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课时拔尖10斜边及一条直角边证全等
(HL)
1.如图，在四边形
中，
平分
=4,
=3,=1
则△
的面积是(
)
A.4.5
B.6
C.9
D.12
A
B
E
C
2.如图，
，垂足为，
=12cm,
=4cm,射线
，垂足为，动点
从点出发以2cm/s的速度沿射线运动，点为射线
上一动点，满足=，当点
运动s时，△
与以点，，为顶点的三角形全等
N
Q
CP
B
3.如图①，在△
和△
中，
A
B
B
E
D
①
②
(1)求证：
22/57
(2)在图①的基础上，过点作
，交的延长线于点，作
,交的延长
线于点，
的延长线交
于点如图②，
M
B
B
E
D
①
②
①
与
有什么数量关系？请说明理由
②若四边形
的面积为35，=6，点为
的中点，则
的长为多少？请直接写出
答案。
23/57课时拔尖 10 斜边及一条直角边证全等（HL）
1. 如图，在四边形 中， ⊥ ， 平分∠ ， = ， = 4， = 3， = 1
，则△ 的面积是( )
A. 4.5 B. 6 C. 9 D. 12
解析：如图，
过 作 ⊥ ，交 的延长线于 ，则∠ = 90 .
∵ ⊥ ,∴ ∠ = ∠ = 90 .
∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ .
∠ = ∠ = 90 ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴△ ≌△ .
= ,
∴ = = 3 ， = = 4 .
在 Rt△ 和 Rt 中， = ,△ = , ∴ Rt△ ≌Rt△ .
∴ = = 1. ∴ = = 3 .∴ △ 的面积为1 × 3 × 3 = 4.5 .
2
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2.如图， ⊥ ，垂足为 ， = 12 cm， = 4 cm，射线 ⊥ ，垂足为 ，动点
从点 出发以 2 cm/s 的速度沿射线 运动，点 为射线 上一动点，满足 = ，当点
运动______s 时，△ 与以点 ， ， 为顶点的三角形全等．
解析：∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = 90 .设点 的运动时间为 s，
∵ = ，∴ 当 = 时，Rt△ ≌Rt△ ，
∴ 2 = 4 ，解得 = 2；当 = = 12 cm 时，Rt△ ≌Rt△ ，
∴ 2 = 12，解得 = 6 .综上所述,当点 运动 2 s 或 6 s 时, △ 与以点 , , 为顶点的三角
形全等.
3.如图①，在△ 和△ 中， = ， = ，∠ = ∠ .
（1）求证： = .
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证明：
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，
= ,
即∠ = ∠ .在△ 和△ 中, ∠ = ∠ ,
= ,
∴ △ ≌△ (SAS) . ∴ = .
（2）在图①的基础上，过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 ，作 ⊥ ，交 的延长
线于点 ， 的延长线交 于点 ,如图②.
① 与 有什么数量关系？请说明理由.
解： = ，理由如下：连接 ，如图.∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴ 是△ 的边 上的高， 是△ 的边 上的高，
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∵ △ ≌△ ，∴ △ = △ ，
又∵ △ =
1 ， 1△ = ， = ，2 2
∴ = ，易知∠ = ∠ = ∠ = 90 .
在 Rt 和 Rt 中， = ,△ △ = ,
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL)，∴ = .
②若四边形 的面积为 35， = 6，点 为 的中点，则 的长为多少？请直接写出
答案.
解析：由①得 = = 6 ，
在 Rt = ,△ 和 Rt△ 中， = ,
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL)，∴ = ，
∵ = ，∴ + = + ，即 = ，
∵ 点 为 的中点，∴ = = 1 ，
2
设 = = ，则 = = , = = 2 ，
∵ 四边形 = △ + △ ，
∴ 1 + 1 = 1 × 6 + 1 × 6 × 3 = 35 ，
2 2 2 2
∴ = 35，∴ = 35 .
12 12
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