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4 直角三角形的性质与判定
1.如图 ，在△ 中 ， 是 上一点 ，将△ 沿 翻折后得到△ ，边 交 于点
．若△ 中有两个角相等 ，则∠ = ____________．
答案：15 或30
解析：在△ 中，∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∵ ∠ ∠ = 10 ，∴ ∠ = 40 ，
设∠ = ，则∠ = 180 40 = (140 ) ，
∴ ∠ = 180 ∠ = (40 + ) .
由折叠可知∠ = ∠ = (140 ) ，
当∠ = ∠ = 40 时 ，∴ ∠ = 180 40 40 = 100 ，
∴ 140 = 100 + 40 + ，解得 = 0 （不存在）；
当∠ = ∠ = 40 时 ，140 = 40 + 40 + ，解得 = 30 ，
即∠ = 30 ；当∠ = ∠ 时 ，
∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180 ， ∴ ∠ = 1 × (180 40 ) = 70 ，
2
∴ 140 = 70 + 40 + ，解得 = 15 ，
即∠ = 15 ，综上 ，∠ = 15 或30 .
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2. 在一个三角形中 ，如果一个角是另一个角的 2 倍 ，这样的三角形我们称之为“智慧三角
形”．比如：三个内角分别为100 ，50 ，30 的三角形是“智慧三角形”．如图 ，点 为射
线 上一点 ，过点 作 ⊥ 交 于点 ，以 为端点作射线 ，交线段 于点 ．
（1）∠ =____ ；
答案：50
（2）若∠ = 60 ．求证：△ 为“智慧三角形”
【证明】∵ ∠ = 60 ，∴ ∠ = 120 .
又∵ ∠ = 40 ，∴ ∠ = 180 120 40 = 20 ， ∴ ∠ = 2∠ .
∴ △ 为“智慧三角形”.
（3）当△ 为“智慧三角形”时 ，请求出∠ 的度数．
解：分情况讨论：①当∠ = 2∠ 时 ，∠ = 100 ，
∴ ∠ = 90 30 = 60 ；
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②当∠ = 2∠ 时 ，∴ ∠ = 105 > 90 ，故舍去；
③当∠ = 2∠ 时 ，故舍去；
④当∠ = 2∠ 时 ，∴ ∠ = 90 25 = 65 ；
180 50
⑤当∠ = 2∠ 时 ，∠ = ( ) = ( 130 ) ，∴ ∠ = 90 ( 130 ) = ( 140 ) ；
3 3 3 3
⑥当∠ = 2∠ 时 ，∠ = 2 × ( 180 50 ) = ( 260 ) ，
3 3
∴ ∠ = 90 ( 260 ) = ( 10 ) ；
3 3
综上所述 ，∠ 的度数为60 或65 或( 140 ) 或( 10 ) .
3 3
3.如果三角形的两个内角 与 满足 2 + = 90 ，那么我们称这样的三角形为“准直角三角
形”.
（1）若△ 是“准直角三角形” ，则∠ = ____.
答案：15
（2）如图① ，在△ 中 ，
① 是△ 的角平分线 ，判断：△ ____（填“是”或“不是”）“准直角三角形”；
②点 是边 上一点 ，△ 是“准直角三角形” ，若∠ = 36 ，则∠ 的度数是___
_______.
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答案：是 ，36 或27
解析：如图① ，
易知∠ > 90 ，∵ △ 是“准直角三角形” ，
∴ ∠ + 2∠ = 90 或 2∠ + ∠ = 90 ，
∵ ∠ = 36 ，∠ = 1 (90 ∠ ) = 27 或∠ = 90 2∠ = 18 ，
2
∴ ∠ = ∠ ∠ = 54 27 = 27 或
∠ = ∠ ∠ = 54 18 = 36 .
故答案为36 或27 .
（3）如图② ， 是直线 上两点 ，点 在直线 外 ，且∠ = 56 ，若 是 上一点 ，且
△ 是“准直角三角形” ，请求出∠ 的度数.
如图② ，
若点 1在点 左侧 ，△ 1 是“准直角三角形” ，且 2∠ 1 + ∠ 1 = 90 ，
∵ ∠ 1 + ∠ 1 = 180 ∠ 1 = 180 (180 ∠ ) = ∠ = 56 ，
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∴ ∠ 1 + 56 = 90 ，∴ ∠ 1 = 34 .
∴ ∠ 1 = 90 2∠ 1 = 90 2 × 34 = 22 ；
若点 2在点 左侧 ，△ 2 是“准直角三角形” ，且 2∠ 2 + ∠ 2 = 90 ，
∵ ∠ 2 + ∠ 2 = 180 ∠ 2 = 180 (180 ∠ ) = ∠ = 56 ，
∴ ∠ + 56 = 90 ，∴ ∠ = 34 2 2 ；
若点 3在点 右侧 ，△ 3 是“准直角三角形” ，且 2∠ 3 + ∠ 3 = 90 ，
∵ ∠ 3 = 56 ，∴ 2∠ 3 + 56 = 90 ，∴ ∠ 3 = 17 ，
∴ ∠ 3 = 180 ∠ 3 ∠ = 180 56 3 17 = 107 ；
若点 4在点 右侧 ，△ 4 是“准直角三角形” ，且 2∠ 4 + ∠ 4 = 90 ，
∵ ∠ 4 = 56 ，∴ ∠ 4 = 17 .
综上所述 ，∠ 的度数为34 或22 或107 或17 .
20/1004 直角三角形的性质与判定
1.如图 ，在△ 中 ， 是 上一点 ，将△ 沿 翻折后得到△ ，边 交 于点
．若△ 中有两个角相等 ，则∠ = ____________．
2. 在一个三角形中 ，如果一个角是另一个角的 2 倍 ，这样的三角形我们称之为“智慧三角
形”．比如：三个内角分别为100 ，50 ，30 的三角形是“智慧三角形”．如图 ，点 为射
线 上一点 ，过点 作 ⊥ 交 于点 ，以 为端点作射线 ，交线段 于点 ．
（1）∠ =____ ；
（2）若∠ = 60 ．求证：△ 为“智慧三角形”
（3）当△ 为“智慧三角形”时 ，请求出∠ 的度数．
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3.如果三角形的两个内角 与 满足 2 + = 90 ，那么我们称这样的三角形为“准直角三角
形”.
（1）若△ 是“准直角三角形” ，则∠ = ____.
（2）如图① ，在△ 中 ，
① 是△ 的角平分线 ，判断：△ ____（填“是”或“不是”）“准直角三角形”；
②点 是边 上一点 ，△ 是“准直角三角形” ，若∠ = 36 ，则∠ 的度数是___
_______.
（3）如图② ， 是直线 上两点 ，点 在直线 外 ，且∠ = 56 ，若 是 上一点 ，且
△ 是“准直角三角形” ，请求出∠ 的度数.
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