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2024-2025学年新疆兵团第三师图木舒克一中高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.矩形的直观图是( )
A. 正方形 B. 矩形 C. 三角形 D. 平行四边形
2.已知向量，，且，则实数( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
3.下列说法中正确的是( )
A. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B. 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性
C. 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率
D. 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于
4.如表记录了上海某个月连续天的空气质量指数：
时间
空气质量指数
则这些空气质量指数的分位数为( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.欧拉恒等式为虚数单位，为自然对数的底数被称为数学中最奇妙的公式它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.已知数据，，，，为整数的平均数是极差的倍，从这个数中任取个不同的数，则这个数之和不小于的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正四面体中，点是线段上靠近点的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，复数，，则( )
A. 的共轭复数为 B.
C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限
10.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
11.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各个，从中不放回的依次取出个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则( )
A. B. 与相互独立
C. 与相互独立 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与的夹角为，，，则 ______．
13.已知射击运动员甲击中靶心的概率为，射击运动员乙击中靶心的概率为，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为______．
14.中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，为坐标原点．
若，求实数的值；
在的条件下，求与所成角的余弦值．
16.本小题分
为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了位同学的数学成绩作为样本成绩均在内，将所得成绩分成组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示．
求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到
从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机选出人进行数学学习经验的分享，求选出的人中恰有一人成绩在中的概率．
17.本小题分
如图，在正方体中，，分别为棱，的中点．
求证：；
求证：平面平面．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别是，，，的面积为，且满足．
求角的大小；
若，求周长的最大值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点．
若，求证：平面；
若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：根据题意，，，，
则，，
又由，则，
解可得：；
由的结论，，则，
则，，
，
则，．
16.解：由题意知，
解得，
数学成绩的平均数为：
，
由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为，，
所以该校数学成绩的中位数，
则，解得；
抽取的人中，分数在内的有，
在内的有人，
记在内的人为，，，，在内的人为，
从人中任取人，有，，，，，，，，，共种，
选出的人中恰有一人成绩在中，有，，，，，，共种，
故所求概率为．
17.证明：连接，在正方体中，，平面，
平面，
所以，
又因为，
所以平面，
又因为平面，
所以；
设，连接，
因为，分别为棱，的中点，
易证得，，
平面，平面，
所以平面，
同理可证得平面，
而，
所以平面平面．
18.解：由，可得，
，又，，
又，；
，，由余弦定理得，
，，当且仅当时取“”，
，，
的最大值为，的最大值为，周长的最大值为．
19.证明：连接，交于点，连接，如图所示，
因为，所以，所以，
又，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
解：取中点，连接，交于点，连接，则，且，
所以四边形是平行四边形，所以，，
因为，所以四边形是矩形，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以为中点，，所以是等腰直角三角形，
因为平面，
所以是直线与平面所成的角，也是直线与平面所成的角，
过点作，垂足为，连接，，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
由射影定理知，，
所以，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
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