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课时拔尖 11 角的平分线
1. 如图，在△ 中，∠ = 90 ， = 3， = 4 ， = 5， 是高， 是中线，
是角平分线， 交 于点 ，交 于点 ，下列说法不正确的是( )
A. △ = △ B. =
C. △ = D. = 12
△ 5
解析：A.∵ 是中线，∴ = ，
∴ △ = △ ，∴ A 正确，不符合题意.
B.∵ 是角平分线，∴ ∠ = ∠ .
∵ 为高，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ .
∵ ∠ = ∠ + ∠ ，∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，易知 = ，∴ B 正确，不符合题意.
C.过点 作 ⊥ 于点 ，如图所示.
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∵ ∠ = 90 ， 平分∠ ，∴ = .
∵ △ =
1 ， 1
2 △
= ，
2
1
∴ △ 2

= 1 =
≠ ，∴ C 错误，符合题意.
△ 2
D.∵ ∠ = 90 ， 是高，∴ 1△ = =
1 ，
2 2
又∵ = 3， = 4， = 5 ，
∴ = 12，∴ D 正确，不符合题意.
5
2.如图，在△ 中，点 在 边上，∠ = 90 ， 平分∠ 交 于点 ，过点 作 ⊥
交 的延长线于点 ，且∠ = 45 ，连接 ．
（1）求∠ 的度数；
解：∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，∵ ∠ = 45 ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 90 + 45 = 135 ，
∵ ∠ = ∠ + ∠ ，∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 135 90 = 45 ；
（2）求证： 平分∠ ；
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证明：如图,
过点 作 ⊥ 交 于点 ， ⊥ 交 于点 ，
∵ ∠ = 90 ，∠ = 45 ，∴ ∠ = 90 45 = 45 ，
由（1）可知∠ = 45 ，∴ ∠ = ∠ ,即 平分∠ .
∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ = ，
∵ 平分∠ ， ⊥ ， ⊥ ，∴ = ，∴ = ，
又∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ 平分∠ ；
（3）若 = 4， = 8 ，且 △ = 15，求 的长．
解：∵ △ = 15，∴ △ + △ = 15 ，
∴ 1 + 1 = 15 ，
2 2
∵ = 4， = 8， = ，
∴ 1 × 4 + 1 × 8 = 15 ，
2 2
∴ = 15 = 5，∴ = 5 ．
6 2 2
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3. 小宇和小明一起做数学游戏：已知∠ = 90 ，将等腰直角三角板 摆放在平面内，
使点 在∠ 的内部，且两个底角顶点 ， 分别放在边 , 上.
（1）如图①，小明摆放△ ，恰好使得 ⊥ , ⊥ ，又由于△ 是等腰直角三
角形， = ，从而直接可以判断出点 在∠ 的平分线上.请回答：小明能够直接作出
判断的数学依据是_____________________________________________.
答案：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
（2）如图②，小宇调整了△ 的位置，请判断点 在∠ 的平分线上是否仍然成立？若
成立，请证明，若不成立，请举出反例.
解：点 在∠ 的平分线上仍然成立；
证明：如图， 过点 作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，
∴ ∠ = ∠ = 90 .
又由∠ = 90 ，易知∠ = 90 .
∴ ∠ + ∠ = 90 .
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又∵ ∠ = 90 = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ .
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ,
= ,
∴ △ ≌△ (AAS). ∴ = .
又∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ 点 在∠ 的平分线上.
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1. 如图，在△ 中，∠ = 90 ， = 3， = 4 ， = 5， 是高， 是中线，
是角平分线， 交 于点 ，交 于点 ，下列说法不正确的是( )
A. △ = △ B. =
C. △ = D. = 12
△ 5
2.如图，在△ 中，点 在 边上，∠ = 90 ， 平分∠ 交 于点 ，过点 作 ⊥
交 的延长线于点 ，且∠ = 45 ，连接 ．
（1）求∠ 的度数；
（2）求证： 平分∠ ；
（3）若 = 4， = 8 ，且 △ = 15，求 的长．
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3. 小宇和小明一起做数学游戏：已知∠ = 90 ，将等腰直角三角板 摆放在平面内，
使点 在∠ 的内部，且两个底角顶点 ， 分别放在边 , 上.
（1）如图①，小明摆放△ ，恰好使得 ⊥ , ⊥ ，又由于△ 是等腰直角三
角形， = ，从而直接可以判断出点 在∠ 的平分线上.请回答：小明能够直接作出
判断的数学依据是_____________________________________________.
（2）如图②，小宇调整了△ 的位置，请判断点 在∠ 的平分线上是否仍然成立？若
成立，请证明，若不成立，请举出反例.
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