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课时拔尖 12 轴对称
1.如图，在五边形 中，∠ = 120 ，∠ = ∠ = 90 ，在 ， 上分别找到一点 ，
，使得△ 的周长最小，则∠ + ∠ 的度数为______.
解析：如图，
作点 关于 和 所在直线的对称点 ', ″，连接 ' ″ ，交 于点 ，交 于点 ，易知此
时△ 的周长最小,且∠ ' = ∠ ', ∠ ″ = ∠ .作 的延长线 .
∵ ∠ = 120 ,∴ ∠ ' = 60 ,∴ ∠ ' + ∠ ″ = 60 ,
∵ ∠ ' = ∠ '，∠ ″ = ∠ ,
且∠ ' + ∠ ' = ∠ ,∠ ″ + ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ ' + ∠ ' + ∠ + ∠ ″ = 2(∠ ' + ∠ ″) = 2 × 60 = 120 .
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2.如图，在△ 中，∠ = 90 ，点 关于边 所在直线的对称点为点 '，点 关于边 所
在直线的对称点为点 '，点 关于边 所在直线的对称点为点 '，求 △ 的值.
△ ' ' '
解：连接 ' 并延长，交 ' '于点 ， ' 交 于点 ,连接 ', '.
由题意易得 , , ' 三点共线， , , '三点共线， ' = ， ' = ， ' = ， ' ⊥ ，
∴ ∠ ' ' = ∠ = 90 .
' = ,
在△ ' '和△ 中， ∠ ' ' = ∠ ,
' = ,
∴ △ ' '≌△ (SAS) .
∴ ∠ ' ' = ∠ ， ' ' = ， △ ' ' = △ ，
∴ // ' '. ∴ ⊥ ' ' ，
∴ 1△ ' ' = ' ' ，2
又∵ 1△ = ，∴ = ，2
即 = = ' . ∴ = 1 ' ，
3
1
△ 2 ∴ = 1 =
1 .
△ ' ' ' 2 ' ' ' 3
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3.如图，在△ 中，点 , ' 关于直线 对称，点 , '关于直线 对称，点 , 分别在 ,
上，且 ' // // ' , , 交于点 ,若∠ = , ∠ = ,请写出 与 之间的关系，
并说明理由.
解： = 2 .理由如下：∵ ∠ = ,
∴ ∠ + ∠ = 180 .
∵ ' // // ' ,
∴ ∠ = ∠ ' ,∠ = ∠ ' .
∵ 点 , '关于直线 对称，
∴ ∠ ' = ∠ ,同理∠ ' = ∠ ,
∴ ∠ + ∠ = ∠ ' + ∠ ' = ∠ + ∠ = 180 .
∵ ∠ + ∠ = 180 ,
∠ + ∠ = 180 ,
∴ ∠ + ∠ = 180 + .
∵ ∠ = ,∴ ∠ = 180 .
又易知∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 360 ,
∴ 180 + + + 180 = 360 ,
∴ = 2
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1如图，在五边形
中，
=120
=90,在，上分别找到一点，
,使得△
的周长最小，则
的度数为
E
M
C
2.如图，在△中，=90，点关于边
所在直线的对称点为点·，点关于边所
在直线的对称点为点'，点关于边所在直线的对称点为点'，求，的值
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3如图，在△中，点，·关于直线对称，点，关于直线
对称，点，分别在
上，且·/川
川·，，交于点若
=，
=,请写出与
之间的关系
并说明理由，
A
D
E
B
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