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第二章有理数的运算单元测试卷 2025-2026学年人教版七年级数学上册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了 ( )
A. 加法交换律 B. 加法交换律和加法结合律
C. 加法结合律 D. 无法判断
2.已知是最大的负整数，是绝对值最小的整数，是最小的正整数，则等于( )
A. B. C. D.
3.一个数与的和是，这个数是( )
A. B. C. D.
4.有两个正数和，满足，规定把大于等于且小于等于的所有数记作，例如大于等于且小于等于的所有数记作如果在中，在中，那么的一切值所在的范围是( )
A. B. C. D.
5.已知上周五周末不开市沪市指数以点报收，本周内股市涨跌情况如下表“”表示比前一天涨，“”表示比前一天跌：
星期 一 二 三 四 五
股指变化点
则本周五的沪市指数报收点为 ( )
A. B. C. D.
6.计算，结果是 ( )
A. B. C. D.
7.在中，运用了( )
A. 乘法交换律 B. 乘法结合律
C. 分配律 D. 乘法交换律和乘法结合律
8.为计算简便，把写成省略加号的和的形式，正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.信号的传播速度为，将数据用科学记数法表示为 ．
10.已知热气球向空中上升时每升高，气温下降，若现在气球的高度为米，且地面温度为，则此时气球所在高度的气温为______
11.已知，则以，，为边的三角形是______三角形．
12.已知和互为相反数，的绝对值为，则的值为 ．
13.已知是最大的负整数，是绝对值最小的整数，是最小的正整数，则等于 。
14.已知，为等腰的边长，且满足，则的周长是______．
15.一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是______．
16.计算：______．
三、计算题：本大题共2小题，共21分。
17.计算：
；
；
；
。
18.计算．
四、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
结果精确到；
结果精确到个位；
结果精确到百位；
结果精确到亿位。
20.本小题分
阅读感悟：代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．
解决“已知实数、满足，证明：”这一问题可用两种方法证明，请将下面的证明过程填写完整．
证法：因为______，且，
所以 ______， ______，在横线上填上适当的不等符号
所以．
证法：因为且，均为正，
所以 ______， ______不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变
所以不等式的传递性
所以．
请你尝试证明：若，则．
21.本小题分
阅读下列材料：我们把形如的式子称为“行列式”，其运算法则为：例如：请你运用材料回答：
计算：______．
已知，，求的值．
若的三边长为、、，满足，，求的周长．
22.本小题分
人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关。如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么。
正常情况下，一个岁的少年在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？
一个岁的人运动时心跳的次数为次，他有危险吗？
23.本小题分
某商场为了促销商品，推出了两种优惠方案．
方案一：购买商品满元，超出部分打八折；
方案二：一律按原价的九折优惠．
当购买商品原价为元时，分别求出两个方案所需价钱，哪种方案更优惠？
已知某商品的原价为元，试说明随着商品价格的变化，哪种方案更优惠？
24.本小题分
数学兴趣小组开展探究活动，研究了均为自然数，且的问题研究过程如下：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
按照以上规律，填空．
请你写出当时，____________；
猜想______．
兴趣
按照以上规律，请你猜想__________________，并证明．
25.本小题分
年月日是江苏省城市足球联赛简称“苏超”扬州泰州赛，扬州作为主场，为运动员们提供了营养早餐其中克早餐食品中，蛋白质总含量为，包括一份粮谷类食品，一份牛奶和一个鸡蛋一个鸡蛋的质量约为克，蛋白质含量占；粮谷类食品和牛奶的部分营养成分如表所示．
每克粮谷类食品营养成分表
能量 千焦
脂肪 克
蛋白质 克
碳水化合物 克
钠 毫克
每克牛奶营养成分表
能量 千焦
脂肪 克
蛋白质 克
碳水化合物 克
钙 毫克
设该份早餐中粮谷类食品为克，牛奶为克，请写出粮谷类食品中所含的蛋白质为______克，牛奶中所含的蛋白质为______克；
请求出该营养早餐中，粮谷类食品和牛奶的质量分别为多少克？
为了更好的备战，我市举办了为期一周的赛前集训，主办方提供了，两套午餐：
套餐 主食克 肉类克 水果克 其它克
为了膳食平衡，要求运动员在一周内，两种套餐均要选择如果在一周里，午餐主食摄入总量不超过克，那么运动员在一周里可以选择，套餐各几天？写出所有的方案说明：一周按天计算
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了有理数相关概念，绝对值，关键是能准确理解相关知识并求得，，的值．
利用有理数的知识分别求出，，的值，再计算绝对值即可．
【解答】
解：由题意得，，，，
则，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是有理数的减法．
根据一个加数等于和减去另一个加数求解即可．
【解答】
解：根据题意得，这个数是．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：因为在内，在内，
所以的最小值为，最大值为
所以的一切值所在的范围是
故选：．
根据在内，在内，可得的最小值与最大值，进而即可得到答案．
本题考查了有理数的大小比较．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法，表示数据时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】
解：．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：根据题意列式计算可得：
，
故答案为：．
根据题意列式计算即可．
本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列式计算是解题的关键．
11.【答案】直角
【解析】解：，
，，，
，，，
，
以、、为边的三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
根据算术平方根、绝对值、偶次方的非负性求出、、的值，可得，再利用勾股定理的逆定理判断即可．
本题主要考查了算术平方根、绝对值、偶次方、勾股定理的逆定理的等知识点，掌握勾股定理逆定理成为解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了代数式求值，相反数，以及绝对值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用相反数，绝对值的代数意义求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】
解：根据题意得：，或，
当时，；当时，．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查有理数的概念，绝对值以及有理数的加法，根据最大的负整数是，绝对值最小的数是，最小的正整数是，然后代入计算即可．
【解答】
解：由题意可知：，，，
．
故答案为．
14.【答案】或
【解析】解：，
，，
，，
当等腰三角形的腰长是时，
，满足三角形三边关系定理，
此时的周长，
当等腰三角形的腰长是时，
，满足三角形三边关系定理，
此时的周长，
综上所述：的周长是或．
故答案为：或．
由非负数的性质求出，；分两种情况，由三角形三边关定理，得到等腰三角形的腰长可能是或，于是得到答案．
本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，非负数的性质：绝对值、偶次方，关键是要分两种情况讨论．
15.【答案】
【解析】解：三位数为，
它与其各位数之和的商为，
当，时，，
商的最大值是．
三位数为，得到，当，时，，得出商的最大值是．
本题考查了三位数的结构，数字之和与商的关系，解题关键在于找出不等式关系．
16.【答案】
【解析】解：设，
则，
得：，
则，
即原式，
故答案为：．
利用错位相减法进行计算即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握其运算方法是解题的关键．
17.【答案】【小题】
解：
。
【小题】
。
【小题】
。
【小题】
。

【解析】 见答案
见答案
见答案
见答案
18.【答案】解：原式．
原式．
原式．
【解析】本题主要看考查有理数的混合运算．
先计算括号，再计算乘除即可；
先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可；
先计算乘方，再去括号，计算乘除，最后计算加减即可．
19.【答案】【小题】
解：，
【小题】
，
【小题】
，
【小题】

【解析】 略
略
略
略
20.【答案】，，，，；
详见解答．
【解析】解：证法：因为，且，
所以，，
所以．
证法：因为且，均为正，
所以，不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变，
所以不等式的传递性，
所以；
故答案为：，，，，；
，
，
．
根据不等式的性质进行解答即可；
根据不等式的性质进行计算即可．
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是正确解答的关键．
21.【答案】；
；
．
【解析】由题意可得，
；
故答案为：；
由题意可得，
，
，，
原式；
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
解得，，，
的周长．
根据运算法则直接运算即可得到答案；
根据运算法则得到，再整体代入即可得到答案；
根据运算法则得到，根据非负性得到，，，再利用三角形的周长公式计算即可得到答案．
本题考查定义新运算，整式的混合运算，读清楚新运算的法则是解题的关键．
22.【答案】【小题】
解：将代入，
得：次，
故正常情况下，在运动时一个岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数约是次．
【小题】
解：把代入，
得：次分，
每秒为次秒，
秒为，
所以他无危险．

【解析】 详细解答和解析过程见【答案】
详细解答和解析过程见【答案】
23.【答案】方案一需元，方案二需元，方案一更优惠；
当时，方案二更优惠；当时，方案一和方案二一样优惠；当时，方案一更优惠．
【解析】当购买商品原价为元时，
方案一需：元；
方案二需：元；
元元，
方案一更优惠．
某商品的原价为元，
方案一所需价钱：元；
方案二所需价钱：元；
由，解得；
由，解得；
由，解得．
当时，方案二更优惠；
当时，方案一和方案二一样优惠；
当时，方案一更优惠．
分别按“方案一”和“方案二”求得所需要的钱，然后再比较即可；
先列出方案一需：元，方案二需，再分、、三种情况解答即可．
本题主要考查了有理数混合运算的应用、列代数式、解一元一次不等式等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
24.【答案】，； ，，，证明见解析．
【解析】当时，；
猜想：．
故答案为：，；；
猜想：
证明：
，
所以左边右边，猜想成立．
根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决；
根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律，并进行证明即可．
本题主要考查了数字变化的规律及整式的混合运算，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键．
25.【答案】，；
该营养早餐中，粮谷类食品的质量为克，牛奶的质量为克；
共有种选择方案，
方案：选择套餐天，套餐天；
方案：选择套餐天，套餐天；
方案：选择套餐天，套餐天．
【解析】根据题意得：粮谷类食品中所含的蛋白质为克；
牛奶中所含的蛋白质为克．
故答案为：，；
设该营养早餐中，粮谷类食品的质量为克，则牛奶的质量为克，
根据题意得：，
解得：，
克．
答：该营养早餐中，粮谷类食品的质量为克，牛奶的质量为克；
设运动员在一周里可以选择套餐天，则选择套餐天，
根据题意得：，
解得：，
又，均为正整数，
可以为，，，
共有种选择方案，
方案：选择套餐天，套餐天；
方案：选择套餐天，套餐天；
方案：选择套餐天，套餐天．
根据每克粮谷类及牛奶中蛋白质的含量，结合该份早餐中粮谷类食品及牛奶的质量，即可求出粮谷类食品及牛奶中所含的蛋白质的质量；
设该营养早餐中，粮谷类食品的质量为克，则牛奶的质量为克，根据“克早餐食品中，蛋白质总含量为”，可列出关于的一元一次，解之即可得出结论；
设运动员在一周里可以选择套餐天，则选择套餐天，根据“在一周里，午餐主食摄入总量不超过克”，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，均为正整数，即可得出各选择方案．
本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
第6页，共16页

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