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课时拔尖 8 三角形全等的判定（ASA 和 AAS）
1. 如图，在 Rt△ 中，∠ = 90 ， 为 的中点， 为 上一点，过点 作 // ，交
的延长线于点 ，若 = 8， = 6，则四边形 周长的最小值是( )
A. 24 B. 22 C. 20 D. 18
解析：∵ // ，∴ ∠ = ∠ .
∵ 是 的中点，∴ = .
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中， = , ∴ △ ≌△ (ASA). ∴ =
∠ = ∠ ,
又∵ = 6， = 8，∴ 四边形 的周长= + + + = + + + =
+ + = 14 + . ∴ 当 最小时，即 ⊥ 时四边形 的周长有最小值.易知
此时 = = 8. ∴ 四边形 的周长最小值为 14 + 8 = 22 .
2. 如图，在△ 中，∠ = 90 ， 为 边上的高， = 3 cm， = 6 cm，点 从
点 出发，在直线 上以每秒 2 cm 的速度移动，过点 作 的垂线交直线 于点 ，当点
运动多少秒时， =
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解：由∠ = 90 和 为 边上的高易知
∠ = ∠ . ∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 = ∠ .
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS) .∴ = = 6 cm .
= ,
如图，
①当点 在点 右侧移动时，点 记为点 ' ,即 ' = 6 cm .
∴ ' = ' + = 6 + 3 = 9(cm) .∴ 点 移动了 9 ÷ 2 = 4.5(s) .
②当点 在点 左侧移动时， = = 6 3 = 3(cm).
∴ 点 移动了 3 ÷ 2 = 1.5(s) .
综上所述，当点 从点 出发，向右移动 4.5 s 时， = ;
当点 从点 出发，向左移动 1.5 s 时， = .
3，（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图①，已知：在
△ 中，∠ = 90 , = ，直线 经过点 , ⊥ 直线 , ⊥ 直线 ，垂足分
别为点 , .求证： = + .
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证明：∵ ⊥ , ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90 . ∴ ∠ + ∠ = 90 .
∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ .
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS). ∴ = , = .
= ,
∵ = + ，∴ = + .
（2）组员小刘想，如果当直线 绕点 旋转到图②的位置时， , , 具有怎样的数量关
系？请直接写出这个数量关系.
解： = .
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图③，过△
的边 , 向外作正方形 和正方形 , 是 边上的高，延长 交 于点 ，求
证： 是 的中点.
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证明：如图，
过 作 ⊥ 于 , ⊥ 交 的延长线于 .
∴ ∠ = ∠ = 90 .由以上结论可知 = = ，
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS) .∴ = . ∴ 是 的中点.
= ,
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1. 如图，在 Rt△ 中，∠ = 90 ， 为 的中点， 为 上一点，过点 作 // ，交
的延长线于点 ，若 = 8， = 6，则四边形 周长的最小值是( )
A. 24 B. 22 C. 20 D. 18
2. 如图，在△ 中，∠ = 90 ， 为 边上的高， = 3 cm， = 6 cm，点 从
点 出发，在直线 上以每秒 2 cm 的速度移动，过点 作 的垂线交直线 于点 ，当点
运动多少秒时， =
3，（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图①，已知：在
△ 中，∠ = 90 , = ，直线 经过点 , ⊥ 直线 , ⊥ 直线 ，垂足分
别为点 , .求证： = + .
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（2）组员小刘想，如果当直线 绕点 旋转到图②的位置时， , , 具有怎样的数量关
系？请直接写出这个数量关系.
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图③，过△
的边 , 向外作正方形 和正方形 , 是 边上的高，延长 交 于点 ，求
证： 是 的中点.
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