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5 三角形的外角
1.在一个四边形中 ，若存在一个内角是它的对角的一半 ，我们称这样的四边形为“匀称四边
形” ，如图 ， 平分∠ ，点 为 上一点 ，点 是射线 上的动点 ，连接 交射
线 于点 ，若 ⊥ ， 交射线 于点 ， 交射线 于点 （点 在点 右侧） ，
当四边形 为 “匀称四边形”时 ，∠ = ____________.
解析：
分情况讨论：当∠ = 2∠ 时 ，如图① ，
∵ ∠ = 30 ， 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ = 1∠ = 15 . ，
2
∴ ∠ = 90 ，∠ = 90 ∠ = 60 ，
又∵ ∠ = ∠ + ∠ ，∴ ∠ = ∠ ∠ = 45 ；当∠ = 2∠ 时 ，
如图② ，∵ ∠ = 75 ，
∴ ∠ = 1∠ = 105

= 52.5 ，又∵ ∠ + ∠ + ∠ = 180 ，∠ = 60 ，
2 2
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 67.5 .
综上所述 ，当四边形 为“匀称四边形”时 ，∠ 的度数为45 或67.5 .
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2.如图 ，在△ 中 ， 是 边上的高 ， 平分∠ ，∠ = ∠ + 80 ，则∠
的度数为____.
解析：∵ 在△ 中 ， 是 边上的高 ，∴ ∠ = 90 ，∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ = 1∠ .设∠ = ，∠ = ，则∠ = 2 ，
2
∵ ∠ = ∠ + 80 ，∴ (∠ + 80 ) + ∠ + ∠ = 180 ，
即 2 + 2 + 80 = 180 ，∴ + = 50 . ∵ ∠ 是 Rt △ 的一个外角 ，
∴ ∠ = 10 ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = ( 10 ) + = ( + ) 10 = 40 .
3. 直线 ⊥ ，垂足为 ，点 ， 分别在射线 ， 上运动 ，点 ， 均不与
点 重合.
（1）如图① ， 平分∠ ， 平分∠ ，若∠ = 40 ，求∠ 的度数；
解：∵ 直线 ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∵ ∠ = 40 ，∴ ∠ = 90 40 = 50 ，
∵ 平分∠ ， 平分∠ ，
∴ ∠ = 1∠ = 20 ，∠ = 1∠ = 25 ，
2 2
22/100
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 135 .
（2）如图② ， 平分∠ ， 平分∠ ， 的反向延长线交射线 于点 .在 ，
两点运动的过程中 ，∠ 的度数是否发生变化 若不变 ，试求∠ 的度数；若变化 ，请说明
变化规律.
解：∠ 的度数不变 ，求解过程如下：∵ 直线 ⊥ ，
∵ 平分∠ ， 平分∠ ，∴ ∠ = 2∠ ，
∵ ∠ = ∠ + ∠ = 90 + ∠ ，∴ 2∠ = 90 + 2∠ ，
又∵ ∠ = ∠ + ∠ ，∴ ∠ = 45 .
（3）如图③ ，已知点 在 的延长线上 ，∠ 的平分线 、∠ 的平分线 与∠
的平分线所在的直线分别相交于点 ， 在△ 中 ，如果有一个角的度数是另一个角的 4
倍 ，请求出∠ 的度数.
解：∵ 直线 ⊥ ，∵ 平分∠ ，∴ ∠ = 1∠ = 45 ，
2
又∵ ∠ + ∠ = ∠ = 45 ，∴ ∠ < 45 ，
∵ 是∠ 的平分线 ， 是∠ 的平分线 ，
∴ ∠ = 1∠ ，∠ = 1∠ ，
2 2
又∵ ∠ + ∠ = 180 ，
23/100
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 1∠ + 1∠ = 1 (∠ + ∠ ) = 90 .
2 2 2
分情况讨论：①当∠ = 4∠ 时 ，符合题意 ，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 22.5 ，∴ ∠ = 2∠ = 45 ，∴ ∠ = 90 ∠ = 45 ；
②当∠ = 4∠ 时 ，∴ ∠ = 90 ∠ = 67.5 > 45 ，不符合题意 ，舍去；
③当∠ = 4∠ 时 ，∵ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = 4 × 90 = 72 > 45 ，不符合题意 ，舍去；
5
④当∠ = 4∠ 时 ，∵ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = 1 × 90 = 18 ，符合题意 ，
5
∴ ∠ = ∠ ∠ = 27 ，∴ ∠ = 2∠ = 54 ，∴ ∠ = 90 ∠ = 36 .
综上 ，∠ 的度数为36 或45
24/1005 三角形的外角
1.在一个四边形中 ，若存在一个内角是它的对角的一半 ，我们称这样的四边形为“匀称四边
形” ，如图 ， 平分∠ ，点 为 上一点 ，点 是射线 上的动点 ，连接 交射
线 于点 ，若 ⊥ ， 交射线 于点 ， 交射线 于点 （点 在点 右侧） ，
当四边形 为 “匀称四边形”时 ，∠ = ____________.
2.如图 ，在△ 中 ， 是 边上的高 ， 平分∠ ，∠ = ∠ + 80 ，则∠
的度数为____.
3. 直线 ⊥ ，垂足为 ，点 ， 分别在射线 ， 上运动 ，点 ， 均不与
点 重合.
（1）如图① ， 平分∠ ， 平分∠ ，若∠ = 40 ，求∠ 的度数；
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（2）如图② ， 平分∠ ， 平分∠ ， 的反向延长线交射线 于点 .在 ，
两点运动的过程中 ，∠ 的度数是否发生变化 若不变 ，试求∠ 的度数；若变化 ，请说明
变化规律.
（3）如图③ ，已知点 在 的延长线上 ，∠ 的平分线 、∠ 的平分线 与∠
的平分线所在的直线分别相交于点 ， 在△ 中 ，如果有一个角的度数是另一个角的 4
倍 ，请求出∠ 的度数.
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