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八上数学 RJ
第1课时
第十五章 轴对称
15.1 图形的轴对称
15.1.2 线段的垂直平分线
探索并证明线段垂直平分线的性质定理及点在线段垂直平分线上的判定，并会运用这些定理证明线段相等或垂直等，发展推理能力.
了解互逆命题，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.
复习 线段的垂直平分线的定义是什么？
轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质.
我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系.
探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，···在l上，分别比较点P1，P2，P3 ，···与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？
A
B
l
P3
P2
P1
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
可以发现，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，…，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B······都是重合的，因此它们也分别相等.
由此猜想线段的垂直平分线有以下性质：
A
B
l
P3
P2
P1
如何证明？
通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质.
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =BC，点P在l上．
求证PA=PB．
A
B
P
C
l
证明：当点P与点C不重合时，
∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．
又AC=CB，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）．
∴PA=PB．
当点P与点C重合时，显然成立.
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
A
B
P
C
l
符号语言：
如图，∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上，∴PA=PB.
例1 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.
若AB=5，AC=8，则△ABD的周长是______.
13
思考
把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
知识点2 点在线段垂直平分线上的判定
如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
P
A
B
C
证明：如图，过点P作PC⊥AB，垂足为C，
则∠PCA=∠PCB=90°．
在Rt△PCA和Rt△PCB中，
∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．
∴AC=BC．
又PC⊥AB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
知识点2 点在线段垂直平分线上的判定
符号语言：
如图，已知线段AB，∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
同样地，通过证明两个三角形全等，可以得到：
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
A
B
P
C
l
知识点2 点在线段垂直平分线上的判定
所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.
从上面两个结论可以看出:
知识点2 点在线段垂直平分线上的判定
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
例2 如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.
(1)求证：PA=PB=PC.
(1)证明：∵边AB，BC的垂直平分线相交于点P，
∴PA=PB，PB=PC，
∴PA=PB=PC.
知识点2 点在线段垂直平分线上的判定
例2 如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
(2)解：∵PA=PC，
∴点P在边AC的垂直平分线上.
由此可得出结论：
①三角形三边的垂直平分线相交于一点；
②这个点与这个三角形三个顶点的距离相等.
*三角形外接圆的圆心
知识点2 点在线段垂直平分线上的判定
思考 分析下面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
这两个命题的题设、结论正好相反.
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；
而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
在几何中，有许多互逆的定理.
例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，
“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.
例3 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1)同位角相等，两直线平行.
(2)如果x=3，那么x2=9.
(3)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等.
解：(1)逆命题：两直线平行，同位角相等. 成立.
(2)逆命题：如果x2=9，那么x=3.
不成立，如：(-3)2=9，-3≠3.
(3)逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值也相等. 成立.
1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
A
B
C
D
E
解：AB=AC=CE，AB+BD=DE. 理由如下：
∵AD⊥BC，BD=DC，即AD垂直平分BC，
∴AB =AC.
又点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=CE.
∴AB=AC=CE，
∴AB +BD=CE+DC，即AB +BD =DE.
2.如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
为什么？
A
M
B
C
解：直线AM是线段BC的垂直平分线.
理由如下：
∵AB =AC，MB =MC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，点M也在线段BC
的垂直平分线上.
∵线段BC的垂直平分线只有一条且两点确定一条直线，
∴直线AM是线段BC的垂直平分线.
3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等.
解：(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行.成立.
(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.
不成立，如2和-2的绝对值相等，但2≠-2.
解：(3)逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形.
不成立，如图所示是两个形状相同但大小不同的三角形，显然它们的对应角相等，但它们不是全等三角形.
形状相同，大小不同.
3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(3)全等三角形的对应角相等.
线段的垂直平分线
性质定理的逆定理
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
性质定理
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理

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