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25 公式法
1. 已知 为整数( ≠ 0, ± 1)，则多项式(3 + 5)2 4 的值总能( )
A. 被 9 整除 B. 被 整除 C. 被 + 1 整除 D. 被 1 整除
2. 在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式分解法都无法直接分解．这
时可将此多项式进行重新分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫作分组因式
分解法．例如： + + + = ( + ) + ( + ) = ( + )( + )． 下列说法：
①因式分解： 2 2 + 2 1 = ( + 1)( 1) ；
②若 ， ， 是△ 的三边长，且满足 2 + = 2 + ，则△ 为等腰三角形；
③若 ， ， 为实数且满足 2 + 2 2 + 2 + 28 = 4 + 8 + 8 ，则以 ， ， 为三边长
能构成三角形．
其中正确的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题
的条件，这种解题方法叫作配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的
应用.
例 1 用配方法因式分解： 2 + 6 + 8 .
解：原式= 2 + 6 + 9 1 = ( + 3)2 1 = ( + 3 1)( + 3 + 1) = ( + 2)( + 4) .
例 2 若 = 2 2 + 2 2 2 + 2，利用配方法求 的最小值.
解： = 2 2 + 2 2 2 + 2 = 2 2 + 2 + 2 2 + 1 + 1 = ( )2 + ( 1)2 +
1 .
因为( )2 ≥ 0，( 1)2 ≥ 0，所以当 = = 1 时， 有最小值 1.
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请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解： 2 12 + 35 ；
（2）若 = 2 3 + 2 025，求 的最小值；
（3）已知 ， ， 是三角形 的三边长，且满足 2 + 2 + 2 = 6 + 8 + 10 50，求三
角形 的周长.
48/5725 公式法
1. 已知 为整数( ≠ 0, ± 1)，则多项式(3 + 5)2 4 的值总能( )
A. 被 9 整除 B. 被 整除 C. 被 + 1 整除 D. 被 1 整除
解:C
解析:因为(3 + 5)2 4 = (3 + 5 + 2)(3 + 5 2) = 3(3 + 7)( + 1) ，
且 3 和 3 + 7 都为整数，所以多项式 (3 + 5)2 4 的值总能被 + 1 整除.故选 C.
2. 在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式分解法都无法直接分解．这
时可将此多项式进行重新分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫作分组因式
分解法．例如： + + + = ( + ) + ( + ) = ( + )( + )． 下列说法：
①因式分解： 2 2 + 2 1 = ( + 1)( 1) ；
②若 ， ， 是△ 的三边长，且满足 2 + = 2 + ，则△ 为等腰三角形；
③若 ， ， 为实数且满足 2 + 2 2 + 2 + 28 = 4 + 8 + 8 ，则以 ， ， 为三边长
能构成三角形．
其中正确的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解:C
解析:① 2 2 + 2 1 = ( 2 2 + 2) 1 = ( )2 1 = ( + 1)( 1) ；
故符合题意；
② ∵ 2 + = 2 + ，∴ 2 + 2 = 0 ，
∴ ( + )( ) ( ) = ( )( + ) = 0，
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∵ , , 是△ 的三边长,∴ + > 0，∴ = 0 ，
∴ = ，∴ △ 为等腰三角形；故符合题意；
③ ∵ 2 + 2 2 + 2 + 28 = 4 + 8 + 8 ，
∴ ( 2 4 + 4) + 2( 2 4 + 4) + ( 2 8 + 16) = 0 ，
∴ ( 2)2 + 2( 2)2 + ( 4)2 = 0，∴ 2 = 0 ， 2 = 0， 4 = 0，
∴ = 2， = 2， = 4 ，
∵ + = 2 + 2 = 4 = ，∴ 以 ， ， 为三边长不能构成三角形，故不符合题意；故选 C．
3.把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题
的条件，这种解题方法叫作配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的
应用.
例 1 用配方法因式分解： 2 + 6 + 8 .
解：原式= 2 + 6 + 9 1 = ( + 3)2 1 = ( + 3 1)( + 3 + 1) = ( + 2)( + 4) .
例 2 若 = 2 2 + 2 2 2 + 2，利用配方法求 的最小值.
解： = 2 2 + 2 2 2 + 2 = 2 2 + 2 + 2 2 + 1 + 1 = ( )2 + ( 1)2 +
1 .
因为( )2 ≥ 0，( 1)2 ≥ 0，所以当 = = 1 时， 有最小值 1.
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解： 2 12 + 35 ；
解: 2 12 + 35 = 2 12 + 36 1 = ( 6)2 1 = ( 6 1)( 6 + 1) = (
7)( 5) .
（2）若 = 2 3 + 2 025，求 的最小值；
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解: = 2 3 + 2 025 = 2 3 + ( 3 )2 ( 3 )2 + 2 025 = ( 3 )2 + 8 091 .
2 2 2 4
因为( 3 )2 ≥ 0 ，所以当 = 3时， 有最小值8 091 .
2 2 4
（3）已知 ， ， 是三角形 的三边长，且满足 2 + 2 + 2 = 6 + 8 + 10 50，求三
角形 的周长.
解:因为 2 + 2 + 2 = 6 + 8 + 10 50 ，
所以 2 6 + 9 + 2 8 + 16 + 2 10 + 25 = 0 ，
即( 3)2 + ( 4)2 + ( 5)2 = 0 .所以 3 = 0， 4 = 0， 5 = 0 .
所以 = 3， = 4， = 5 .所以 + + = 3 + 4 + 5 = 12 .
即三角形 的周长为 12.
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