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2024-2025学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数，则( )
A. B. C. D.
2.用按比例分配的分层随机抽样方法，从某学校的名男生和名女生中选取人参与某项研学活动，则女生比男生多选取( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
3.已知点，，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B. C. D.
4.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
5.平面平面的一个充分条件是( )
A. 存在一条直线，，
B. 存在一条直线，，
C. 存在两条平行直线，，，，
D. 存在两条异面直线，，，，，
6.在直三棱柱中，，，则直线与的夹角为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是( )
A. 甲：平均数为，中位数为 B. 乙：中位数为，众数为
C. 丙：平均数为，方差为 D. 丁：中位数为，方差为
8.已知函数，则( )
A. 若函数相邻两条对称轴的距离为，则
B. 当，时，的值域为
C. 当时，是的对称中心
D. 若在内有且仅有两个零点，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，位评委对他们的演讲分别进行打分满分分，得到如图所示的统计图，则( )
A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差小于乙得分的极差
C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
10.若，均为复数，下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图是一个正八边形窗花，图是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 的最大值为
D. 若函数，则函数的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，，且，则实数 ______．
13.已知，，则 ______．
14.在三棱锥中，，且，，分别是，的中点，，则三棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知内角，，的对边分别为，，，且．
若，求；
若，，求．
16.本小题分
如图，为菱形平面外一点，且，为线段上的动点．
求证：平面平面；
是否存在点使得平面，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．
17.本小题分
年月日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委负责人表示，将持续推进“体重管理年”行动，某学校对学生进行体重健康知识测试得到如下频率分布直方图，图中．
求图中的值并估计得分的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
若有超过的人得分在分及以上，则认为学生知识掌握度整体合格该校学生知识掌握度整体合格了吗？请说明理由．
18.本小题分
函数的部分图象如图所示，其中为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形．
求实数的值；
已知时，都有，求实数的取值范围；
若，且，求的值．
19.本小题分
如图，四棱锥中，点，分别为，的中点，，，，是边长为的正三角形．
求证：平面；
若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值；
求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
参考答案
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15.解：因为，，
可得，所以，
可得，所以；
因为，，由余弦定理可得，
可得，
整理可得，
可得．
16.解：证明：取，的交点为，连接，如下图所示：
因为四边形是菱形，
所以，且为的中点，
又，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
存在，为线段的中点，满足平面．
连接，
因为，分别为，的中点，
所以是的中位线，即，
因为平面，平面，
所以平面，
因此存在点，当为线段的中点时，满足平面．
17.由频率分布直方图可得，结合，解得，．
平均值为：，
所以的值为，平均值为．
由图可知估计该校学生中得分在分及以上的概率为：
，
因此认为该校学生知识掌握度整体合格了．
18.由题意得，
根据正的高为，可得，
所以函数的周期，解得；
因为当时，都有，
所以，且区间在单调递减区间内，
由得，
根据，令，可得的一个单调减区间为，
所以，可得，实数的取值范围是；
由，可得，
整理得，因为，所以，
所以
．
19.证明：如图，在四棱锥中，延长交于点，
因为是边长为的等边三角形，所以．
在中，因为，且．
所以，则为中点．
又因为为的中点，所以，则．
又因为，平面，，所以平面，
所以平面．
因为平面，平面，
所以，，
所以二面角的平面角为，
因为三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积为，
则，
所以，又因为，，
所以，
所以；
因为，
所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
由可知平面，平面，
所以平面平面，
所以即为所求角，
在中，，，
由正弦定理：，
所以，
当，即如中平面时，，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
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