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28 分式的加减
1. 已知实数 ， ， 满足 + + = 10 ，且 1 + 1 + 1 = 14，则 + + 的值是(
+ + + 17 + + +
)
A. 89 B. 13 C. 2 D. 1
17 17 17
2. 当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫作真分式.当分母的次数不高于分子的
次数时，我们把这个分式叫作假分式.任何一个假分式都能化成整式或整式与真分式的代数
和的形式.如： +1 = 1+2 = 1 + 2 = 1 + 2 .
1 1 1 1 1
阅读完这段文字后，小丽认为，当 > 1 时，随着 的不断增大， +1的值会无限接近一个数.
1
类比上述过程，当 > 1 时，随着 的不断增大，2 +7 的值会无限接近的一个数是___.
+1
3. 定义：若两个分式的差为 2，则称这两个分式属于“友好分式组”.
（1）下列 3 组分式： 3 与 ① ； 3 与 +2； 与5 +2② ③ .其中属于“友好分式组”的有___
+1 +1 1 1 2 +1 2 +1
___（只填序号）；
3 2 2（2）若正实数 , 互为倒数，求证： 2
2
与 属于“友好分式组”；
+ + 2
2 2 2
（3）若 , 均为非零实数，且分式 3 2
2
与 属于“友好分式组”，求分式 的值.
4 2 +2
51/5728 分式的加减
1. 已知实数 ， ， 满足 + + = 10 ，且 1 + 1 + 1 = 14，则 + + 的值是(
+ + + 17 + + +
)
A. 89 B. 13 C. 2 D. 1
17 17 17
解析：∵ + + = 10 ，∴ = 10 ( + )， = 10 ( + )， = 10 ( + ) .
∴ + +
+ + +
= 10 ( + ) + 10 ( + ) + 10 ( + )
+ + +
= 10 + + 10 + + 10 +
+ + + + + +
= 10 + 10 + 10 3
+ + +
= 10( 1 + 1 + 1 ) 3
+ + +
= 10 × 14 3 = 89 .故选 A.
17 17
2. 当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫作真分式.当分母的次数不高于分子的
次数时，我们把这个分式叫作假分式.任何一个假分式都能化成整式或整式与真分式的代数
和的形式.如： +1 = 1+2 = 1 + 2 = 1 + 2 .
1 1 1 1 1
阅读完这段文字后，小丽认为，当 > 1 时，随着 的不断增大， +1的值会无限接近一个数.
1
类比上述过程，当 > 1 时，随着 的不断增大，2 +7 的值会无限接近的一个数是___.
+1
解析：2 +7 = 2( +1)+5 = 2 + 5 .∵ 当 > 1 时， 5 的值随着 的不断增大而减小， 5 的值
+1 +1 +1 +1 +1
无限接近 0，∴ 2 +7 的值会无限接近 2.
+1
3. 定义：若两个分式的差为 2，则称这两个分式属于“友好分式组”.
90/100
（1）下列 3 组分式： 3 与 ； 3 与 +2 5 +2① ② ；③ 与 .其中属于“友好分式组”的有___
+1 +1 1 1 2 +1 2 +1
___（只填序号）；
解：②③
2 2
（2）若正实数 , 互为倒数，求证： 3 与 2
2+ + 2
属于“友好分式组”；
证明：∵ ， 互为倒数， ∴ = 1 .

2
2
∴ 3 2
2
= 3
2 2 3 3 =
3 2 = 3
3 3+2 3
2 2 2 1 1 3 3 3 =
2( +1) = 2 .
+ + + + 2 +1 +1 +1
3+1

2 2
∴ 3 2 与
2 属于“友好分式组”.
+ + 2
2 2 2
（3）若 , 均为非零实数，且分式 3 2 2与
属于“友好分式组”，求分式 2 的值.
4 +2
3 2解：|
2
|
4 2 +2
2
= | 3 ( 2 ) |
( +2 )( 2 ) ( +2 )( 2 )
3 2= |
2+2 2| = | 2 +2 | .
( +2 )( 2 ) 2 4 2
2 2
∵ ， 均为非零实数，且分式 3 与 属于“友好分式组”，∴ | 2 +2 2 | = 2 . 4 2 +2 2 4 2
∴ 2 2 + 2 = 2( 2 4 2)或 2 2 + 2 = 2( 2 4 2) ,
整理得 = 4 ①或 = 4 2 2 2 ②.
2 2 2 2
把①代入 2 ，得16 2 2 =
7 ；
4 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2把 代入 ，得 = = 1②
4 2 2 2 2( 2
,
2 2) 2
2∴ 2
2
的值为 7或 1 .
2 2
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