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15 等腰三角形
1. 如图，在△ 中, , 的垂直平分线 1, 2相交于点 ，若∠ = 78 ，则∠ 的度
数为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
解析：如图,连接 .
∵ 1 垂直平分 ， 2垂直平分 ，∴ = ， = ，∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
= . ∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ + ∠ = ∠ = 78 ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 78 ，
∵ ∠ + ∠ = 180 ∠ = 180 78 = 102 ，∴ ∠ + ∠ = ∠ ∠ +
∠ ∠ = 102 78 = 24 ，∴ ∠ = ∠ = 12 .
2.已知△ 和△ 都是等腰直角三角形，∠ = ∠ = 90 .
57/100
（1）如图①，点 , 在 ， 上，则 ， 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出
答案不证明）
解： = , ⊥ .
解析：∵ △ 和△ 都是等腰直角三角形，∠ = ∠ = 90 ，
∴ = ， = ，
∴ = ，即 = . ∵ 点 ， 在 ， 上，∠ = 90 ， ∴ ⊥ .
（2）如图②，点 在△ 内部，点 在△ 外部，连接 ， ，则 ， 满足怎样的
数量关系和位置关系？请说明理由.
解： = ， ⊥ .
理由：如图,延长 ，分别交 , 于点 , ，
∵ △ 和△ 都是等腰直角三角形，∠ = ∠ = 90 ，
∴ = ， = .
∵ ∠ = ∠ ∠ ，∠ = ∠ ∠ ，
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= ,
∴ ∠ = ∠ .在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ .
= ,
∴ = ，∠ = ∠ .
∵ ∠ = ∠ ，∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ = 180 ，
∴ ∠ = ∠ = 90 ，即 ⊥ .
3. 数学活动：折纸与证明.折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.
如图①，在△ 中， > ，怎样证明∠ > ∠ 呢？
如图②，把 沿∠ 的平分线 翻折，因为 > ，所以点 落在 上的点 '处.于是，
由∠ ' = ∠ ，∠ ' > ∠ ，可得∠ > ∠ .
感悟与应用：
（1）如图③， 是△ 的高，∠ = 2∠ .若 = 10， = 4，求 的长.小龙同学的解
法是：将△ 沿 折叠，点 落在 边上的点 '处 ，画出图形并写出完整的解题过
程；
解：将△ 沿 折叠，点 落在 边上的点 ' 处，如图①
，
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则 = ' = 10， = ' = 4 ，∠ ' = ∠ .
∵ ∠ ' = ∠ ' + ∠ ，∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ '. ∴ ' = ' = 10 .
∴ = ' + ' = 10 + 4 = 14 .
（2）如图④， 是△ 的角平分线，∠ = 2∠ .线段 , , 之间有怎样的数量关系？
写出你的猜想并证明.
解：
= ，理由如下：
证明：把 沿∠ 的平分线 翻折，使点 落在 上的点 ' 处，如图②.
则 = ' , = ',∠ ' = ∠ .
∵ ∠ ' = ∠ + ∠ ' ，∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ ' . ∴ ' = ' .
∴ = ' = ' = ' = ，即 = .
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1. 如图，在△ 中, , 的垂直平分线 1, 2相交于点 ，若∠ = 78 ，则∠ 的度
数为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
2.已知△ 和△ 都是等腰直角三角形，∠ = ∠ = 90 .
（1）如图①，点 , 在 ， 上，则 ， 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出
答案不证明）
（2）如图②，点 在△ 内部，点 在△ 外部，连接 ， ，则 ， 满足怎样的
数量关系和位置关系？请说明理由.
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3. 数学活动：折纸与证明.折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.
如图①，在△ 中， > ，怎样证明∠ > ∠ 呢？
如图②，把 沿∠ 的平分线 翻折，因为 > ，所以点 落在 上的点 '处.于是，
由∠ ' = ∠ ，∠ ' > ∠ ，可得∠ > ∠ .
感悟与应用：
（1）如图③， 是△ 的高，∠ = 2∠ .若 = 10， = 4，求 的长.小龙同学的解
法是：将△ 沿 折叠，点 落在 边上的点 '处 ，画出图形并写出完整的解题过
程；
（2）如图④， 是△ 的角平分线，∠ = 2∠ .线段 , , 之间有怎样的数量关系？
写出你的猜想并证明.
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