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7 三角形全等的判定（SAS）
1. 如图 ，已知△ 中 ， 为平面内一动点 ， 为 上一点 ， 在 上 ，且 = =
.下面能表示 + 最小值的线段是( )
A. 线段 B. 线段
C. 线段 D. 线段
答案：B
解析：如图
连接 ，∵ = 2 ，∴ = 2 . ∵ = ，
3
∴ = . ∴ = .又∵ ∠ = ∠ ，
∴ △ ≌△ (SAS). ∴ = . ∵ + ≥ ，
∴ + ≥ . ∴ + 的最小值为线段 的长.
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2.添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.如图① ，在 Rt △ 中 ， 是高 ， 是
△ 外一点 ， 若 = 2 ，求△ 的面积.同学们可以先思考一下.小颖思考后认为可
5
以这样添加辅助线：在 上截取 = ，连接 （如图②）.根据小颖的提示 ，聪明的
你可以求得△ 的面积为____.
解析：∵ 是高 ，∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 90 ∠ ，
又∵ ∠ = 180 ∠ ∠ = 90 ∠ ， ∴ ∠ = ∠ .
又∵ ∠ = ∠ ， ∴ ∠ = ∠ .
= ,
在△ 和△ 中 ， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS).
= ,
∴ 2 2△ = △ . ∵ = = = × 20 = 8 ，5 5
∴ = 1△ =
1 × 8 × 16 = 64 ，
2 2
∴ △ = △ = 64 .
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3. 【问题情境】
（1）如图① ， 在四边形 中 ，∠ = 120 .点 ， 分别是 和 上的点 ，且
∠ = 60 ， 试探究线段 ， 之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是延长
到点 ， 使 = ，连接 .先证明△ ≌△ ， 再证明△ ≌△ ， 进
而得出 = + .你认为他的做法______.（填“正确”或“错误”）
解析：如图① ，延长 到点 ，使 = ，连接 .
∵ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ∠ = 180 ∠ = 90 = ∠ .
= ,
在△ 和△ 中 ， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) ，
= ,
∴ = ， ∠ = 60 ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 60 = ∠ .
= ,
在△ 和△ 中 ， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) ，
= ,
∴ = .又∵ = + = + ， ∴ = + ， 故他的做法正确.
【探索延伸】
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（2）如图② ， 在四边形 中， 点 ， 分别是 和 上的点 ，且∠ = 50 ，
上题中的结论依然成立吗？请说明理由.
解：上题中的结论依然成立.理由：
如图② ，延长 到点 ，使 = ，连接 .
∵ ∠ = 110 ， ∠ = 70 ， ∴ ∠ = 180 110 = 70 = ∠ .
= ,
在△ 和△ 中 ， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) ，
= ,
∴ = ， ∠ = 50 ， ∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 50 = ∠ .
在△ 和△ 中 ， ∴ = .又∵ = + = + ，
∴ = + .
【思维提升】
（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图③ ， 在四边形 中 ，若 = ，
∠ = 1∠ ，那么 = + .你认为正确吗？请说明理由.
2
解：正确.理由：如图
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③ ，延长 到点 ，使 = ，连接 .
∵ ∠ + ∠ = 180 ， ∠ + ∠ = 180 ，
= ,
在△ 和△ 中 ， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) ，
= ,
∴ = ， ∴ ∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ ∠ = ∠ .
= ,
在△ 和△ 中 ， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (SAS) ，
= ,
∴ = .又∵ = + = + ， .
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1. 如图 ，已知△ 中 ， 为平面内一动点 ， 为 上一点 ， 在 上 ，且 = =
.下面能表示 + 最小值的线段是( )
A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段
2.添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.如图① ，在 Rt △ 中 ， 是高 ， 是
△ 外一点 ， 若 = 2 ，求△ 的面积.同学们可以先思考一下.小颖思考后认为可
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以这样添加辅助线：在 上截取 = ，连接 （如图②）.根据小颖的提示 ，聪明的
你可以求得△ 的面积为____.
3. 【问题情境】
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（1）如图① ， 在四边形 中 ，∠ = 120 .点 ， 分别是 和 上的点 ，且
∠ = 60 ， 试探究线段 ， 之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是延长
到点 ， 使 = ，连接 .先证明△ ≌△ ， 再证明△ ≌△ ， 进
而得出 = + .你认为他的做法______.（填“正确”或“错误”）
【探索延伸】
（2）如图② ， 在四边形 中， 点 ， 分别是 和 上的点 ，且∠ = 50 ，
上题中的结论依然成立吗？请说明理由.
【思维提升】
（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图③ ， 在四边形 中 ，若 = ，
∠ = 1∠ ，那么 = + .你认为正确吗？请说明理由.
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