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2024-2025学年内蒙古部分学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某班有男生人，女生人，现需要安排人参加男女混合跑步接力比赛，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女生人数为( )
A. B. C. D.
2.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，且的元素个数为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.的最小值为( )
A. B. C. D.
5.在平行四边形中，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.某正方体的展开图如图所示，则在原正方体中( )
A. 直线与相交，且直线与的夹角为
B. 直线与相交，且直线与的夹角为
C. 直线与异面，且直线与的夹角为
D. 直线与异面，且直线与的夹角为
8.( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 的虚部为 B. 的共轭复数为
C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10.从装有除颜色外完全相同的个红球编号为，和个白球编号为，的口袋内任取个球，甲表示事件“恰有个白球”，乙表示事件“恰有个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为的小球”，则( )
A. 甲和乙为互斥而不对立事件 B. 丙和丁为互斥而不对立事件
C. D. 甲和丁为独立事件
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的图象是轴对称图形 B. 在上单调递增
C. 的值域为 D. 恰有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ______，的最小正值为______．
14.已知某圆锥的母线长是底面半径的倍，且该圆锥外接球的表面积为，则该圆锥外接球的半径为______，该圆锥的底面半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲机床一天内生产的零件的重量单位：从小到大为，，，，，，，，，．
求这组数据的分位数；
求这组数据的平均数和标准差；
求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比．
参考数据：．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求的周长．
17.本小题分
已知平行四边形的三个顶点，，，且，，，按逆时针方向排列．
求点的坐标；
求向量与夹角的余弦值；
求平行四边形的面积．
18.本小题分
某次答辩活动有道题目，第题分，第题分，第题分，第题分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第，，，题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的．
求甲得分的概率；
求甲得分的概率；
若参加者的答辩分数大于分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率．
19.本小题分
如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，．
证明：平面；
证明：平面；
若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.甲机床一天内生产的零件的重量单位：从小到大为：
，，，，，，，，，，
，
这组数据的分位数为．
，
．
由题意得，
则零件重量位于和之间的有，，，，，，共个，
零件重量位于和之间的个数及所占的百分比为．
16.因为，
由余弦定理得．
因为，所以．
因为，，
所以，
由可知，
即，
所以，
所以的周长为．
17.已知平行四边形的三个顶点，，，且，，，按逆时针方向排列，
则，
设，
则，
由，
得，
得，
所以点的坐标为．
由题意得，
，，，
所以向量与夹角的余弦值为．
由可知向量与夹角的余弦值为，
则向量与夹角的正弦值为，
所以平行四边形的面积为．
18.甲得分的概率为；
甲得分有两种情况：甲答对第题和第题，甲答对第题，
故甲得分的概率为；
若甲恰好答对道题目答辩成功，则甲必定答对第题和第题，
甲答辩成功的概率为，
若甲恰好答对道题目答辩成功，
则甲答对第题、第题、第题，或者答对第题、第题、第题，或者答对第题、第题、第题，
甲答辩成功的概率为，
由可知甲得分的概率为，所以甲答辩成功的概率为．
19.证明：因为，分别为，的中点，，所以．
因为平面，平面，所以平面．
证明：如图所示，连接，，
易得，，，．
因为，所以，
因为，所以．
因为平面，平面，，
所以平面．
解：将直三棱柱补成直四棱柱，
设，的中点分别为，，连接，，，，，，，
设与的交点为．
因为，，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为，所以，即，，，四点共面．
因为，，
所以四边形是平行四边形，所以D.
由可知平面，所以平面，所以，
由，得，即点到平面的距离为，
当点在的三边上运动时，
，
易得，
当与重合时，取得最大值，则取得最小值，最小值为，
此时取得最小值，最小值为如图，过作，垂足为．
易得，
则，
所以．
当与重合时，取得最大值，则取得最大值，最大值为．
故的取值范围为．
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