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2 三角形的高、中线与角平分线
1. 如图 ，四边形 的面积为 11 cm2 ， = 2 ， = 3 ，
则△ 的面积等于( )
A. 36 cm2 B. 40 cm2
C. 44 cm2 D. 48 cm2
解析：如图所示 ，连接 ，
设 2 2△ = cm ， △ = cm ，因为 = 2 ,
所以 2 2△ = 2 cm ， △ = 2 cm ，因为 = 3 ，
所以 △ = 1 ，即 + = 1 ，整理得 3 + = 11① ，
△ 3 11+2 3
因为 = 2 cm2△ ，
所以 △ = △ = 11 2 = 3 + 2 = + cm2 ，四边形
△ = △ + △ = 2 + 2 = 2 + cm2 ，
所以 △ = = + = 1 ，所以 △ = +11 = = 1 ,
△ 2 + 2 △ 3 2
即 + 3 + = 1 , 化简 ，得 8 = ② = 1,，联立①②解得
3 2 = 8,
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所以 △ = △ + △ = 11 + + 3 = 11 + 1 + 24 = 36 cm2 .
2.如图 ，直角三角形 中 ，∠ = 90 ， = 10 ， = 8 ， = 6 ，点 是边
上一动点 ，作直线 经过点 ， ，分别过点 ， 作 ⊥ ， ⊥ ，垂足分
别为 ， .设线段 ， 的长度分别为 1 ， 2 ，则 1 + 2 的最大值为____.
解析：由题意可得 1 1△ = △ + △ ，即 = +
1 , 化简
2 2 2
可得 1 + 2 = , 解得 1 + =

2 .易知当 + 1 2 取最大值时 ， 取最小
值.由垂线段最短可得 , 当 ⊥ 时 ， 最小. 此时 = 1 = 1△ , 可得2 2
= ，所以 + 的最大值为
1 2
= = 10.

3. 【问题情境】如图① ， 是△ 的中线 ，△ 与△ 的面积有怎样的数量关系？
小陈同学在图①中作出 边上的高 ，根据中线的定义可知 = .又因为高 相同 ，
所以 △ = △ ，于是 △ = 2 △ ，
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积.
【深入探究】
（1）如图② ，△ 的面积为 4 cm2 ，延长 到点 ，延长 到点 ，延长 到点 ，
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使 = ， = ， = ，依次连接 , , 得到△ ，求△ 的面积.
解：如图① ，
连接 ， ，因为 = ，所以 2△ = △ = 4 cm ， △ = △ ，
所以 △ = 2 △ = 8 cm2 ，
因为 = ，所以 2△ = △ = 4 cm ， △ = △ ，
所以 △ = 2 △ = 8 cm2 ，
因为 = ，所以 = = 8 cm2△ △ ，所以 △ = = 4 cm2△ ，
所以 △ = + = 8 cm2△ △ ，所以 △ = 2△ = 8 cm ，
所以 △ = 2△ + △ + △ + △ = 8 + 8 + 8 + 4 = 28 cm .
【拓展延伸】
（2）如图③.若四边形 的面积为 ，分别延长四边形 的各边 ，使得 = ，
= ， = ， = ，依次连接 , , , 得到四边形 .
①若 = = 2 ，求四边形 的面积；（用含 的代数式表示）
解：如图② ，连接 ， ， ，
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设△ 的面积为 , △ 的面积为 ，则 + = ，
因为 = 2 ， = 2 ，
所以 △ = 2 △ = 2 ， △ = 2 △ = 2 ，
因为 = 2 ， = 2 ，
所以 △ = 2 △ = 4 ， △ = 2 △ = 4 ，
所以 △ = △ + △ = 6 ，
△ = △ + △ = 6 ，
所以 △ + △ = 6 + 6 = 6 + = 6 ，
同理可得 △ + △ = 6 ，
所以 = △ + 四边形 △ + △ + △ + = 6 + 6 + = 13 ；四边形
②直接写出四边形 的面积.（用含 , , 的代数式表示）
解： = 2 + + + 1
四边形
解析：如图③，连接 , , , 设△ 的面积为 , △ 的面积为 ，则 + = ，
因为 = ， = ，所以 △ = △ = ， △ = △ = ，
因为 = ， = ，
所以 △ = △ = ， △ = △ = ，
所以 △ = △ + △ = + ， △ = △ + △ = + ，
所以 △ + △ = + + + = + ( + ) = ( + ) ，
同理可得 △ + △ = + ，
所以 =
四边形 △
+ △ + △ + △ + 四边形
= + + + + = 2 + + + 1 .
9/1002 三角形的高、中线与角平分线
1. 如图 ，四边形 的面积为 11 cm2 ， = 2 ， = 3 ，
则△ 的面积等于( )
A. 36 cm2 B. 40 cm2
C. 44 cm2 D. 48 cm2
2.如图 ，直角三角形 中 ，∠ = 90 ， = 10 ， = 8 ， = 6 ，点 是边
上一动点 ，作直线 经过点 ， ，分别过点 ， 作 ⊥ ， ⊥ ，垂足分
别为 ， .设线段 ， 的长度分别为 1 ， 2 ，则 1 + 2 的最大值为____.
3. 【问题情境】如图① ， 是△ 的中线 ，△ 与△ 的面积有怎样的数量关系？
小陈同学在图①中作出 边上的高 ，根据中线的定义可知 = .又因为高 相同 ，
所以 △ = △ ，于是 △ = 2 △ ，
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积.
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【深入探究】
（1）如图② ，△ 的面积为 4 cm2 ，延长 到点 ，延长 到点 ，延长 到点 ，
使 = ， = ， = ，依次连接 , , 得到△ ，求△ 的面积.
【拓展延伸】
（2）如图③.若四边形 的面积为 ，分别延长四边形 的各边 ，使得 = ，
= ， = ， = ，依次连接 , , , 得到四边形 .
①若 = = 2 ，求四边形 的面积；（用含 的代数式表示）
②直接写出四边形 的面积.（用含 , , 的代数式表示）
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