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浙江省宁波市余姚市2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025七下·余姚期末）下列方程中，是二元一次方程的是(　　)
A．xy=1-y B．x+2y=3x-2 C．3x-1=2 D．x+1=2－
2．（2025七下·余姚期末）科学家在研究某种新型细胞时，测量出该细胞的直径约为米，数据用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
3．（2025七下·余姚期末）如图，下列条件中能判定AB∥CD的是(　　)
①DAC=BCA； ②BAC=ACD；
③B=D； ④EAB=DCF
A．② B．B.②③④ C．②④ D．①③
4．（2025七下·余姚期末）下列变形是因式分解的是(　　)
A． B．3
C． D．4
5．（2025七下·余姚期末）分式的值为，将，都扩大倍，则变化后分式的值为(　　)
A． B． C． D．
6．（2025七下·余姚期末）计算的值为(　　)
A． B． C． D．
7．（2025七下·余姚期末）某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒。则下列方程组中符合题意的是(　　)
A． B．
C． D．
8．（2025七下·余姚期末）已知，则=(　　)
A． B． C． D．
9．（2025七下·余姚期末）已知，则=(　　)
A． B． C． D．
10．（2025七下·余姚期末）一般地，若，则n叫做以为底b的对数，记为. 如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为.且对数满足性质+()，则以下结论正确的有（　　）个.
①=1； ②；
③+++……+=(n≥3为正整数)；
④若，，则2xy=x+4y-2.
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025七下·余姚期末）若代数式的值为0，则实数的值为　 　.
12．（2025七下·余姚期末）将一些数据分成四组， 已知第一组到第三组的频数分别是 5， 10， 6， 第四组的频率是0.3， 则第四组的频数是　 　.
13．（2025七下·余姚期末）若是方程组的解，则+b的值是　 　．
14．（2025七下·余姚期末）关于的方程有增根，则的值是　 　．
15．（2025七下·余姚期末）若实数x满足，则x= 　 　．
16．（2025七下·余姚期末）如图，将一张长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为AB，CD，线段BE交CG于点E，的平分线与HDA的平分线相交于点K. 若FEG=60°，则AKD的度数为 　 　．
三、解答题：第 17 题 6 分,第 18、19、20、21 题各 8 分,第 22 题 10 分,第 23、24 题各 12
17．（2025七下·余姚期末）计算：
（1）．
（2）．
18．（2025七下·余姚期末）解方程组：
（1）
（2）．
19．（2025七下·余姚期末）分解因式：
（1）．
（2）．
20．（2025七下·余姚期末）先化简：，并在，，，中选一个合适的值代入求值．
21．（2025七下·余姚期末）年月日时分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查_▲_名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为　 　度；
（3）规定本次航天知识竞赛活动成绩在分及以上的成绩为优秀，全校共有名学生，请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少？
22．（2025七下·余姚期末）如图，已知，DE平分.
（1）求证：．
（2）若CE⊥DE，且，求的度数．
23．（2025七下·余姚期末）某校组织七年级师生参加春游活动，有中客车和大客车两种交通工具可供租用，已知1辆中客车可乘坐30人，1辆大客车可乘坐42人，且租用1辆大客车和1辆中客车的费用共900元，2500元能租用的大客车数量与2000元能租用的中客车数量相同。
（1）分别求出租用1辆大客车的费用和租用一辆中客车的费用.
（2）若全校师生共504人参加春游活动，那么有哪些不同租车方案可供选择（要求租用的客车都必须坐满）？
（3）在(2)的条件下，请通过计算说明哪种租车方案最优惠？
24．（2025七下·余姚期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题。如：求代数式的最大值或最小值等。求代数式x2+2x+2的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法：
解：x2+2x+2=（x2+2x+12-12）+2=（x+1）2+1. 因为（x+1）2是非负数，所以当（x+1）2=0时，（x+1）2+1的值最小，最小值为1，所以x2+2x+2的最小值是1.
（1）求代数式y2-5y-4的最小值.
（2）求代数式的最小值.
（3）求代数式的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A xy=1-y是二元二次方程，故A项不符合题意；
B x+2y=3x-2 是二元一次方程，故B项符合题意；
C 3x-1=2 是一元一次方程，故C项不符合题意；
D x+1=2－ 是分式方程，故D项不符合题意.
故答案为： B.
【分析】根据二元一次方程的定义可知，含有两个未知数，且未知数对应项的次数为1的整式方程，据此判断即可求得.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： =5.21×10-7.
故答案为：D .
【分析】根据科学记数法将大于0小于1的数表示为a×10-n，其中1≤a＜10，n为正整数.
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵DAC=BCA ，∴ AD∥BC，故①不符合题意；
∵BAC=ACD ，∴ AB∥CD，故②符合题意；
∠B=∠D不能推出AB∥CD，故③不符合题意；
∵EAB=DCF ，∴ 180°-EAB=180°-DCF，即BAC=ACD ，∴ AB∥CD，故④符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据等角的补角相等和内错角相等两直线平行，即可判断.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A 是合并因式，不是因式分解，故A项不符合题意；
B 3 其中不是整式，故B项不符合题意；
C 没有化成积的形式，不是因式分解，故C项不符合题意；
D 4 是因式分解，故D项符合题意.
故答案为： D.
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，即可求得.
5．【答案】D
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：∵，且 ，
∴.
故答案为： D.
【分析】根据分式的性质判断分式的值即可.
6．【答案】A
【知识点】整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：A .
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘除法进行运算，即可求得.
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得， .
故答案为：C .
【分析】根据“ 45张铁皮 ”可得，根据 “一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒”可得，即可求得.
8．【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：.
故答案为：D .
【分析】先将前两项提出公因式3x化简，再提出公因式-3，整体代入3x-2y的值，即可求得.
9．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
∵ ＞0，
∴ =.
故答案为：A .
【分析】根据完全平方公式，将和ab的值整体代入求值即可.
10．【答案】B
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：①，原计算错误；
②，计算正确；
③+++……+，计算正确；
④∵，，
∴，，
∴，，
∴ 2xy≠x+4y-2，原计算错误；
故答案为：B .
【分析】根据新定义的运算法则，结合幂的运算逐项判断解答即可.
11．【答案】-2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ =0，
∴ x+2=0且x-3≠0，
∴ x=-2.
故答案为：-2 .
【分析】根据分式的值为0可得分子为0且分母不为0，即可求得.
12．【答案】9
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：总体=，
∴ 第四组的频数是30×0.3=9.
故答案为：9 .
【分析】根据频率=频数/总体，先求出总体，再求第四组的频率即可.
13．【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入可得，，
解得，，
∴ a+b=2.
故答案为：2 .
【分析】将方程组的解代入方程组求得a和b的值，再求和即可.
14．【答案】-2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘（x+1）可得，3x+1-n=x+1，即x=，
∵ 分式方程有增根，
∴ 增根x=-1为 整式方程3x+1-n=x+1的解，即=-1，
∴ n=-2.
故答案为： -2.
【分析】根据分式方程的增根可知此根使分母为0且是整式方程的解，即可求得.
15．【答案】2024.5或2020.5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设x-2025=t，
∴，整理可得，4t2+20t+9=0，
即(2t+1)(2t+9)=0，
解得，t1=-0.5，t2=-4.5，
∴ x1=2024.5，x2=2020.5，
故答案为：2024.5或2020.5 .
【分析】先设x-2025=t，可得一元二次方程4t2+20t+9=0，再根据因式分解法求得t的值，即可求得x的值.
16．【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵ 纸带为长方形，
∴ ∠BEF=90°，
∵ ∠FEG=60°，
∴ ∠BEC=30°，
∴ ∠1+∠3=180°-∠BEC=150°，
∵ AF∥BE，
∴ ∠1=∠2，
同理，∠3=∠4，
∴ ∠2+∠4=150°，
∵的平分线与HDA的平分线相交于点K，
∴ ∠AKD=180°-( ∠2+∠4)=105°.
故答案为：105° .
【分析】根据矩形的性质可得∠BEF=90°，AF∥BE，推出∠2+∠4=150°，根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求得.
17．【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=4x2-4xy+y2-（y2-x2），
=5x2-4xy.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先计算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再求和即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可.
18．【答案】（1）解：
由②可得，y=3x-1③，
将③代入①可得，2x+3（3x-1）=8，解得，x=1，
将x=1代入③可得，y=2，
∴ 该方程组的解为；
（2）解：方程两边同乘（x-2）可得，2x-7+3=x-2，
解得，x=2，
经检验x=2是原方程的增根，
∴ 原方程无解.
【知识点】解分式方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组即可求得；
（2）方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，求解，再检验，即可求得.
19．【答案】（1）解：；
（2）解：.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方式化简即可；
（2）先提公因式，再根据平方差公式化简即可.
20．【答案】解：原式=，
=，
=，
=，
∵ a-2≠0，a2-1≠0，a-1≠0，
∴ a≠-1，1，2，
∴ a=-2，
原式=.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后计算减法即可，根据分式有意义的条件可得a-2≠0，a2-1≠0，a-1≠0可确定a的值，将其代入化简后的式子求值即可.
21．【答案】（1）解：50；
B组：50-5-12-15-8=10（名），如图，
（2）86.4
（3）解：，
答： 全校取得优秀成绩的同学共有920人.
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数：15÷30％=50（名）；
（2）12÷50×360°=86.4°，即组所在扇形的圆心角为 86.4°；
故答案为：（1）50；（2）86.4；
【分析】（1）用D组的人数除以所占百分比即可求得抽查总人数，再用总人数减去其他组人数即可求得B组人数；
（2）用360°乘以C组所占百分比，即可求得圆心角；
（3）用样本估计总体，即样本中优秀所占百分比乘以全校人数，即可求得.
22．【答案】证明：∵DE平分，∴= ， ∵，∴，∠ADC=∠B，∴ AB//CD，∴+，∴+，∴AD//BC；若CE⊥DE，且，求的度数．解：∵ CE⊥DE，∴ ∠CED=90°，设∠AED=∠ADE=x，则∠DAE=180°-2x，∠CEA=90°+x，∵，∴ 180°-2x=90°+x，∴ x=30°，∴∠B=2x=60°， ∠BEC=60°，∴ ∠ECB=60°.
（1）证明：∵DE平分，∴= ，
∵，
∴，∠ADC=∠B，
∴ AB//CD，
∴+，
∴+，
∴AD//BC；
（2）解：∵ CE⊥DE，
∴ ∠CED=90°，
设∠AED=∠ADE=x，则∠DAE=180°-2x，∠CEA=90°+x，
∵，
∴ 180°-2x=90°+x，
∴ x=30°，
∴∠B=2x=60°， ∠BEC=60°，
∴ ∠ECB=60°.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可推出AB∥CD，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）根据垂直的定义可得∠CED=90°，设∠AED=∠ADE=x，根据列出方程，再求出∠B和∠BEC，根据三角形内角和即可求得∠ECB.
23．【答案】（1）解：设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车（900-x）元，
由题意得，，
解得，x=500，
经检验，x=500是所列方程的解，且符合题意，
中客车：900-x=400（元）
答：租用1辆中客车需要400元，租用1辆大客车需要500元；
（2）解：设租用m辆中客车，n辆大客车，
由题意得，30m+42n=504，
5m+7n=84，
n=，
m，n 为非负整数，
，
∴ 共3种租车方案，
方案一：中客车0辆，大客车12辆；
方案二：中客车7辆，大客车7辆；
方案三：中客车14辆，大客车2辆；
（3）解：中客车0辆，大客车12辆：500×12=6000；
中客车7辆，大客车7辆：7×400+7×500=6300；
中客车14辆，大客车2辆：14×400+2×500=6600；
∴ 租用12辆大客车最划算.
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车（900-x）元，根据题意列出分式方程，求解，再检验，即可求得；
（2）设租用m辆中客车，n辆大客车，根据题意列出方程可得n=，结合m和n为非负整数，即可确定方案；
（3）分别计算出各个方案的费用，费用最少的即为最优惠方案.
24．【答案】（1）解：-4，
=，
当=0时，-4取最小值；
（2）解：，
，
，
当=0，即k=±1时，取最小值7；
（3）解：，
=，
=，
=+7，
=+1+6，
=6，
当k=1或-2时，=0，取最小值6.
【知识点】配方法的应用；完全平方式
【解析】【分析】（1）利用配方法凑出，根据平方的非负性即可求得最小值；
（2）利用配方法凑出，根据平方的非负性即可求得最小值；
（3）利用配方法凑出，根据平方的非负性即可求得最小值.
1 / 1浙江省宁波市余姚市2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025七下·余姚期末）下列方程中，是二元一次方程的是(　　)
A．xy=1-y B．x+2y=3x-2 C．3x-1=2 D．x+1=2－
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A xy=1-y是二元二次方程，故A项不符合题意；
B x+2y=3x-2 是二元一次方程，故B项符合题意；
C 3x-1=2 是一元一次方程，故C项不符合题意；
D x+1=2－ 是分式方程，故D项不符合题意.
故答案为： B.
【分析】根据二元一次方程的定义可知，含有两个未知数，且未知数对应项的次数为1的整式方程，据此判断即可求得.
2．（2025七下·余姚期末）科学家在研究某种新型细胞时，测量出该细胞的直径约为米，数据用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： =5.21×10-7.
故答案为：D .
【分析】根据科学记数法将大于0小于1的数表示为a×10-n，其中1≤a＜10，n为正整数.
3．（2025七下·余姚期末）如图，下列条件中能判定AB∥CD的是(　　)
①DAC=BCA； ②BAC=ACD；
③B=D； ④EAB=DCF
A．② B．B.②③④ C．②④ D．①③
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵DAC=BCA ，∴ AD∥BC，故①不符合题意；
∵BAC=ACD ，∴ AB∥CD，故②符合题意；
∠B=∠D不能推出AB∥CD，故③不符合题意；
∵EAB=DCF ，∴ 180°-EAB=180°-DCF，即BAC=ACD ，∴ AB∥CD，故④符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据等角的补角相等和内错角相等两直线平行，即可判断.
4．（2025七下·余姚期末）下列变形是因式分解的是(　　)
A． B．3
C． D．4
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A 是合并因式，不是因式分解，故A项不符合题意；
B 3 其中不是整式，故B项不符合题意；
C 没有化成积的形式，不是因式分解，故C项不符合题意；
D 4 是因式分解，故D项符合题意.
故答案为： D.
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，即可求得.
5．（2025七下·余姚期末）分式的值为，将，都扩大倍，则变化后分式的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：∵，且 ，
∴.
故答案为： D.
【分析】根据分式的性质判断分式的值即可.
6．（2025七下·余姚期末）计算的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：A .
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘除法进行运算，即可求得.
7．（2025七下·余姚期末）某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒。则下列方程组中符合题意的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得， .
故答案为：C .
【分析】根据“ 45张铁皮 ”可得，根据 “一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒”可得，即可求得.
8．（2025七下·余姚期末）已知，则=(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：.
故答案为：D .
【分析】先将前两项提出公因式3x化简，再提出公因式-3，整体代入3x-2y的值，即可求得.
9．（2025七下·余姚期末）已知，则=(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
∵ ＞0，
∴ =.
故答案为：A .
【分析】根据完全平方公式，将和ab的值整体代入求值即可.
10．（2025七下·余姚期末）一般地，若，则n叫做以为底b的对数，记为. 如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为.且对数满足性质+()，则以下结论正确的有（　　）个.
①=1； ②；
③+++……+=(n≥3为正整数)；
④若，，则2xy=x+4y-2.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：①，原计算错误；
②，计算正确；
③+++……+，计算正确；
④∵，，
∴，，
∴，，
∴ 2xy≠x+4y-2，原计算错误；
故答案为：B .
【分析】根据新定义的运算法则，结合幂的运算逐项判断解答即可.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025七下·余姚期末）若代数式的值为0，则实数的值为　 　.
【答案】-2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵ =0，
∴ x+2=0且x-3≠0，
∴ x=-2.
故答案为：-2 .
【分析】根据分式的值为0可得分子为0且分母不为0，即可求得.
12．（2025七下·余姚期末）将一些数据分成四组， 已知第一组到第三组的频数分别是 5， 10， 6， 第四组的频率是0.3， 则第四组的频数是　 　.
【答案】9
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：总体=，
∴ 第四组的频数是30×0.3=9.
故答案为：9 .
【分析】根据频率=频数/总体，先求出总体，再求第四组的频率即可.
13．（2025七下·余姚期末）若是方程组的解，则+b的值是　 　．
【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入可得，，
解得，，
∴ a+b=2.
故答案为：2 .
【分析】将方程组的解代入方程组求得a和b的值，再求和即可.
14．（2025七下·余姚期末）关于的方程有增根，则的值是　 　．
【答案】-2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘（x+1）可得，3x+1-n=x+1，即x=，
∵ 分式方程有增根，
∴ 增根x=-1为 整式方程3x+1-n=x+1的解，即=-1，
∴ n=-2.
故答案为： -2.
【分析】根据分式方程的增根可知此根使分母为0且是整式方程的解，即可求得.
15．（2025七下·余姚期末）若实数x满足，则x= 　 　．
【答案】2024.5或2020.5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设x-2025=t，
∴，整理可得，4t2+20t+9=0，
即(2t+1)(2t+9)=0，
解得，t1=-0.5，t2=-4.5，
∴ x1=2024.5，x2=2020.5，
故答案为：2024.5或2020.5 .
【分析】先设x-2025=t，可得一元二次方程4t2+20t+9=0，再根据因式分解法求得t的值，即可求得x的值.
16．（2025七下·余姚期末）如图，将一张长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为AB，CD，线段BE交CG于点E，的平分线与HDA的平分线相交于点K. 若FEG=60°，则AKD的度数为 　 　．
【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵ 纸带为长方形，
∴ ∠BEF=90°，
∵ ∠FEG=60°，
∴ ∠BEC=30°，
∴ ∠1+∠3=180°-∠BEC=150°，
∵ AF∥BE，
∴ ∠1=∠2，
同理，∠3=∠4，
∴ ∠2+∠4=150°，
∵的平分线与HDA的平分线相交于点K，
∴ ∠AKD=180°-( ∠2+∠4)=105°.
故答案为：105° .
【分析】根据矩形的性质可得∠BEF=90°，AF∥BE，推出∠2+∠4=150°，根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求得.
三、解答题：第 17 题 6 分,第 18、19、20、21 题各 8 分,第 22 题 10 分,第 23、24 题各 12
17．（2025七下·余姚期末）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=4x2-4xy+y2-（y2-x2），
=5x2-4xy.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先计算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再求和即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可.
18．（2025七下·余姚期末）解方程组：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：
由②可得，y=3x-1③，
将③代入①可得，2x+3（3x-1）=8，解得，x=1，
将x=1代入③可得，y=2，
∴ 该方程组的解为；
（2）解：方程两边同乘（x-2）可得，2x-7+3=x-2，
解得，x=2，
经检验x=2是原方程的增根，
∴ 原方程无解.
【知识点】解分式方程；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组即可求得；
（2）方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，求解，再检验，即可求得.
19．（2025七下·余姚期末）分解因式：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：；
（2）解：.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方式化简即可；
（2）先提公因式，再根据平方差公式化简即可.
20．（2025七下·余姚期末）先化简：，并在，，，中选一个合适的值代入求值．
【答案】解：原式=，
=，
=，
=，
∵ a-2≠0，a2-1≠0，a-1≠0，
∴ a≠-1，1，2，
∴ a=-2，
原式=.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后计算减法即可，根据分式有意义的条件可得a-2≠0，a2-1≠0，a-1≠0可确定a的值，将其代入化简后的式子求值即可.
21．（2025七下·余姚期末）年月日时分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理数据分成五组，组：；组：；组：；组：；组：根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查_▲_名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为　 　度；
（3）规定本次航天知识竞赛活动成绩在分及以上的成绩为优秀，全校共有名学生，请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少？
【答案】（1）解：50；
B组：50-5-12-15-8=10（名），如图，
（2）86.4
（3）解：，
答： 全校取得优秀成绩的同学共有920人.
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数：15÷30％=50（名）；
（2）12÷50×360°=86.4°，即组所在扇形的圆心角为 86.4°；
故答案为：（1）50；（2）86.4；
【分析】（1）用D组的人数除以所占百分比即可求得抽查总人数，再用总人数减去其他组人数即可求得B组人数；
（2）用360°乘以C组所占百分比，即可求得圆心角；
（3）用样本估计总体，即样本中优秀所占百分比乘以全校人数，即可求得.
22．（2025七下·余姚期末）如图，已知，DE平分.
（1）求证：．
（2）若CE⊥DE，且，求的度数．
【答案】证明：∵DE平分，∴= ， ∵，∴，∠ADC=∠B，∴ AB//CD，∴+，∴+，∴AD//BC；若CE⊥DE，且，求的度数．解：∵ CE⊥DE，∴ ∠CED=90°，设∠AED=∠ADE=x，则∠DAE=180°-2x，∠CEA=90°+x，∵，∴ 180°-2x=90°+x，∴ x=30°，∴∠B=2x=60°， ∠BEC=60°，∴ ∠ECB=60°.
（1）证明：∵DE平分，∴= ，
∵，
∴，∠ADC=∠B，
∴ AB//CD，
∴+，
∴+，
∴AD//BC；
（2）解：∵ CE⊥DE，
∴ ∠CED=90°，
设∠AED=∠ADE=x，则∠DAE=180°-2x，∠CEA=90°+x，
∵，
∴ 180°-2x=90°+x，
∴ x=30°，
∴∠B=2x=60°， ∠BEC=60°，
∴ ∠ECB=60°.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可推出AB∥CD，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）根据垂直的定义可得∠CED=90°，设∠AED=∠ADE=x，根据列出方程，再求出∠B和∠BEC，根据三角形内角和即可求得∠ECB.
23．（2025七下·余姚期末）某校组织七年级师生参加春游活动，有中客车和大客车两种交通工具可供租用，已知1辆中客车可乘坐30人，1辆大客车可乘坐42人，且租用1辆大客车和1辆中客车的费用共900元，2500元能租用的大客车数量与2000元能租用的中客车数量相同。
（1）分别求出租用1辆大客车的费用和租用一辆中客车的费用.
（2）若全校师生共504人参加春游活动，那么有哪些不同租车方案可供选择（要求租用的客车都必须坐满）？
（3）在(2)的条件下，请通过计算说明哪种租车方案最优惠？
【答案】（1）解：设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车（900-x）元，
由题意得，，
解得，x=500，
经检验，x=500是所列方程的解，且符合题意，
中客车：900-x=400（元）
答：租用1辆中客车需要400元，租用1辆大客车需要500元；
（2）解：设租用m辆中客车，n辆大客车，
由题意得，30m+42n=504，
5m+7n=84，
n=，
m，n 为非负整数，
，
∴ 共3种租车方案，
方案一：中客车0辆，大客车12辆；
方案二：中客车7辆，大客车7辆；
方案三：中客车14辆，大客车2辆；
（3）解：中客车0辆，大客车12辆：500×12=6000；
中客车7辆，大客车7辆：7×400+7×500=6300；
中客车14辆，大客车2辆：14×400+2×500=6600；
∴ 租用12辆大客车最划算.
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车（900-x）元，根据题意列出分式方程，求解，再检验，即可求得；
（2）设租用m辆中客车，n辆大客车，根据题意列出方程可得n=，结合m和n为非负整数，即可确定方案；
（3）分别计算出各个方案的费用，费用最少的即为最优惠方案.
24．（2025七下·余姚期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题。如：求代数式的最大值或最小值等。求代数式x2+2x+2的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法：
解：x2+2x+2=（x2+2x+12-12）+2=（x+1）2+1. 因为（x+1）2是非负数，所以当（x+1）2=0时，（x+1）2+1的值最小，最小值为1，所以x2+2x+2的最小值是1.
（1）求代数式y2-5y-4的最小值.
（2）求代数式的最小值.
（3）求代数式的最小值.
【答案】（1）解：-4，
=，
当=0时，-4取最小值；
（2）解：，
，
，
当=0，即k=±1时，取最小值7；
（3）解：，
=，
=，
=+7，
=+1+6，
=6，
当k=1或-2时，=0，取最小值6.
【知识点】配方法的应用；完全平方式
【解析】【分析】（1）利用配方法凑出，根据平方的非负性即可求得最小值；
（2）利用配方法凑出，根据平方的非负性即可求得最小值；
（3）利用配方法凑出，根据平方的非负性即可求得最小值.
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