，请问是否存在这样的路？若存在，请求出这条路的长度；若不存在，请说明理由．

参考答案
1．D
解：A、不是中心对称图形，不符合题意，该选项错误；
B、不是中心对称图形，不符合题意，该选项错误；
C、不是中心对称图形，不符合题意，该选项错误；
D、是中心对称图形，符合题意，该选项正确；
故选：D．
2．D
解：A．m＞n，当时am＜an，故本选项不合题意；
B．∵m＞n，∴，故本选项不合题意；
C．m＞n，当时，m2＜n2，故本选项不合题意；
D．∵m＞n，∴﹣m＜﹣n，∴c﹣m＜c﹣n，故本选项符合题意．
故选：D．
3．C
解：A、是整式的乘法，不符合题意；
B、等式的右边不是积的形式，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、等式右边不是整式，不符合题意；
故选C．
4．B
解：A.、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意；
B、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角是直角，那么这两个角相等，不成立，符合题意；
C、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两角互余的三角形是直角三角形，成立，不符合题意；
D、如果两个实数相等，那么它们的立方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，成立，不符合题意．
故选：B．
5．C
解：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵、的角平分线分别为、，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：C
6．C
解：由图象可知，一次函数与的交点为，与的交点为，
A、当时，，选项正确，不符合题意；
B、当时，，选项正确，不符合题意；
C、当时，，选项错误，符合题意；
D、当时，，选项正确，不符合题意；
故选C．
7．A
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵分式方程有增根，
∴，即，
∴，
∴，
故选A．
8．D
解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，①正确；
过P作于M，于N，于S，
∵平分，平分，
∴，
∵，②正确；
∵，平分，
∴垂直平分（三线合一），③正确；
∵，
∴，
∵，，，
∴平分，
∴，
∴，④正确．
综上，正确的有4个，
故选：D．
9．5
解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴．
故答案为：5．
10．等腰三角形的两个底角大于或等于
解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设等腰三角形的两个底角大于等于，
故答案为：等腰三角形的两个底角大于等于．
11．3
解：∵的周长为9，
∴．
∵四边形的周长为15，
∴，
∴．
由平移可知，，
∴，即，
∴，
∴，即平移的距离为3．
故答案为：3．
12．8
解：设多边形的边数是n，则
，
整理得，
解得．
故答案为：8．
13．/2.4/
解：连接，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
当时，的值最小，此时的值也最小，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．，数轴表示见解析
解：，
解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集是，
不等式组的解集在数轴上表示为：
15．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
；
16．，当时，原式
解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式．
17．
解：方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
18．见解析
解：点如图所示．
19．证明见解析
证明：∵的延长线于点，于点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴点在的平分线上，
∴是的平分线．
20．(1)画图见解析
(2)画图见解析，点的坐标为
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为．
21．(1)；
(2)购买中国象棋40副时，两种方案总费用相同；购买中国象棋少于40副时，方案二划算；购买中国象棋多于40副时，方案一划算．
（1）解：由题意可得，，
，
即，与之间的关系式分别为；
（2）解：当时，，解得，
即购买中国象棋40副时，两种方案总费用相同；
当时，，解得，
即购买中国象棋少于40副时，方案二划算；
当时，，解得，
即购买中国象棋多于40副时，方案一划算；
综上可知，购买中国象棋40副时，两种方案总费用相同；购买中国象棋少于40副时，方案二划算；购买中国象棋多于40副时，方案一划算．
22．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：在中，，，
∴，
∵是边上的中线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（l）种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元；（2）种粽子最多能购进1000个.
（l）设种粽子的单价为元，则种粽子的单价为元
根据题意，得
解得：
经检验，是原方程的根
所以种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元
（2）设种粽子购进个，则购进种粽子个
根据题意，得
解得
所以，种粽子最多能购进1000个
24．(1)见解析
(2)
（1）证明：在中，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵
∴
∴．
25．(1)直线：；直线：
(2)或
（1）解：将代入中，得，则，
∴直线：；
将代入中，得，则，
∴直线：；
（2）解：令，则，∴，
设，，
如图，∵，
∴点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，有两种情况：

若为对角线，则平行四边形中，，
解得，则，
∴；
若为对角线，则平行四边形中，，
解得，则，
∴，
综上，满足条件的点Q坐标为或．
26．（1）12；（2）的长为；（3）存在，这条路的长度为
（1）解：由题意知，是的中线，如图①，

∵，，
∴，，
由勾股定理得，
故答案为：12；
（2）解：∵平行四边形，将平行四边形的面积平分，
∴，，
如图②，过作于，过作于，则四边形为矩形，

∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴的长度为；
（3）解：如图③，延长，交点为，

∵，，
∴，，，
∵，
∴，，
设，则，
由勾股定理得，即，解得，
∴，，
同理，则，
∴，
∴，
如图③，过作于，
∴，则，
由勾股定理得，
∵，
∴，解得，
∴，
由勾股定理得，
∴存在，这条路的长度为．

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