资源简介

甘肃省定西市2024年中考数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（2024·定西）下列各数中，比小的数是（　　）
A． B． C．4 D．1
2．（2024·定西）如图所示，该几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·定西）若，则的补角为 （　　）
A． B． C． D．
4．（2024·定西）计算： （　　）
A．2 B． C． D．
5．（2024·定西）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（2024·定西）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·定西）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·定西）近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016—2023年中国农村网络零售额情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（　　）
A．2023年中国农村网络零售额最高
B．2016年中国农村网络零售额最低
C．2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加
D．从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元
9．（2024·定西）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（　　）
A．一亩八十步 B．一亩二十步
C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
10．（2024·定西）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024·定西）因式分解： 　 　.
12．（2024·定西）已知一次函数，当自变量时，函数的值可以是　 　(写出一个合理的值即可).
13．（2024·定西）定义一种新运算*，规定运算法则为：*(均为整数，且).例：，则　 　.
14．（2024·定西）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点　 　的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
15．（2024·定西）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车　 　完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
16．（2024·定西）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是　 　．（结果用π表示）
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024·定西）计算：.
18．（2024·定西）解不等式组：
19．（2024·定西）先化简，再求值：，其中.
20．（2024·定西）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长交于点C；
即点A，B，C将的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______．
21．（2024·定西）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗 请说明理由.
22．（2024·定西）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（2024·定西）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
选手 统计量 甲 乙 丙
平均数 m
中位数 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：_______，_______；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手_______发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．
24．（2024·定西）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，求的面积．
25．（2024·定西）如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）当的半径为2，时，求的值．
26．（2024·定西）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
27．（2024·定西）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长．
（3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，，且1<2<4，
∴，
∴四个数中比小的数是，
故答案为：B．
【分析】根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行判断并解答即可．
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看得到的图形是：
故答案为：C．
【分析】几何体的主视图，就是从正面看得到的正投影，看得见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】补角
【解析】【解答】解：，
的补角为180°-55°=125°.
故答案为：D.
【分析】根据和为 180°的两个角互为补角求解即可.
4．【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据同分式的加减法则“同分母分式的减法，分母不变，分子相减”计算即可.
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ OA=OB=OC=AC，
∵ ∠ABD=60°，
∴ △AOB为等边三角形，
∴ AO=OB=AB=2，
∴ AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可知，根据等边三角形的判定与性质可可得AO=AB，即可求得.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理可得，利用垂直的定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余解题即可．
7．【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，
∴，
故答案为：B．
【分析】先得到小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽得到解析式即可．
8．【答案】D
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】根据统计图信息可知，即，所以2016-2023年零食额逐年增加，2016年最低，2023年最高，从2021年开始，零售额突破20000亿元，故ABC项不符合题意，D项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据统计图获取信息即可求得．
9．【答案】D
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，
故对应的是半亩八十四步，
故答案为：D．
【分析】根据可知坐标与位置的关系，即可求得（12，17）.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：结合图象，得到当时，，
当点P运动到点B时，，
根据菱形的性质，得，
故，
当点P运动到中点时，的长为，
故选C．
【分析】当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可.
12．【答案】-3(答案不唯一，合理即可)
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：自变量 ，
当x=3.5时，y=-2×3.5+4=-3.
故答案为：-3(答案不唯一，合理即可).
【分析】根据自变量，选取一个符合条件的x的值代入计算即可.(答案不唯一，合理即可)
13．【答案】8
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：*，
.
故答案为：8.
【分析】根据新定义运算法则列出常规式子，再根据含乘方的有理数的混合运算的运算法则计算即可.
14．【答案】A或C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以，
故答案为：A或C．
【分析】根据轴对称图形的定义，即可求得.
15．【答案】能
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴ Xc=6-4=2，
将x=2代入中，，
∵，
∴ 可判定货车能完全停到车棚内.
故答案为：能．
【分析】先计算当时，y的值，再将其与1.8比较，即可求得.
16．【答案】3000π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵圆心角，，，
∴阴影部分的面积是
故答案为：3000π．
【分析】根据扇形面积公式“”及S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，列式计算可得答案.
17．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先将第一个二次根式化简，同时计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可.
18．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先根据解不等式的步骤分别求出每个不等式的解集，再根据 “大小小大中间找”求出不等式组的解集即可．
19．【答案】解：
当时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式及平方差公式展开小括号，再合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则算出最简结果，最后再把a、b的值代入计算即可.
20．【答案】（1）解：根据基本作图的步骤，作图如下：
则点A，B，C是求作的的圆周三等分点．
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：（2）连接，设的交点为D，
根据垂径定理得到，
∵的半径为，是直径，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可；
（2） 连接AM，设AB、OM的交点为D，由垂径定理的推论“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得到AD⊥OM，根据等弧所对的弦相等得AB=AC=BC，由三边相等的三角形是等边是哪些得△ABC是等边三角形，由直径所对的圆周角是直角得∠CAM=90°，再根据同弧所对的圆周角相等得∠M=∠B=60°，然后根据∠M的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AC的长，最后根据三角形周长计算公式列式计算即可．
（1）根据基本作图的步骤，作图如下：
则点A，B，C是求作的的圆周三等分点．
（2）连接，设的交点为D，
根据垂径定理得到，
∵的半径为，是直径，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
21．【答案】（1）解：列表如下：
乙 甲 1 2 3 4
1 　 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） 　 （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） 　 （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） 　
或画树状图如下：
共有12种等可能的情况，两球上的数字之和为奇数的情况有8种，
甲获胜.
（2）解：游戏规则对甲乙双方不公平
甲获胜乙获胜.
，
游戏规则对甲乙双方不公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）先根据题意画出树状图或列出表格，然后根据树状图或表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式计算即可；
（2）根据树状图或表格求出乙获胜的概率，比较大小即可解答.
22．【答案】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴；
设，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴风电塔筒的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】过点D作DG⊥AH于G，连接FG，则四边形CDGH是矩形，由矩形对边相等得GH=CD=1.6m，DG=CH，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形”得出四边形EFGH是矩形，由矩形的对边相等（四个角都是直角）得FG=HE，∠HGF=90°，则可证D、G、F三点共线，得到DF=DG+FG=CH+HE=182cm；设AG=xm，在Rt△ADG中，由∠ADG的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出DG=xm，在Rt△AFG中，由∠AFG的正切函数求出，然后根据DG+FG=182建立方程，求解得出x的值，从而得到AG的长，最后根据AH=AG+HG即可得到答案.
23．【答案】（1）；
（2）甲
（3）解：甲选手，理由：甲的中位数和平均数都比丙的大，甲的成绩稳定性比丙好，并且甲的中位数比乙的大，
∴ 应该推荐甲选手
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：（1）由题意得，；
把丙的五次成绩按照从低到高排列为：，
∴丙成绩的中位数为分，即；
（2）由统计图可知，甲的成绩的波动比丙的成绩的波动小，即选手甲发挥的稳定性更好，
故答案为：（1）；；（2）甲；
【分析】（1）根据平均数与众数的定义直接计算即可；
（2）根据统计图可知数据的波动性，即可求得.
（3）从平均数，中位数和稳定性来分析，即可求得.
（1）解：由题意得，；
把丙的五次成绩按照从低到高排列为：，
∴丙成绩的中位数为分，即；
故答案为：；；
（2）解：由统计图可知，甲的成绩的波动比丙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好，
故答案为：甲；
（3）解：应该推荐甲选手，理由如下：
甲的中位数和平均数都比丙的大，且甲的成绩稳定性比丙好，甲的中位数比乙的大，
∴应该推荐甲选手．
24．【答案】（1）解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数的解析式为；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵轴，，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在中，当时，，即；
在中，当时，，即；
∴，
∵，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先根据一次函数图象的平移规律“左加右减自变量，上加下减很数值”得平移后一次函数的解析式为y=ax+3，再把点A的坐标分别代入y=ax+3与 ，可求出a及k的值，从而得到两函数的解析式；
（2）根据点的坐标与图形性质可得点C、D的纵坐标都为2，然后将y=2分别代入（1）所求的一次函数及反比例函数的解析式算出对应的自变量x的值，可得点C、D的坐标，进而根据两点间的距离公式算出CD，再根据三角形面积计算公式求解即可．
（1）解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数的解析式为；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵轴，，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在中，当时，，即；
在中，当时，，即；
∴，
∵，
∴．
25．【答案】（1）证明：∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为2，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；求正切值；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由垂径定理的推论“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OB垂直平分CD，得出∠AFD=90°，由同位角相等，两直线平行得出CD∥BE，进而再根据两直线平行，同位角相等得出∠ABE=∠AFD=90°，从而根据垂直半径外端点的直线是圆的切线可得结论；
（2）由直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC的长，根据正切三角函数定义求出∠ABC的正切值，由等弧所对的圆周角相等及等量代换可得∠ADC=∠ABC=∠E，最后根据等角的同名三函数值相等可得答案.
（1）证明：连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴点O、B在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为2，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．【答案】（1），理由如下：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接证明，即可证明；
（2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：，，即有，，进而可得，即可证；
（3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．
27．【答案】（1）解：设抛物线，
把代入，，解得，，
∴
（2）解：∵顶点为，点C为的中点，
∴，
∵，
∴轴，
∴E的横坐标为1，
当时，，即．
∴
（3）解：①∵四边形是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，即yF=，
∵点F落在抛物线上，
∴，
解得，，(舍去)；
故．
②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，如图，
则四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
故当三点共线时，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延长交y轴于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的顶点式，再将代入解析式求出a，即可求得；
（2）先求出C点坐标，再求得点E的纵坐标，作差即可求得CE的长；
（3）①根据平行四边形的性质可得yF=，根据点F落在抛物线上，求得XF即可；
②过点B作BN⊥y轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可．
（1）∵抛物线的顶点坐标为．
设抛物线，
把代入解析式，得，
解得，
∴．
（2）∵顶点为．点C为的中点，
∴，
∵，
∴轴，
∴E的横坐标为1，
设，
当时，，
∴．
∴．
（3）①根据题意，得，
∵四边形是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，
设，
∵点F落在抛物线上，
∴，
解得，(舍去)；
故．
②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，
则四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
故当三点共线时，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延长交y轴于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故的最小值是．
1 / 1甘肃省定西市2024年中考数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（2024·定西）下列各数中，比小的数是（　　）
A． B． C．4 D．1
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵，，，且1<2<4，
∴，
∴四个数中比小的数是，
故答案为：B．
【分析】根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行判断并解答即可．
2．（2024·定西）如图所示，该几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看得到的图形是：
故答案为：C．
【分析】几何体的主视图，就是从正面看得到的正投影，看得见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此逐一判断得出答案.
3．（2024·定西）若，则的补角为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】补角
【解析】【解答】解：，
的补角为180°-55°=125°.
故答案为：D.
【分析】根据和为 180°的两个角互为补角求解即可.
4．（2024·定西）计算： （　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据同分式的加减法则“同分母分式的减法，分母不变，分子相减”计算即可.
5．（2024·定西）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ OA=OB=OC=AC，
∵ ∠ABD=60°，
∴ △AOB为等边三角形，
∴ AO=OB=AB=2，
∴ AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可知，根据等边三角形的判定与性质可可得AO=AB，即可求得.
6．（2024·定西）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理可得，利用垂直的定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余解题即可．
7．（2024·定西）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，
∴，
故答案为：B．
【分析】先得到小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽得到解析式即可．
8．（2024·定西）近年来，我国重视农村电子商务的发展．下面的统计图反映了2016—2023年中国农村网络零售额情况．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（　　）
A．2023年中国农村网络零售额最高
B．2016年中国农村网络零售额最低
C．2016—2023年，中国农村网络零售额持续增加
D．从2020年开始，中国农村网络零售额突破20000亿元
【答案】D
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】根据统计图信息可知，即，所以2016-2023年零食额逐年增加，2016年最低，2023年最高，从2021年开始，零售额突破20000亿元，故ABC项不符合题意，D项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据统计图获取信息即可求得．
9．（2024·定西）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（　　）
A．一亩八十步 B．一亩二十步
C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
【答案】D
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，
故对应的是半亩八十四步，
故答案为：D．
【分析】根据可知坐标与位置的关系，即可求得（12，17）.
10．（2024·定西）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：结合图象，得到当时，，
当点P运动到点B时，，
根据菱形的性质，得，
故，
当点P运动到中点时，的长为，
故选C．
【分析】当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，即可求出答案.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024·定西）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可.
12．（2024·定西）已知一次函数，当自变量时，函数的值可以是　 　(写出一个合理的值即可).
【答案】-3(答案不唯一，合理即可)
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：自变量 ，
当x=3.5时，y=-2×3.5+4=-3.
故答案为：-3(答案不唯一，合理即可).
【分析】根据自变量，选取一个符合条件的x的值代入计算即可.(答案不唯一，合理即可)
13．（2024·定西）定义一种新运算*，规定运算法则为：*(均为整数，且).例：，则　 　.
【答案】8
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：*，
.
故答案为：8.
【分析】根据新定义运算法则列出常规式子，再根据含乘方的有理数的混合运算的运算法则计算即可.
14．（2024·定西）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点　 　的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
【答案】A或C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以，
故答案为：A或C．
【分析】根据轴对称图形的定义，即可求得.
15．（2024·定西）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车　 　完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴ Xc=6-4=2，
将x=2代入中，，
∵，
∴ 可判定货车能完全停到车棚内.
故答案为：能．
【分析】先计算当时，y的值，再将其与1.8比较，即可求得.
16．（2024·定西）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是　 　．（结果用π表示）
【答案】3000π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵圆心角，，，
∴阴影部分的面积是
故答案为：3000π．
【分析】根据扇形面积公式“”及S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，列式计算可得答案.
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024·定西）计算：.
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先将第一个二次根式化简，同时计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可.
18．（2024·定西）解不等式组：
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先根据解不等式的步骤分别求出每个不等式的解集，再根据 “大小小大中间找”求出不等式组的解集即可．
19．（2024·定西）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：
当时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式及平方差公式展开小括号，再合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则算出最简结果，最后再把a、b的值代入计算即可.
20．（2024·定西）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长交于点C；
即点A，B，C将的圆周三等分．
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______．
【答案】（1）解：根据基本作图的步骤，作图如下：
则点A，B，C是求作的的圆周三等分点．
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：（2）连接，设的交点为D，
根据垂径定理得到，
∵的半径为，是直径，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可；
（2） 连接AM，设AB、OM的交点为D，由垂径定理的推论“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得到AD⊥OM，根据等弧所对的弦相等得AB=AC=BC，由三边相等的三角形是等边是哪些得△ABC是等边三角形，由直径所对的圆周角是直角得∠CAM=90°，再根据同弧所对的圆周角相等得∠M=∠B=60°，然后根据∠M的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AC的长，最后根据三角形周长计算公式列式计算即可．
（1）根据基本作图的步骤，作图如下：
则点A，B，C是求作的的圆周三等分点．
（2）连接，设的交点为D，
根据垂径定理得到，
∵的半径为，是直径，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
21．（2024·定西）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗 请说明理由.
【答案】（1）解：列表如下：
乙 甲 1 2 3 4
1 　 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） 　 （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） 　 （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） 　
或画树状图如下：
共有12种等可能的情况，两球上的数字之和为奇数的情况有8种，
甲获胜.
（2）解：游戏规则对甲乙双方不公平
甲获胜乙获胜.
，
游戏规则对甲乙双方不公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）先根据题意画出树状图或列出表格，然后根据树状图或表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式计算即可；
（2）根据树状图或表格求出乙获胜的概率，比较大小即可解答.
22．（2024·定西）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
【答案】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴；
设，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴风电塔筒的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】过点D作DG⊥AH于G，连接FG，则四边形CDGH是矩形，由矩形对边相等得GH=CD=1.6m，DG=CH，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形”得出四边形EFGH是矩形，由矩形的对边相等（四个角都是直角）得FG=HE，∠HGF=90°，则可证D、G、F三点共线，得到DF=DG+FG=CH+HE=182cm；设AG=xm，在Rt△ADG中，由∠ADG的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出DG=xm，在Rt△AFG中，由∠AFG的正切函数求出，然后根据DG+FG=182建立方程，求解得出x的值，从而得到AG的长，最后根据AH=AG+HG即可得到答案.
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（2024·定西）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：
信息一：甲、丙两位选手的得分折线图：
信息二：选手乙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下：
选手 统计量 甲 乙 丙
平均数 m
中位数 n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：_______，_______；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手_______发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
（3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）甲
（3）解：甲选手，理由：甲的中位数和平均数都比丙的大，甲的成绩稳定性比丙好，并且甲的中位数比乙的大，
∴ 应该推荐甲选手
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：（1）由题意得，；
把丙的五次成绩按照从低到高排列为：，
∴丙成绩的中位数为分，即；
（2）由统计图可知，甲的成绩的波动比丙的成绩的波动小，即选手甲发挥的稳定性更好，
故答案为：（1）；；（2）甲；
【分析】（1）根据平均数与众数的定义直接计算即可；
（2）根据统计图可知数据的波动性，即可求得.
（3）从平均数，中位数和稳定性来分析，即可求得.
（1）解：由题意得，；
把丙的五次成绩按照从低到高排列为：，
∴丙成绩的中位数为分，即；
故答案为：；；
（2）解：由统计图可知，甲的成绩的波动比丙的成绩的波动小，则选手甲发挥的稳定性更好，
故答案为：甲；
（3）解：应该推荐甲选手，理由如下：
甲的中位数和平均数都比丙的大，且甲的成绩稳定性比丙好，甲的中位数比乙的大，
∴应该推荐甲选手．
24．（2024·定西）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数的解析式为；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵轴，，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在中，当时，，即；
在中，当时，，即；
∴，
∵，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先根据一次函数图象的平移规律“左加右减自变量，上加下减很数值”得平移后一次函数的解析式为y=ax+3，再把点A的坐标分别代入y=ax+3与 ，可求出a及k的值，从而得到两函数的解析式；
（2）根据点的坐标与图形性质可得点C、D的纵坐标都为2，然后将y=2分别代入（1）所求的一次函数及反比例函数的解析式算出对应的自变量x的值，可得点C、D的坐标，进而根据两点间的距离公式算出CD，再根据三角形面积计算公式求解即可．
（1）解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数的解析式为；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵轴，，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在中，当时，，即；
在中，当时，，即；
∴，
∵，
∴．
25．（2024·定西）如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）当的半径为2，时，求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为2，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；求正切值；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由垂径定理的推论“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OB垂直平分CD，得出∠AFD=90°，由同位角相等，两直线平行得出CD∥BE，进而再根据两直线平行，同位角相等得出∠ABE=∠AFD=90°，从而根据垂直半径外端点的直线是圆的切线可得结论；
（2）由直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC的长，根据正切三角函数定义求出∠ABC的正切值，由等弧所对的圆周角相等及等量代换可得∠ADC=∠ABC=∠E，最后根据等角的同名三函数值相等可得答案.
（1）证明：连接，，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴点O、B在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为2，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．（2024·定西）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由如下：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接证明，即可证明；
（2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：，，即有，，进而可得，即可证；
（3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．
27．（2024·定西）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长．
（3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接，，求的最小值．
【答案】（1）解：设抛物线，
把代入，，解得，，
∴
（2）解：∵顶点为，点C为的中点，
∴，
∵，
∴轴，
∴E的横坐标为1，
当时，，即．
∴
（3）解：①∵四边形是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，即yF=，
∵点F落在抛物线上，
∴，
解得，，(舍去)；
故．
②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，如图，
则四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
故当三点共线时，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延长交y轴于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的顶点式，再将代入解析式求出a，即可求得；
（2）先求出C点坐标，再求得点E的纵坐标，作差即可求得CE的长；
（3）①根据平行四边形的性质可得yF=，根据点F落在抛物线上，求得XF即可；
②过点B作BN⊥y轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可．
（1）∵抛物线的顶点坐标为．
设抛物线，
把代入解析式，得，
解得，
∴．
（2）∵顶点为．点C为的中点，
∴，
∵，
∴轴，
∴E的横坐标为1，
设，
当时，，
∴．
∴．
（3）①根据题意，得，
∵四边形是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，
设，
∵点F落在抛物线上，
∴，
解得，(舍去)；
故．
②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，
则四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
故当三点共线时，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延长交y轴于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故的最小值是．
1 / 1

展开更多......

收起↑