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17含30。角的直角三角形的性质
1.如图，在△
中，
=90,
:=2,是
边上的中点，点是
边上一
个动点，连接，以为边在
的下方作等边三角形，连接
则
的最小值是(
A
D
B
A.
3
B.
C.2
2
3
D
2.如图，已知在等边三角形
中，点，分别是，上的点，且=，连接，
交于点，过点作
于点，=2，则
的长为()
A
E
◇
Q
B
D
A.4.5
B.3
C.4
D.6
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3如图①，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设=，
且
=60.
(1)试判断和的数量关系
(2)如图②，为
的中点，点为轴负半轴上一点，以为边作等边三角形
,连接
并延长交轴于点·
①求证：△
≌△
②若
=6,求点的坐标
M天
①
②
37/5717 含 30 角的直角三角形的性质
1. 如图，在△ 中，∠ = 90 ， = = 2， 是 边上的中点，点 是 边上一
个动点，连接 ，以 为边在 的下方作等边三角形 ，连接 ，
则 的最小值是( )
A. 3 B. 1 C. 2 D. 3
4 2 2 4
解：B
解析：如图 ，在 的下方作等边三角形 ，作射线 . ∵ △ 和
△ 都是等边三角形,
∴ ∠ = ∠ = 60 ， = ， = = ，∴ ∠ = ∠ .
= ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) ，∴ ∠ = ∠ = 90 .
= ,
∵ ∠ = 60 ，∴ ∠ = 30 ，∴ 点 在射线 上运动（点 是定点，∠ 是定值），
当 ⊥ 时， 的值最小，最小值= 1 = 1 = 1 = 1 × 2 = 1 .
2 2 4 4 2
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2. 如图，已知在等边三角形 中，点 , 分别是 , 上的点，且 = ，连接 ,
交于点 ，过点 作 ⊥ 于点 , = 2，则 的长为( )
A. 4.5 B. 3 C. 4 D. 6
解：C
解析：∵ △ 为等边三角形，∴ = ，∠ = ∠ = 60 .
= ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) ，
= ,
∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ 为△ 的一个外角，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = 60
又∵ ⊥ ，∴ ∠ = 30 ，∴ = 2 = 2 × 2 = 4
3.如图①，在平面直角坐标系中，点 在 轴负半轴上，点 在 轴正半轴上，设 = ， =
且∠ = 60 .
（1）试判断 和 的数量关系.
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解：∵ ∠ = 60 ，∠ = 90 ，∴ ∠ = 30 ，∴ = 1 ，
2
又∵ = ， = ，∴ = 1 .
2
（2）如图②， 为 的中点，点 为 轴负半轴上一点，以 为边作等边三角形 ，连接
并延长交 轴于点 .
①求证：△ ≌△ ；
证明：∵ 为 的中点，∴ = 1 = .
2
∵ △ 为等边三角形，∴ = ，∠ = 60 .
∵ ∠ = 60 ，∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ .
= ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) .
= ,
②若 = 6，求点 的坐标.
解：∵ △ ≌△ ，∴ ∠ = ∠ = 90 .
又∵ ∠ = 60 ，∴ ∠ = 30 ，∴ = 2 = = 6 .
∵ = 1 = 3，∴ = 3 ，∴ 点 的坐标为(3,0) .
2
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