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八上数学 RJ
章末小结
第十五章 轴对称
生活中的轴对称
作对称轴
轴对称
画轴对称的图形
关于坐标轴对称的点的坐标的关系
等腰三角形
等边三角形
本章知识结构图
1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够__________，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的________. 折叠后重合的点是对应点，叫作________.
2. 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形______，那么就说这两个图形关于这条直线成__________，也称这两个图形关于这条直线对称.
互相重合
对称轴
对称点
重合
轴对称
轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系
轴对称图形 两个图形成轴对称
图示
区别 对象
意义
对称轴的数量
对称轴的位置
一个图形.
两个图形.
一个形状特殊的图形.
两个图形之间的
位置关系.
一条或多条.
只有一条.
一定经过这个图形上的一些点.
可能不经过这两个图形上的任一点.
轴对称图形 两个图形成轴对称
图示
联系 (1)都能沿某条直线折叠后互相重合；
(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.
把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.
轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系
轴对称的性质：
（1）成轴对称的两个图形_______；
（2）无论是轴对称图形，还是成轴对称的两个图形，连接对称点的线段被对称轴_________.
全等
垂直平分
1. 定义：经过线段______并且______于这条线段的______，叫作这条线段的垂直平分线.
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______.
3. 判定：与线段两个端点__________的点在这条线段的垂直平分线上.
中点
垂直
直线
相等
距离相等
线段的垂直平分线
互逆命题与互逆定理
1. 互逆命题：两个命题的题设、结论正好______.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的________.
2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是________，那么它也是一个定理，这两个定理叫作_____________，其中一个定理叫作另一个定理的____________.
相反
逆命题
真命题
注意：原命题成立时，它的逆命题__________________________.
可能成立，也可能不成立
互逆定理
逆定理
线段的垂直平分线——尺规作图
A
B
作法：
(1) 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点；
(2) 作直线 CD.
CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
C
D
中点
也可以用这种方法确定线段的中点
线段的垂直平分线——尺规作图
也可以用这种方法确定线段的中点.
作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴：
找出图形中的任意一对________后连接，作出所连线段的____________，该直线即为轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.
对称点
垂直平分线
A
B
C
经过已知直线外一点作这条直线的垂线：
作法：
(1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E；
(2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F；
(3)作直线 CF.直线 CF即为所求作的垂线.
E
D
F
画轴对称的图形：画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的_______，按顺序连接这些_______，就可以得到与原图形成轴对称的图形.
对称点
对称点
用坐标表示轴对称：
点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(___，___)；
x –y
–x y
点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(___，___).
1. 性质：
等腰三角形的两个_____相等（简写成“__________”）.
等腰三角形底边上的______、 ____及______________重合（简写成 “__________”）.
2. 判定方法：
有____________的三角形是等腰三角形（定义法）.
有____________的三角形是等腰三角形（简写“____________”）.
等腰三角形的性质和判定方法
底角
等边对等角
中线
三线合一
高
顶角平分线
两个角相等
等角对等边
两边相等
等边三角形的性质和判定方法
1. 性质：
等边三角形的三个内角都_____，并且每一个角都等于______.
等边三角形每条边上的______、 ____及所对角的_________重合.
相等
60°
2. 判定方法：______________的三角形是等边三角形（定义法）.
______________的三角形是等边三角形.
有______________的等腰三角形是等边三角形.
三个角都相等
一个角是60°
三边都相等
中线
高
平分线
在直角三角形中，如果一个锐角等于______ ，那么它所对的直角边等于斜边的_______.
含30°角的直角三角形的性质：
30°
一半
1.下列体育比赛项目的图标中，其图案是轴对称图形的是（ ）
B
2. 若等腰三角形顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个等腰三角形的底角的度数是（ ）
A.30° B.40°
C.50° D.60°
B
3.如图，在△ABC中，∠C=40°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为( )
A.40° B.50°
C.80° D.100
C
4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE等于（ ）
A.1:2 B.2:3
C.2:5 D.3:8
A
5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A(-2，1)，B(-1，3)， C(-4，4).先作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2；若B2(2，1)，则点A2的坐标为
( )
A.(1，5) B.(1，3)
C.(5，3) D.(5，5)
B
A1
C1
B1
A2
C2
B2
6.将含30°角的直角三角板和直尺按如图的方式放置，已知∠α=60°，点B， C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为_______.
2 cm
△ABC是等边三角形
7.如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠ABC=15°，则△ABC的面积为____·
16
D
8. 如图，等边三角形ABC的边长为 1，D，E 分别是 AB，AC 上的点，将△ADE 沿直线 DE 折叠，使点 A 落在点 A′ 处，且点 A′ 在△ABC 的外部，则阴影部分的图形的周长之和为______.
3
解析：由折叠的性质可得 AD = A′D，AE = A′E，
∴ 阴影部分的图形的周长之和为
BD + A′D + BC + A′E + CE
= BD + AD + BC + AE + CE
= AB + BC + AC = 1 + 1 + 1 = 3.
9. 如图，在△ABC 中，AB 和 AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D，E，且点 D 在点 E 的左侧. 若BC = 6，则△ADE 的周长是 .
6
10.如图，在正方形网格中画出与已知图形关于直线l对称的图形.
①
②
③
l
l
l
11.如图，C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.
(1)如图1，线段AN与线段BM交于点O，求∠AOM的度数；
解：(1)∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC=CM,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN,
即∠ACN=∠BCM.
在△ACN和△MCB中，，
11.如图，C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.
(1)如图1，线段AN与线段BM交于点O，求∠AOM的度数；
∴△ACN≌△MCB.
∴∠ANC=∠MBC.
∴∠AOM =∠CAN+∠MBC
=∠CAN+∠ANC
=∠BCN
=60°.
11.如图，C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.
(2)如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，连接EF，探究△CEF的形状，并证明你的结论.
(2)△CEF 是等边三角形.证明如下：
由(1)知△ACN≌△MCB,
∴∠CAE=∠CMF.
∵∠MCF=180-∠ACM-∠BCN=60°，
∴∠ACE=∠MCF.
11.如图，C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.
(2)如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，连接EF，探究△CEF的形状，并证明你的结论.
在△ACE和△MCF中，
∴△ACE≌△MCF.
∴CE=CF.
∵∠MCF=60°.
∴△CEF是等边三角形.

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