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3 三角形的内角和
1. 如图 ， // ， // ， 平分∠ 交 于点 ，点 是射线 上任一点 ，
连接 , ，若∠ = ∠ ，∠ ∠ = 60 ，则∠ 的大小为( )
A. 60 B. 15
C. 60 或15 D. 15 或70
解析：分情况讨论：
①如图① ，当点 在线段 上时 ，因为 // ，
所以∠ = ∠ ，
因为 平分∠ ，所以∠ = 1∠ ，
2
因为 // ，所以∠ = ∠ ，
因为∠ = ∠ ，所以∠ = ∠ = 1∠ ，
2
所以∠ = ∠ .所以 // ，所以∠ + ∠ = 180 ，
又因为∠ ∠ = 60 , 所以易得∠ = 60 ；
②如图② ，当点 在线段 的延长线上时 ，延长线段 交 于点 ，
因为 // ，所以∠ = ∠ ，
又因为∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，所以∠ = ∠ = 1∠ ，
2
10/100
因为 平分∠ ，所以∠ = 1∠ ，
2
因为 // ，所以∠ + ∠ = 180 ，
所以∠ + ∠ = 1∠ + 1∠ = 1 (∠ + ∠ ) = 90 ，
2 2 2
所以在△ 中 ，∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 90 ，
所以在△ 中 ，∠ + ∠ = 90 ，
又因为∠ ∠ = 60 ，
所以易得∠ = 15 .
综上 ，∠ 的大小为60 或15 .
2. 如图 ，在△ 中 ， 平分∠ ，交 于点 ，动点 在射线 上（不与点 重合）
，过点 作 // 交线段 于点 （不与点 ， 重合） ，∠ 的平分线所在的直线与
射线 交于点 .
（1）如图① ，当点 在线段 上时.
①若∠ = 40 ，∠ = 60 ，则∠ 的度数为____ , ∠ 的度数为____；
解析：因为 平分∠ ，∠ = 40 ，所以∠ = 1∠ = 20 .
2
又因为 // ，∠ = 60 , 所以∠ = ∠ = 20 , ∠ = ∠ = 60 .
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因为 平分∠ ，所以∠ = 1∠ = 30 .
2
所以∠ = 180 20 30 = 130 .
所以∠ = 180 ∠ = 50 .
②求证：∠ = 90 1∠ ；
2
证明：因为 平分∠ ，所以∠ = 1∠ .
2
因为 // ，所以∠ = ∠ = 1∠ , ∠ = ∠ .
2
因为 平分∠ ，所以∠ = 1∠ = 1∠ .
2 2
所以∠ = 180 ∠ = ∠ + ∠
1 1
= ∠ + ∠
2 2
1
= (∠ + ∠ )
2
1
= (180 ∠ )
2
= 90 1∠ .
2
（2）当点 在线段 的延长线上时 ，在图②中画出图形并直接写出∠ 与∠ 之间的数量
关系.
解：当点 在线段 的延长线上时 ，画图如图所示：
12/100
∠ = 1∠
2
解析：因为 平分∠ ，所以∠ = 1∠ .因为 // ，
2
所以∠ = ∠ = 1∠ ，∠ = ∠ ，
2
所以∠ = 180 ∠ = 180 ∠ .
如图 , 因为 平分∠ ，所以∠ = 1∠ = 90 1∠ .
2 2
所以∠ = 180 ∠ = 90 + 1∠ .
2
所以∠ = 180 ∠ ∠
1 1
= 180 ∠ (90 + ∠ )
2 2
1
= 90 (∠ + ∠ )
2
1
= 90 (180 ∠ )
2
= 1∠ .
2
3.如图 ，已知直线 与直线 , 分别相交于点 , ，点 是位于 下方 ， 上方 ，
右侧的一点 ，∠1 + ∠2 = 180 .
（1）求证： // ；
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证明：因为∠1 = ∠ ，∠2 = ∠ ，∠1 + ∠2 = 180 ，
所以∠ + ∠ = 180 ，所以 // .
（2）若 ， 分别平分∠ ，∠ ，请在图①中画出 ， .判断 与 是否垂
直 ，并说明理由（不要求尺规作图）；
解：如图① ，
与 垂直.理由：
因为 ， 分别平分∠ ，∠ ，所以∠ = 1∠ ，∠ = 1∠ ，
2 2
又因为∠ + ∠ = 180 , 所以∠ + ∠ = 1 (∠ + ∠ ) = 90 ，
2
所以∠ = 90 ，所以 ⊥ .
（3）如图② ，过点 作 ⊥ ，交 于点 ，点 是射线 上一点 ，连接 ， ，
∠ = 90 ，作∠ 的平分线 ，交 于点 ，点 是∠ 的邻补角平分线上一点 ，
连接 ，若∠ ∠ = 90 ，试判断射线 上是否存在一点 ，连接 , 有 +
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> , 请说明理由.
解：不存在.理由：如图② ，假设存在 , 延长 交 于点 .
因为∠ ∠ = 90 ，所以∠ = 90 + ∠ ，
因为∠ = 90 , 所以∠ = 180 ∠ = ∠ + ∠ = 90 + ∠ ，
因为 平分∠ , 所以∠ = ∠ ，所以∠ = ∠ ，
所以 ， ， 三点共线 , 即 , 重合 ，所以∠ = ∠ .
因为 ⊥ , // , 所以 ⊥ , 所以∠ = 90 .
又由∠ = 90 , 易知 2∠ + ∠ = 180 .
设 为 延长线上一点.因为 平分∠ , 所以
∠ = ∠ .所以 2∠ + ∠ = 180 ，所以∠ = ∠ ，
又因为∠ = ∠ ，所以∠ = ∠ = 90 ，所以 + ≤ ，
所以射线 上不存在一点 ，使得 + > .
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1. 如图 ， // ， // ， 平分∠ 交 于点 ，点 是射线 上任一点 ，
连接 , ，若∠ = ∠ ，∠ ∠ = 60 ，则∠ 的大小为( )
A. 60 B. 15 C. 60 或15 D. 15 或70
2. 如图 ，在△ 中 ， 平分∠ ，交 于点 ，动点 在射线 上（不与点 重合）
，过点 作 // 交线段 于点 （不与点 ， 重合） ，∠ 的平分线所在的直线与
射线 交于点 .
（1）如图① ，当点 在线段 上时.
①若∠ = 40 ，∠ = 60 ，则∠ 的度数为____ , ∠ 的度数为____；
②求证：∠ = 90 1∠ ；
2
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（2）当点 在线段 的延长线上时 ，在图②中画出图形并直接写出∠ 与∠ 之间的数量
关系.
3.如图 ，已知直线 与直线 , 分别相交于点 , ，点 是位于 下方 ， 上方 ，
右侧的一点 ，∠1 + ∠2 = 180 .
（1）求证： // ；
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（2）若 ， 分别平分∠ ，∠ ，请在图①中画出 ， .判断 与 是否垂
直 ，并说明理由（不要求尺规作图）；
（3）如图② ，过点 作 ⊥ ，交 于点 ，点 是射线 上一点 ，连接 ， ，
∠ = 90 ，作∠ 的平分线 ，交 于点 ，点 是∠ 的邻补角平分线上一点 ，
连接 ，若∠ ∠ = 90 ，试判断射线 上是否存在一点 ，连接 , 有 +
> , 请说明理由.
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