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1 三角形中边的关系
1.不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为 1 + 1 + 2 = 4 ；若四条整数长
度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该四条线段的长度和的最小值为 1 + 1 + 2 + 3 = 7；
，依此规律，若八条整数长度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该八条线段的长度
和的最小值为____.
解析：根据题意，不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为 1 + 1 + 2 = 4 ，
可以发现最后一条线段长为前两条线段长度之和，即 1 + 1 = 2 ，四条线段的长度和的最小值
为 1 + 1 + 2 + 3 = 7 ，也可找出最后一条线段长为与它相邻的前两条线段长度之和，即 1 +
2 = 3 ，同理可得八条整数长度的线段的长度和的最小值为 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 +
21 = 54 .
2.已知木棒 长度为 35 cm、木棒 长度为 70 cm .
（1）若现要求选择第三根木棒 与木棒 , 首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒 长度
的取值范围.
解：根据三角形的三边关系，得 70 35 < < 70 + 35 ，
即 35 < < 105 .
所以木棒 长度的取值范围是 35 cm < < 105 cm .
（2）有一木棒长度为 130 cm ，现要求把其切割分为两根木棒 , （木棒 , 的长度之和恰好
为 130 cm），若在 , , 中任选 2 根木棒，它们与木棒 首尾顺次连接都能组成三角形，求木
棒 长度的取值范围.
解： = 35 cm， = 70 cm， + = 130 cm .
①如果木棒 ， ， 能组成三角形，那么 35 cm < < 105 cm ；
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②如果木棒 ， ， 能组成三角形，那么 35 cm < < 105 cm ，
因为 + = 130 cm，所以 25 cm < < 95 cm ；
③如果木棒 ， ， 能组成三角形，那么| | < < + ，
即|130 70| < < 130 + 70 ，解得 30 cm < < 100 cm .
综上所述，35 cm < < 95 cm .
3.对于有理数 ， ，定义新运算： ∞ = + ， = .其中 ， 是常数，已知
1∞1 = 1 ，3 2 = 8 .
（1）求 ， 的值；
解：由题意得 + = 1, 解得 = 2,3 2 = 8, = 1.
∞ = 5 7,
（2）若关于 ， 的方程组 = 7 9中， 是等腰三角形腰的长度， 是底的长度，求
的取值范围以及等腰三角形周长 的取值范围；
解： ∞ = 5 7, 2 = 5 7,因为 = 7 9, 所以 2 + = 7 9,
= 3 4,
解得 = 1,
因为 是等腰三角形腰的长度， 是底的长度，
所以 2 > > 0，所以 2( 1) > 3 4 > 0 ，所以4 < < 2 .
3
因为该等腰三角形的周长 = 2 + = 2( 1) + 3 4 = 5 6，
所以2 < < 4 .
3
6
1 ∞ 1 = = ,（3）若关于 ， 的方程组 1
, 5
2 2 =
的解为 2 求关于 '， '的方程组2 = ,
5
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3 1( ' + ')∞4 1( ' ') = 5 1,
' ' ' ' 的解.3 2( + ) 4 2( ) = 5 2
3 ( '解： 1 +
')∞4 1( ' ') = 5 1,
3 ( '2 + ') 4 2( ' ') = 5 2
3( '+ ') 4( ' ' 1 ∞
)
1 = 1,
可变形为 5 5
3(
'+ ') 4(
' ')
2 2 = ,5 5 2
3( '+ ') = ', ' '5 1 ∞ 1 = 1,令 则
4( ' ') ' '= ', 2 2 = 2,
5
6
∞ = , = ,
因为关于 ， 的方程组 1 1 1 的解为 5 2 2 = 2 = 2 ,
5
' = 6 ' ' ,
所以关于 ', '的方程组 1 ∞ 1 = 1,' 的解为
5
' 22 2 = 2 ' = ,
5
3( '+ ') = 6 , ' = 5 ,
所以 5 5' ' 解得
4
4( ) = 2 , ' =
3 .
5 5 4
' = 5 ,
所以所求方程组的解为 4
' = 3 .
4
5/1001 三角形中边的关系
1.不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为 1 + 1 + 2 = 4 ；若四条整数长
度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该四条线段的长度和的最小值为 1 + 1 + 2 + 3 = 7；
，依此规律，若八条整数长度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该八条线段的长度
和的最小值为____.
2.已知木棒 长度为 35 cm、木棒 长度为 70 cm .
（1）若现要求选择第三根木棒 与木棒 , 首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒 长度
的取值范围.
（2）有一木棒长度为 130 cm ，现要求把其切割分为两根木棒 , （木棒 , 的长度之和恰好
为 130 cm），若在 , , 中任选 2 根木棒，它们与木棒 首尾顺次连接都能组成三角形，求木
棒 长度的取值范围.
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3.对于有理数 ， ，定义新运算： ∞ = + ， = .其中 ， 是常数，已知
1∞1 = 1 ，3 2 = 8 .
（1）求 ， 的值；
∞ = 5 7,
（2）若关于 ， 的方程组 = 7 9中， 是等腰三角形腰的长度， 是底的长度，求
的取值范围以及等腰三角形周长 的取值范围；
6
1 ∞
= ,
（3）若关于 ， 的方程组 1
= 1, 5
= 的解为 2 求关于 '， '的方程组2 2 2 = ,
5
3 1( ' + ')∞4 ' '1( ) = 5 1, 的解.
3 2( ' + ') 4 2( ' ') = 5 2
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