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贵州省贵阳市南明区贵州师范大学贵安新区附属初级中学2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分，每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（2025·南明模拟）下列各数中最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
2．（2025·南明模拟）下列是四个高校校徽的主体标识，其图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·南明模拟）计算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·南明模拟）一元二次方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2025·南明模拟）不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·南明模拟）四名运动员参加了射击预选赛，他们测试成绩的平均数x及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
8.4 9.2 9.2 8.5
1 1 1.1 1.7
如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去复赛，那么应选（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2025·南明模拟）如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（　　）
A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x=
8．（2025·南明模拟）如图，与相交于点C，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·南明模拟）已知一个不透明的箱子里有红球、黑球共六个，且小球除颜色外其余完全相同，若小明摸到红球的概率为，则黑球的数量为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025·南明模拟）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”大意为：“甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走100步，乙走60步．现在乙先走100步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？设甲走了x步才追上乙，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·南明模拟）如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·南明模拟）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析结论：①；②抛物线与x轴的另一个交点为；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．（2025·南明模拟）因式分解：2a2﹣8=　 　．
14．（2025·南明模拟）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为　 　．
15．（2025·南明模拟）如图，在中，以点D为圆心，以一定长度为半径作弧，与边交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接交于点E，若，则的长为　 　．
16．（2025·南明模拟）如图，在中，，点E在边上，，，交的延长线于点D，若，则的长为　 　．
　
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·南明模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，选择一个合适的整数m代入求值．
18．（2025·南明模拟）为落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩（成绩满分100分），绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
组别 分数 人数
A组 4
B组
C组 10
D组
E组 14
合计
（1）本次共调查了多少名学生？C组所在扇形的圆心角为多少度？
（2）该校共有学生1800人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？
（3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为，，，，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到，的概率．
19．（2025·南明模拟）如图，在中，，D是边上一点，连接，E，F分别为，的中点，连接，，．下面是两位同学的说法：
小星：根据题目条件，若添加条件，则可证明四边形是平行四边形． 小红：根据题目条件，若添加条件，则可证明四边形是平行四边形．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）在（1）的结论下，若，，求的长．
20．（2025·南明模拟）森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中去．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点A的北偏东方向的B处发生火灾，防火员从卡点A去火灾处救援有两种方案．
方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800 m到达离B点最近的C处再跑步到B点救援；
方案2：防火员从卡点A直接跑步前往B处救援．若防火员的跑步速度，骑车的速度为．
（1）的长约为_____m（结果保留根号）；
（2）防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由．
21．（2025·南明模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）若P是线段上一点，过点P作y轴的垂线交反比例函数图象于点Q，连接，当时，求点Q的坐标．
22．（2025·南明模拟）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期，为丰富学生的课后活动，某中学准备为社团购买A，B两种型号的“文房四宝”，通过市场调研得知：A种型号“文房四宝”的单价比B种型号“文房四宝”的单价多100元，且用22500元购买A种型号“文房四宝”的数量是用10000元购买B种型号“文房四宝”数量的1.5倍．
（1）求A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？
（2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A，B两种型号“文房四宝”共30个，求该学校最多购买的A种型号“文房四宝”的数量．
23．（2025·南明模拟）如图，内接于，过点B作的切线，交直径的延长线于点E．
（1）若，则 ；
（2）求证：；
（3）若，求的半径．
24．（2025·南明模拟）某电商为积极响应“爱眼日”活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，电商平台规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数的关系，其对应关系如下表：
/元 60 65 70 75 80
/盒 1400 1300 1200 1100 1000
（1）求与的函数关系式；
（2）设该电商在销售护眼贴时每月所获的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出利润的最大值；
（3）若每盒护眼贴的利润不高于20元，则该电商每月能否获得14000元的利润？若能，请求出此时销售单价；若不能，请说明理由．
25．（2025·南明模拟）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由于，则最大的数是1
故选：D．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A是中心对称图形；
B不是中心对称图形；
C不是中心对称图形；
D不是中心对称图形．
故选：A．
【分析】
根据中心对称图形的概念逐一判断即可．
3．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
4．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，．
故选：D．
【分析】
利用平方根定义开方即可求出解．
5．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】
根据解一元一次不等式的方法求解即可．
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】从成绩的平均数来看，
乙和丙的成绩更好，
又由于乙的方差更小，
∴乙的成绩比丙稳定，
故选：B．
【分析】
在平均数相等的情况下，方差越小成绩越稳定．
7．【答案】A
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y=ax+b过B（-3，0），
∴方程ax+b=0的解是x=-3，
故选A．
【分析】根据所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：黑球的数量为个．
故选：B．
【分析】
根据概率=所求情况数与总情况数之比求解即可．
10．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：甲走的时间为：，故可列方程为：
；
故选A．
【分析】
根据甲的路程减去100等于乙在相同时间内所走的路程，列出方程即可．
11．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，．
故选：A．
【分析】
根据直接求解即可．
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图像可知，．
∵轴为直线，
∴，
∴，
故①错误；
设抛物线与x轴另一交点的横坐标为m，由对称的性质可知，
解得，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
故②正确；
将点代入抛物线解析式得，将b=代入，
∴，
得，将其代入3a+c，
∴，
故③错误；
∵当时，，
∴．
∵当时，，
∴，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，正确的结论有②④，共2个．
故选B．
【分析】
根据图象判断①，对称性判断②，特殊点结合对称轴判断③，特殊点结合因式分解，判断④．
13．【答案】2（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4）=2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
14．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由绝对值和平方的非负性，可知，，
∴，
将代入得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据平方数和绝对值的非负性可知，，即，，先求出的值，把的值代入，求解即可．
15．【答案】
【知识点】尺规作图-垂线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据作图可知，利用∠DAB=30°求出的长，进而求出的长即可．
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作，交的延长线于点G，延长到点F，使得，连接，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由三线合一，
得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
过点C作，交的延长线于点G，延长到点F，使得，可得出，得到；根据等边对等角，得到，从而得到，得到，从而得到，根据等腰三角形的三线合一性质，得到，继而得到，根据勾股定理，得，再次运用勾股定理计算即可．
17．【答案】（1）解：
原式；
（2）
原式
，
由题可知，，
∴，
当时，原式（答案不唯一）．
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；开立方（求立方根）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
（1）利用负整数指数幂、绝对值、立方根的性质化简，再合并即可；
（2）先利用分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件，选择合适的整数m代入求值即可．
18．【答案】（1）解：∵样本容量，
∴共有50人参与调查；
∴等级C组所对应的扇形的圆心角为：，
∴本次共调查了50名学生，C组所在扇形的圆心角为72度；
（2）B组人数：（人）
D组人数：（人）
该校优秀人数：（人）；
（3）解：列树状图如下：
共12种等可能出现的情况，其中恰好抽到，的有2种，
（抽到，）．
【知识点】频数与频率；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据样本容量=样本中某项目的频数除以该项目所占的百分数，求得样本容量，利用圆心角度数=某项目所占的百分数乘以，计算即可；
（2）计算出各组的人数，利用样本估计总体的思想计算即可；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好抽到，的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：∵样本容量，
∴共有50人参与调查；
∴等级C组所对应的扇形的圆心角为：，
∴本次共调查了50名学生，C组所在扇形的圆心角为72度；
（2）B组人数：（人）
D组人数：（人）
该校优秀人数：（人）；
（3）解：列树状图如下：
共12种等可能出现的情况，其中恰好抽到，的有2种，
（抽到，）．
19．【答案】（1）解：选择小星，证明：∵E，F分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
选择小红，
证明：∵E，F分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵F是的中点，，∴．
由（1）知，四边形是平行四边形，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）选择小星，根据是的中位线，得到，由题可知，得到，进而证明即可；选择小红，根据是的中位线，得到，然后由得，进而证明即可；
（2）首先得到，由（1）知，四边形是平行四边形，，得到，然后得到，然后利用勾股定理求解即可．
（1）解：选择小星，
证明：∵E，F分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
选择小红，
证明：∵E，F分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
(答案不唯一，任选一位同学求解即可)
（2）解：∵F是的中点，，
∴．
由（1）知，四边形是平行四边形，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，即，
解得(负值已舍去)，
∴．
20．【答案】（1）；
（2）解：选择方案1更合理．
理由：在中，，
∴（米），
方案一时间为：，
方案二时间为：，
∵，
选择方案1更合理．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：（1）
由题意，，
∴，
∴（米），
故答案为：；
【分析】
（1）在中，根据∠ABC的正弦值即可求出；
（2）求出长，再分别求出两种方案下所用时间，从而作出判断．
（1）解：如图：
由题意，知米，，，
在中，
（米），
故答案为：；
（2）解：选择方案1更合理．
理由：在中，
（米），
方案一需要时间为：，
方案二需要时间为：，
∵，
选择方案1更合理．
21．【答案】（1）将点代入中，得，
∴反比例：；
将点和点分别代入中，
得，解得，
∴AB：.
（2）如图，设，
∵轴，
∴点P纵坐标为，
∴当时，，
∴P，
∴，
解得 (舍去)，此时在线段上，符合题意，
∴点Q的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案；
（2）设Q点坐标，根据PQ纵坐标相同，表示出P坐标，进而表示，解方程即可得到答案．
（1）解：将点和点分别代入中，得，
解得，
∴直线的表达式为，
将点代入中，得，
∴反比例函数图象的表达式为；
（2）解：如图，设，
∵轴，
∴点P，Q纵坐标相同，
∴在直线中，当时，，
∴点P坐标为，
∴，
解得 (舍去)，此时在线段上，符合题意，
∴点Q的坐标为．
22．【答案】（1）解：设B型号单价是x元，则A型号单价是元，
，
，
经检验，是原分式方程的解且符合题意，
∴A型号单价是元，
答：A型号单价300元，B型号单价是200元；
（2）设买A种型号m个，则B型号(30-m)个，
，
，
答：最多购买A型号20个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】
（1）设B种型号“文房四宝”的单价是x元，根据用22500元购买A种型号“文房四宝”的数量是用10000元购买B种型号“文房四宝”数量的1.5倍，列出方程进行求解即可；
（2）设购买m个A种型号“文房四宝”，根据购买AB两种型号共不超过8000元，列出不等式进行求解即可．
（1）解：设B种型号“文房四宝”的单价是x元，则A种型号“文房四宝”的单价是元，
根据题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解且符合题意，
∴A种型号“文房四宝”的单价是元，
答：A种型号“文房四宝”的单价300元，B种型号“文房四宝”的单价是200元；
（2）设购买m个A种型号“文房四宝”，则购买个B种型号“文房四宝”，
根据题意得，，
解得，
答：该学校最多购买的A种型号“文房四宝”的数量是20个．
23．【答案】（1）64
（2）证明：连接，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
；
（3）解：是的切线，
在中，，
根据勾股定理即可得到，
，
，
的半径为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—两锐角关系
【解析】【解答】（1）解：连接，
，
是的直径，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据圆周角定理可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角可得，再根据切线性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）根据切线性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：连接，
，
是的直径，
，
，
故答案为：．
（2）证明：连接，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
；
（3）解：是的切线，
在中，，
根据勾股定理即可得到，
，
，
的半径为．
24．【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将分别代入中，
得，
解得，
∴.
（2）解：，
∵ 销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的 ，
∴，
∴当时，取得最大值，此时，
∴利润的最大值为31500元；
（3）解：∵，
∴，
由(2)可知，，
∴，
将代入中，
解得或，
∵，
∴，
销售单价为60元/盒.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意确定自变量的取值范围，列出二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）根据题意列出一元二次方程，求出自变量的值即可．
（1）解：设与之间的函数关系式为，
将表格中数据分别代入中，
得，
解得，
∴，
∵每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，
∴，即，
∴；
（2）解：由题意可得，，
∵，
∴当时，取得最大值，此时，
∴利润的最大值为31500元；
（3）解：能，理由如下：
∵，
∴，
由(2)可知，，
∴，
将代入中，
解得或，
∵，
∴，
答：在每盒护眼贴的利润不高于20元的情况下，该电商每月能获得14 000元的利润，此时护眼贴的销售单价为60元/盒．
25．【答案】（1），理由如下：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接证明，即可证明；
（2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：，，即有，，进而可得，即可证；
（3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．
1 / 1贵州省贵阳市南明区贵州师范大学贵安新区附属初级中学2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分，每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（2025·南明模拟）下列各数中最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由于，则最大的数是1
故选：D．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．（2025·南明模拟）下列是四个高校校徽的主体标识，其图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A是中心对称图形；
B不是中心对称图形；
C不是中心对称图形；
D不是中心对称图形．
故选：A．
【分析】
根据中心对称图形的概念逐一判断即可．
3．（2025·南明模拟）计算的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．
4．（2025·南明模拟）一元二次方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，．
故选：D．
【分析】
利用平方根定义开方即可求出解．
5．（2025·南明模拟）不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】
根据解一元一次不等式的方法求解即可．
6．（2025·南明模拟）四名运动员参加了射击预选赛，他们测试成绩的平均数x及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
8.4 9.2 9.2 8.5
1 1 1.1 1.7
如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去复赛，那么应选（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】从成绩的平均数来看，
乙和丙的成绩更好，
又由于乙的方差更小，
∴乙的成绩比丙稳定，
故选：B．
【分析】
在平均数相等的情况下，方差越小成绩越稳定．
7．（2025·南明模拟）如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（　　）
A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x=
【答案】A
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y=ax+b过B（-3，0），
∴方程ax+b=0的解是x=-3，
故选A．
【分析】根据所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，即可求出答案.
8．（2025·南明模拟）如图，与相交于点C，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
9．（2025·南明模拟）已知一个不透明的箱子里有红球、黑球共六个，且小球除颜色外其余完全相同，若小明摸到红球的概率为，则黑球的数量为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：黑球的数量为个．
故选：B．
【分析】
根据概率=所求情况数与总情况数之比求解即可．
10．（2025·南明模拟）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”大意为：“甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走100步，乙走60步．现在乙先走100步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？设甲走了x步才追上乙，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：甲走的时间为：，故可列方程为：
；
故选A．
【分析】
根据甲的路程减去100等于乙在相同时间内所走的路程，列出方程即可．
11．（2025·南明模拟）如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，．
故选：A．
【分析】
根据直接求解即可．
12．（2025·南明模拟）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析结论：①；②抛物线与x轴的另一个交点为；③；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图像可知，．
∵轴为直线，
∴，
∴，
故①错误；
设抛物线与x轴另一交点的横坐标为m，由对称的性质可知，
解得，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
故②正确；
将点代入抛物线解析式得，将b=代入，
∴，
得，将其代入3a+c，
∴，
故③错误；
∵当时，，
∴．
∵当时，，
∴，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，正确的结论有②④，共2个．
故选B．
【分析】
根据图象判断①，对称性判断②，特殊点结合对称轴判断③，特殊点结合因式分解，判断④．
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．（2025·南明模拟）因式分解：2a2﹣8=　 　．
【答案】2（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4）=2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
14．（2025·南明模拟）小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为　 　．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由绝对值和平方的非负性，可知，，
∴，
将代入得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据平方数和绝对值的非负性可知，，即，，先求出的值，把的值代入，求解即可．
15．（2025·南明模拟）如图，在中，以点D为圆心，以一定长度为半径作弧，与边交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，连接交于点E，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】尺规作图-垂线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据作图可知，利用∠DAB=30°求出的长，进而求出的长即可．
16．（2025·南明模拟）如图，在中，，点E在边上，，，交的延长线于点D，若，则的长为　 　．
　
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作，交的延长线于点G，延长到点F，使得，连接，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由三线合一，
得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
过点C作，交的延长线于点G，延长到点F，使得，可得出，得到；根据等边对等角，得到，从而得到，得到，从而得到，根据等腰三角形的三线合一性质，得到，继而得到，根据勾股定理，得，再次运用勾股定理计算即可．
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·南明模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，选择一个合适的整数m代入求值．
【答案】（1）解：
原式；
（2）
原式
，
由题可知，，
∴，
当时，原式（答案不唯一）．
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；开立方（求立方根）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
（1）利用负整数指数幂、绝对值、立方根的性质化简，再合并即可；
（2）先利用分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件，选择合适的整数m代入求值即可．
18．（2025·南明模拟）为落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩（成绩满分100分），绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
组别 分数 人数
A组 4
B组
C组 10
D组
E组 14
合计
（1）本次共调查了多少名学生？C组所在扇形的圆心角为多少度？
（2）该校共有学生1800人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？
（3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为，，，，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到，的概率．
【答案】（1）解：∵样本容量，
∴共有50人参与调查；
∴等级C组所对应的扇形的圆心角为：，
∴本次共调查了50名学生，C组所在扇形的圆心角为72度；
（2）B组人数：（人）
D组人数：（人）
该校优秀人数：（人）；
（3）解：列树状图如下：
共12种等可能出现的情况，其中恰好抽到，的有2种，
（抽到，）．
【知识点】频数与频率；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据样本容量=样本中某项目的频数除以该项目所占的百分数，求得样本容量，利用圆心角度数=某项目所占的百分数乘以，计算即可；
（2）计算出各组的人数，利用样本估计总体的思想计算即可；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好抽到，的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：∵样本容量，
∴共有50人参与调查；
∴等级C组所对应的扇形的圆心角为：，
∴本次共调查了50名学生，C组所在扇形的圆心角为72度；
（2）B组人数：（人）
D组人数：（人）
该校优秀人数：（人）；
（3）解：列树状图如下：
共12种等可能出现的情况，其中恰好抽到，的有2种，
（抽到，）．
19．（2025·南明模拟）如图，在中，，D是边上一点，连接，E，F分别为，的中点，连接，，．下面是两位同学的说法：
小星：根据题目条件，若添加条件，则可证明四边形是平行四边形． 小红：根据题目条件，若添加条件，则可证明四边形是平行四边形．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）在（1）的结论下，若，，求的长．
【答案】（1）解：选择小星，证明：∵E，F分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
选择小红，
证明：∵E，F分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵F是的中点，，∴．
由（1）知，四边形是平行四边形，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）选择小星，根据是的中位线，得到，由题可知，得到，进而证明即可；选择小红，根据是的中位线，得到，然后由得，进而证明即可；
（2）首先得到，由（1）知，四边形是平行四边形，，得到，然后得到，然后利用勾股定理求解即可．
（1）解：选择小星，
证明：∵E，F分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
选择小红，
证明：∵E，F分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
(答案不唯一，任选一位同学求解即可)
（2）解：∵F是的中点，，
∴．
由（1）知，四边形是平行四边形，，
∴，．
∵，
∴．
在中，，即，
解得(负值已舍去)，
∴．
20．（2025·南明模拟）森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中去．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点A的北偏东方向的B处发生火灾，防火员从卡点A去火灾处救援有两种方案．
方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800 m到达离B点最近的C处再跑步到B点救援；
方案2：防火员从卡点A直接跑步前往B处救援．若防火员的跑步速度，骑车的速度为．
（1）的长约为_____m（结果保留根号）；
（2）防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：选择方案1更合理．
理由：在中，，
∴（米），
方案一时间为：，
方案二时间为：，
∵，
选择方案1更合理．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：（1）
由题意，，
∴，
∴（米），
故答案为：；
【分析】
（1）在中，根据∠ABC的正弦值即可求出；
（2）求出长，再分别求出两种方案下所用时间，从而作出判断．
（1）解：如图：
由题意，知米，，，
在中，
（米），
故答案为：；
（2）解：选择方案1更合理．
理由：在中，
（米），
方案一需要时间为：，
方案二需要时间为：，
∵，
选择方案1更合理．
21．（2025·南明模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）若P是线段上一点，过点P作y轴的垂线交反比例函数图象于点Q，连接，当时，求点Q的坐标．
【答案】（1）将点代入中，得，
∴反比例：；
将点和点分别代入中，
得，解得，
∴AB：.
（2）如图，设，
∵轴，
∴点P纵坐标为，
∴当时，，
∴P，
∴，
解得 (舍去)，此时在线段上，符合题意，
∴点Q的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案；
（2）设Q点坐标，根据PQ纵坐标相同，表示出P坐标，进而表示，解方程即可得到答案．
（1）解：将点和点分别代入中，得，
解得，
∴直线的表达式为，
将点代入中，得，
∴反比例函数图象的表达式为；
（2）解：如图，设，
∵轴，
∴点P，Q纵坐标相同，
∴在直线中，当时，，
∴点P坐标为，
∴，
解得 (舍去)，此时在线段上，符合题意，
∴点Q的坐标为．
22．（2025·南明模拟）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期，为丰富学生的课后活动，某中学准备为社团购买A，B两种型号的“文房四宝”，通过市场调研得知：A种型号“文房四宝”的单价比B种型号“文房四宝”的单价多100元，且用22500元购买A种型号“文房四宝”的数量是用10000元购买B种型号“文房四宝”数量的1.5倍．
（1）求A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？
（2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A，B两种型号“文房四宝”共30个，求该学校最多购买的A种型号“文房四宝”的数量．
【答案】（1）解：设B型号单价是x元，则A型号单价是元，
，
，
经检验，是原分式方程的解且符合题意，
∴A型号单价是元，
答：A型号单价300元，B型号单价是200元；
（2）设买A种型号m个，则B型号(30-m)个，
，
，
答：最多购买A型号20个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】
（1）设B种型号“文房四宝”的单价是x元，根据用22500元购买A种型号“文房四宝”的数量是用10000元购买B种型号“文房四宝”数量的1.5倍，列出方程进行求解即可；
（2）设购买m个A种型号“文房四宝”，根据购买AB两种型号共不超过8000元，列出不等式进行求解即可．
（1）解：设B种型号“文房四宝”的单价是x元，则A种型号“文房四宝”的单价是元，
根据题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解且符合题意，
∴A种型号“文房四宝”的单价是元，
答：A种型号“文房四宝”的单价300元，B种型号“文房四宝”的单价是200元；
（2）设购买m个A种型号“文房四宝”，则购买个B种型号“文房四宝”，
根据题意得，，
解得，
答：该学校最多购买的A种型号“文房四宝”的数量是20个．
23．（2025·南明模拟）如图，内接于，过点B作的切线，交直径的延长线于点E．
（1）若，则 ；
（2）求证：；
（3）若，求的半径．
【答案】（1）64
（2）证明：连接，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
；
（3）解：是的切线，
在中，，
根据勾股定理即可得到，
，
，
的半径为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—两锐角关系
【解析】【解答】（1）解：连接，
，
是的直径，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据圆周角定理可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角可得，再根据切线性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）根据切线性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：连接，
，
是的直径，
，
，
故答案为：．
（2）证明：连接，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
；
（3）解：是的切线，
在中，，
根据勾股定理即可得到，
，
，
的半径为．
24．（2025·南明模拟）某电商为积极响应“爱眼日”活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，电商平台规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数的关系，其对应关系如下表：
/元 60 65 70 75 80
/盒 1400 1300 1200 1100 1000
（1）求与的函数关系式；
（2）设该电商在销售护眼贴时每月所获的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出利润的最大值；
（3）若每盒护眼贴的利润不高于20元，则该电商每月能否获得14000元的利润？若能，请求出此时销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将分别代入中，
得，
解得，
∴.
（2）解：，
∵ 销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的 ，
∴，
∴当时，取得最大值，此时，
∴利润的最大值为31500元；
（3）解：∵，
∴，
由(2)可知，，
∴，
将代入中，
解得或，
∵，
∴，
销售单价为60元/盒.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意确定自变量的取值范围，列出二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）根据题意列出一元二次方程，求出自变量的值即可．
（1）解：设与之间的函数关系式为，
将表格中数据分别代入中，
得，
解得，
∴，
∵每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，
∴，即，
∴；
（2）解：由题意可得，，
∵，
∴当时，取得最大值，此时，
∴利润的最大值为31500元；
（3）解：能，理由如下：
∵，
∴，
由(2)可知，，
∴，
将代入中，
解得或，
∵，
∴，
答：在每盒护眼贴的利润不高于20元的情况下，该电商每月能获得14 000元的利润，此时护眼贴的销售单价为60元/盒．
25．（2025·南明模拟）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由如下：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接证明，即可证明；
（2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：，，即有，，进而可得，即可证；
（3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明．
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