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2024-2025学年湖南省娄底三中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，，则原四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.某市某月天的空气质量指数为、、、、、、、、、，这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
5.已知两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则与平行或异面
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.将一个直角边长分别为，的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥、则该圆锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.高一某班有名男生和名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为，若男生分数的方差为，全班分数的方差为，则女生分数的方差为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子次，并记下自己投掷时出现的点数，从而得到四组数据，这四组数据的相关情况如下：
甲：中位数为，众数为；
乙：中位数为，极差为；
丙：平均数为，中位数为；
丁：平均数为，方差为．
则在投掷过程中可能出现点数的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
10.设为菱形所在平面外一点，与交于，为上异于，的一点，则( )
A.
B. 与异面
C. 若为的中点，则平面
D. 若，则平面
11.如图，在中，为边上的一个三等分点靠近点，，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 是在上的投影向量
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某大学共有教师人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为：：：，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为的样本，讲师应抽取的人数为______．
13.非零复数的共轭复数为，若，则 ______．
14.在三棱锥中，平面平面，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若的面积为，求的最小值．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
求的单调递减区间；
求在区间上的值域．
17.本小题分
已知，若为纯虚数，求的值；
设复数，，若是实数，求；
已知复数满足，求．
18.本小题分
人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷随着的开源，促进了技术的共享和进步某网站组织经常使用的人进行了知识竞赛从参赛者中随机选出人作为样本，并将这人按成绩分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．
求；
求样本数据的中位数与第百分位数；
已知直方图中成绩在内的平均数为，方差为，内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数与方差．
19.本小题分
如图，四面体中，，，，，为的中点，点在上．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值；
当的面积最小时，求三棱锥的体积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由，
结合正弦定理得，
在中，，
所以，
整理得，
因为，，所以，
所以，结合，可得．
由题意得，解得，
根据余弦定理，可得，
所以，即，当且仅当时，的最小值为．
16.由题意得的最大值为，
的周期满足，解得，所以，
根据，函数取得最大值，可得，
结合，解得，所以；
令，解得，
所以的单调递减区间为；
当时，，
所以当时，取到最小值，
当时，取到最大值，可得，
所以，即在区间上的值域为．
17.由为纯虚数，
得，即；
，，若为实数，
则，即，此时；
设，由，
得，
则，解得，．
故．
18.由题意可得，解得．
前三组频率之和为，所以样本数据的中位数为；
前两组频率之和为，
则样本数据的第百分位数落在第三组，设第百分位数为，
则，解得；
由题意，成绩在，内的人数分别为，．
所以成绩在内的平均数为：，
方差为．
所以，成绩在内的平均数为，方差为．
19.证明：因为，是的中点，所以．
因为，，，根据全等三角形边角边的判定，
所以≌，
所以，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为，，
所以是等腰直角三角形，所以，．
依题意，所以，
则，所以，
又因为，，，平面，所以平面．
所以即为直线与平面所成的角．
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
因为，，且，，平面，
所以平面．
由已证≌，所以，
因为，，，根据全等三角形边角边的判定，
所以≌，
所以，是的中点，所以，
因为，所以当最短时，的面积最小．
当时，最短，过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，，所以．
过作，垂足为，则，
所以平面，且，所以，
所以．
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