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24 提公因式法
1. 初中毕业时，张老师买了一些纪念品准备分发给学生，若这些纪念品可以平均分给班级的
( + 3) 名学生，也可以平均分给班级的( 2)名学生( 为大于 3 的正整数) ，则下列代数式
中，不可能表示纪念品数量的是( )
A. 2 + 6 B. 2 2 + 2 12
C. 2 6 D. 3 + 2 6
解:C
解析:因为这些纪念品可以平均分给班级的( + 3) 名学生，也可以平均分给班级的( 2)名
学生( 为大于 3 的正整数) ，所以这些纪念品的数量既包含因式 + 3，又包含因式 2 ，
所以包含因式( + 3)( 2)，即 2 + 6 .因为 2 2 + 2 12 = 2( 2 + 6) ,
3 + 2 6 = ( 2 + 6) ，所以选项 A,B,D 都有可能.因为 2 6 < 2 + 6 ，所
以选项 C 不可能.
2.若 3 + 2 + + 1 = 0，求 4 的值.
解:由 3 + 2 + + 1 = 0，得 2( + 1) + ( + 1) = 0 ，所以( + 1)( 2 + 1) = 0 .
因为 2 + 1 ≥ 1，所以 + 1 = 0 .
所以 = 1.所以 4 = 1 .
3.对 ， 定义一种新运算 ，规定 ( , ) = ( + )(2 + )，其中 ， 是非零常数，等式
右边是通常的四则运算.
如： (2,1) = ( × 2 + × 1) × (2 × 2 + 1) = 10 + 5 ， ( , 1) = ( )(2 1) .
（1）填空： (1, 1) =______ （用含 ， 的代数式表示）；
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（2）已知 (1, 1) = 3,且 (0,1) = 1 .
①求 ， 的值；
解:因为 (1, 1) = 3，且 (0,1) = 1 ，
所以 = 3, = 2, = 1, 解得 = 1.
( , 2 + 1) ≥ 13,
②若关于 的不等式组 (3 , 1 6 ) > 恰好有两个整数解，求 的取值范围；
解:由题意得 ( , 2 + 1) = 4 1 ， (3 , 1 6 ) = 12 1 ，
所以原不等式组可化为 4 1 ≥ 13,①
12 1 > ,②
解不等式①，得 ≤ 3，解不等式 ，得 > +1② .
12
因为不等式组有解，所以不等式组的解集是 +1 < ≤ 3 .
12
又因为不等式组恰好有两个整数解，所以 1 ≤ +1 < 2，解得 11 ≤ < 23 .
12
（3）当 2 ≠ 2时， ( , ) = ( , )对任意的有理数 ， 都成立，请直接写出 ， 满足的关
系式.
解: ， 满足的关系式是 2 = .
解析:由题意得
( , ) = ( + )(2 + ) = 2 2 + 2 + + 2 = 2 2 + ( + 2 ) + 2 ，
( , ) = ( + )(2 + ) = 2 2 + 2 + + 2 = 2 2 + ( + 2 ) + 2.
因为当 2 ≠ 2 时， ( , ) = ( , )对任意的有理数 ， 都成立，
所以 2 2 + ( + 2 ) + 2 = 2 2 + ( + 2 ) + 2 .
所以 2 ( 2 2) ( 2 2) = 0.所以(2 )( 2 2) = 0 .
所以 2 = 0,即 2 = .
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1.初中毕业时，张老师买了一些纪念品准备分发给学生，若这些纪念品可以平均分给班级的
(+3)名学生，也可以平均分给班级的（一2）名学生（为大于3的正整数），则下列代数式
中，不可能表示纪念品数量的是()
A.2+-6
B.22+2-12
C.2--6
D.3+2-6
2.若3+2++1=0，求4的值，
3对，
定义一种新运算，规定(，)=(+)(2+)，其中，
是非零常数，等式
右边是通常的四则运算，
如：(2,1)=(×2+×1)×(2×2+1)=10+5，(，-1)=（-)(2-1).
(1)填空：
(1,-1)=
(用含，的代数式表示)；
(2)已知(1，-1)=3，且(0,1)=-1.
①求，的值：
②若关于
的不等式如（气a名三18
恰好有两个整数解，求的取值范围：
(3)当2≠2时，（，)=（，)对任意的有理数，都成立，请直接写出，满足的关
系式
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