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专题1.2 有理数和数轴
【浙教版】
题型一：判断是否为有理数 1
题型二：根据有理数的概念判断选项是否正确 2
题型三：有理数的分类 3
题型四：判断数轴是否正确 5
题型五：数轴上的点表示有理数 6
题型七：利用数轴比较字母的大小 10
题型八：数轴上两点之间的距离 11
题型九：数轴上找规律类题型 12
题型十：数轴上的动点问题（压轴题） 14
知识点一 ：有理数的概念
可以写成分数形式的数称为有理数，其中包含
①正整数：1，4，8，16......
②零：0
③负整数：-1，-2，-3，-5......
④正分数：，，，......
⑤负分数：，，，......
注意：有限小数和无限循环小数都能够写成分数的形式，所以有限小数和无限循环小数也属于有理数，无限不循环小数不能够写成分数的形式，所以无限不循环小数不是有理数。
题型一：判断是否为有理数
例1（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式训练1-1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式训练1-2】（24-25七年级上·广东清远·期中）下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有( )个
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练1-3】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个．
【变式训练1-4】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）列出下列各数：，1.010010001，，0，，，．其中有理数的个数是 ．
题型二：根据有理数的概念判断选项是否正确
例2（24-25七年级上·广东广州·期中）下列说法中，错误的有（ ）
① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ．
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练2-1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（ ）
A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界
B．既不是正数，也不是负数
C．是整数，也是最小的自然数
D．不能写成分数的形式，不是有理数
【变式训练2-2】（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（ ）
A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数
C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数
【变式训练2-3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　）
A．最小的有理数是0
B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合
C．分数分为正分数和负分数
D．非负整数即为正整数
【变式训练2-4】（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．是最大的负有理数 B．有理数包括整数、分数和零
C．整数只包括正整数和负整数 D．没有最小的有理数
【变式训练2-5】（24-25七年级上·广东广州·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．有理数分为正有理数、负有理数和0 B．整数都可以写成分数的形式
C．可以写成分数形式的数就是有理数 D．整数包括正整数和负整数
【变式训练2-6】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（ ）
①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点二 ：有理数的分类
第一种分类方式 第二种分类方式
易错点：这两种分类方式只能取其中一种，不能两种分类方式混在一起，避免重复使用。
题型三：有理数的分类
例3（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里：
①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧．
整数集合：{ __________________ }；
负分数集合：{ __________________ }；
正有理数集合：{ __________________ }．
【变式训练3-1】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中：
正有理数数集合：｛ ……｝
负分数集合：｛ ……｝
非负整数集合：｛ ……｝
有理数集合：｛ ……｝
【变式训练3-2】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里：
，，，，，，，，，，．
正数集合：
负数集合：
整数集合：
正分数集合： ．
【变式训练3-3】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）把下列各数填入相应的集合中（将各数用逗号分开）：
，，，0，，86，
正有理数集合{___________________________________…}；
整数集合{___________________________________…}；
非负数集合{___________________________________…}；
非正整数集合{___________________________________…}；
【变式训练3-4】（24-25七年级上·安徽六安·期末）把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称．
，0，，，，
【变式训练3-5】（24-25七年级上·广西南宁·期中）把下列序号填在相应的大括号里（只填序号，多填或少填不给分）．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨0
整数集合{______________________________……}
负有理数集合{______________________________……}
非负数集合{______________________________……}
知识点三 ：数轴的相关概念
定义： 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
三要素：
原点： 直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。通常是直线的中心点。
正方向： 通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向。用箭头标注在直线的一端。
单位长度： 在直线上，从原点向正方向每隔一个单位长度取一个点，依次表示1, 2, 3, ...；从原点向相反方向每隔一个单位长度取一个点，依次表示-1, -2, -3, ...。这个“单位长度”必须统一、明确。
易错点：①数轴三要素不完整或不规范：② 画直线时忘记标箭头（正方向）；③ 忘记标注原点 O 或数字 0。
④单位长度不统一或不明确（例如0到1的距离画得和1到2的距离不一样）。
题型四：判断数轴是否正确
例4（2025七年级下·全国·专题练习）下列各图中，数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列四个数轴的画法中，规范的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-3】（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-4】（2024七年级上·云南·专题练习）下列数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点四 ：用数轴上的点表示有理数
核心原理： 任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
表示方法：
正有理数： 表示在原点的右侧，距原点的距离等于该数的绝对值（单位长度）。
负有理数： 表示在原点的左侧，距原点的距离等于该数的绝对值（单位长度）。
零： 表示在原点。
题型五：数轴上的点表示有理数
例5（2025·吉林长春·二模）如图，数轴上的点A表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】（2025·浙江嘉兴·二模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．3 B． C．1 D．
【变式训练5-2】（2025·河北唐山·二模）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（ ）
A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5
【变式训练5-3】（24-25九年级下·四川广安·期中）如图，数轴上点表示的数是，则点表示的数是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
【变式训练5-4】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ．
【变式训练5-5】（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点，在数轴上的位置如图所示，为原点，点在数轴上所表示的数为，，点为线段的中点，则点在数轴上所表示的数为 ．
【变式训练5-6】（24-25六年级上·上海·期末）在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ．
知识点五 ：如何在数轴上比较大小
法则一（数轴法）： 在数轴上表示的两个有理数，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。
法则二： 正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，离原点越远的越小（例如-3 < -2，因为 |-3|=3 > |-2|=2）。
易错点：①认为数轴上点的位置越靠右数值越大是对的，但易错在于比较两个负数大小时出错；② 认为“数字越大，这个数就越大”（不区分正负）。如认为 -5 > -3 或 -5 > 3；
题型六：在数轴上比较两个数的大小（解答题）
例6（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来．
0，，，，，
【变式训练6-1】（23-24七年级上·四川广元·期中）已知五个数分别为：．
在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来．
【变式训练6-2】（24-25七年级上·山东德州·期末）如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是．
(1)在图中所示的数轴上标出原点，记为点，
(2)在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接．
【变式训练6-3】（24-25七年级上·广东佛山·期中）（1）如图，数轴上，，各点分别表示什么数？
（2）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数：，，，并用“”将它们连接起来．
【变式训练6-4】（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题：
(1)点C表示的有理数是：___________；
(2)将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，则点D表示的数是_________；到点D距离2个单位长度的数是_________．
(3)用数轴上的点M、N分别表示有理数和．
(4)将这5个数用“<”连接的结果是__________________．
【变式训练6-5】（24-25七年级上·山东聊城·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，也体现了“数形结合”的数学思想．在数轴上画出表示下列各数的点：，6，0，2.5，5，，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来．
【变式训练6-6】（2024七年级上·全国·专题练习）现已知数轴上的点、、、、、分别表示，，，，，，运用数轴解决下面问题．．
(1)把各点画在数轴上，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来；
(2)直接写出、和、两点之间的距离．
【变式训练6-7】（24-25七年级上·北京·期中）如图，观察数轴，解答下列问题：
(1)A点表示的有理数是______，表示有理数的点是______；
(2)用数轴上的点分别表示有理数和6；
(3)将这五个数，6，，0，用“”连接的结果是：______．
题型七：利用数轴比较字母的大小
例7（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）数、在数轴上的对应点如图所示，则、、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-3】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）数轴上表示数a，b的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【变式训练7-4】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-5】（24-25七年级上·云南文山·期中）已知三个数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-6】（24-25七年级上·湖南张家界·期中）有理数满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型八：数轴上两点之间的距离
例8（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是9，则点表示的数是 ．
【变式训练8-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数轴上有两点，点表示的数为，点在数轴的负半轴上，若，则点表示的数为 ．
【变式训练8-2】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ．
【变式训练8-3】（24-25七年级上·湖北鄂州·期末）一条数轴，从数轴上面剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
【变式训练8-4】（24-25七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应，点与点的距离为，则点在数轴上对应的有理数为 ．
【变式训练8-5】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ．
【变式训练8-6】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）一条数轴上有点、、，点在、之间，其中点、表示的数分别是，12，现在以点为折点，将数轴向右对折，当数轴的左右两侧重合，且（表示点和点的距离，表示点对折后的对应点）时，点表示的数是 ．
题型九：数轴上找规律类题型
例9（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式训练9-1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（ ）
A．2024 B．4047 C．4049 D．6071
【变式训练9-2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（ ）所对应的点重合．
A． B． C． D．
【变式训练9-3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-4】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第次后，点所对应的数为，则翻转次后，点所对应的数是 ．
【变式训练9-5】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，圆的周长为4个单位长度，数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示-2025的点与圆上表示数字 的点重合．
【变式训练9-6】（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位．
【变式训练9-7】（24-25七年级上·山东聊城·期末）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ．
题型十：数轴上的动点问题（压轴题）
例10（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒．
(1)当时，求点Q到原点O的距离；
(2)当时，求点Q到原点O的距离；
(3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离．
【变式训练10-1】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示：
(1)试确定数，；
(2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数；
(3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数．
【变式训练10-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题：
(1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______；
(2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？
【变式训练10-3】（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：
(1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合；
(2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______；
(3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度；
【变式训练10-4】（18-19七年级上·重庆綦江·期末）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，．

(1)求点A，B对应的数；
(2)动点P，Q分别同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为的中点，N在线段上，且，设运动时间为．
①求点M，N对应的数（用含t的式子表示）；
②t为何值时，．
1．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）在，，，，，，，这几个数中，正数有（ ）．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法正确的是（ ）
A．3.14不是分数
B．不带“”号的数都是正数
C．0是自然数也是正数
D．有理数分为正有理数、0和负有理数
3．（2025·河南安阳·三模）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·福建泉州·模拟预测）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ）
A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧
C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧
5．（2025·吉林辽源·三模）实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则a，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（ ）
A．或 B．或10 C．2或10 D．2或
7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点在数轴上，点 表示的数是 ，点表示的数写成小数是 ，点表示的数写成分数是 ．
9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ．
10．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知，如图所示，是数轴上的两个点，点A所表示的数为，点B表示的数为7，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点A向右运动，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ．
11．（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ．
12．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，，，，，，
13．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中．
，7， ，，，，，0 ，
(1)整数集合：；
(2)分数集合：；
(3)正数集合：；
(4)非负数集合：．
14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点．
(1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点；
(2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？
15．（24-25七年级上·北京·期中）如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点．
【理解定义】
（1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ；
【解决问题】
如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置．
（2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度；
（3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值．中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.2 有理数和数轴
【浙教版】
题型一：判断是否为有理数 2
题型二：根据有理数的概念判断选项是否正确 3
题型三：有理数的分类 7
题型四：判断数轴是否正确 11
题型五：数轴上的点表示有理数 13
题型七：利用数轴比较字母的大小 21
题型八：数轴上两点之间的距离 24
题型九：数轴上找规律类题型 28
题型十：数轴上的动点问题（压轴题） 32
知识点一 ：有理数的概念
可以写成分数形式的数称为有理数，其中包含
①正整数：1，4，8，16......
②零：0
③负整数：-1，-2，-3，-5......
④正分数：，，，......
⑤负分数：，，，......
注意：有限小数和无限循环小数都能够写成分数的形式，所以有限小数和无限循环小数也属于有理数，无限不循环小数不能够写成分数的形式，所以无限不循环小数不是有理数。
题型一：判断是否为有理数
例1（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案．
【详解】解；在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有，，0，，，共5个，
故选：C．
【变式训练1-1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．据此判断即可．
【详解】解：是有理数，有6个．
故选B．
【变式训练1-2】（24-25七年级上·广东清远·期中）下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有( )个
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都能化成分数，对各个数进行判断即可．
【详解】解：、、、、、每两个之间依次一个、，
其中有理数为、、、、，共5个，
故选：C．
【变式训练1-3】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了有理数的定义和分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键；
有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，正有理数是大于的有理数，据此解答即可．
【详解】解：：是正分数，属于正有理数；
：是负整数，小于，不是正有理数；
：既不是正数也不是负数，不是正有理数；
：是负数，不是正有理数；
，是正整数，属于正有理数；
：是无限不循环小数，不是正有理数；
：是有限小数，可化为分数，且大于，属于正有理数；
（每相邻两个之间的个数逐次加）：是无限不循环小数，不是正有理数；
综上，正有理数有，和，共3个．
故答案为：3．
【变式训练1-4】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）列出下列各数：，1.010010001，，0，，，．其中有理数的个数是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的定义是解题的关键，整数和分数统称为有理数．根据有理数的定义进行解答即可．
【详解】解：在，，，0，，，中，有理数有，，，0，，共5个，
故答案为：5．
题型二：根据有理数的概念判断选项是否正确
例2（24-25七年级上·广东广州·期中）下列说法中，错误的有（ ）
① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可．
【详解】解：① 是负分数，故①正确；
②是分数，不是整数，故②正确；
③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误；
④是有理数，故④错误；
⑤没有最小的有理数，故⑤错误；
⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误；
故选：D．
【变式训练2-1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（ ）
A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界
B．既不是正数，也不是负数
C．是整数，也是最小的自然数
D．不能写成分数的形式，不是有理数
【答案】D
【分析】本题考查了有理数，0是重要的数，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．依据0的含义以及有理数分类逐一判断即可．
【详解】解：A、表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界，故此选项正确，不符合题意；
B、0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，不符合题意；
C、0是整数，也是最小的自然数，故此选项正确，不符合题意；
D、0能写成分数的形式，是有理数，故此选项错误，符合题意；．
故选：D．
【变式训练2-2】（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（ ）
A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数
C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数
【答案】B
【分析】本题考查了整数和有理数，根据整数和有理数的定义逐项判断即可求解，掌握整数和有理数的定义是解题的关键．
【详解】解：、正整数、、负整数统称为整数，该选项说法错误，不合题意；
、整数和分数统称为有理数，该选项说法正确，符合题意；
、非负有理数就是和正有理数，该选项说法错误，不合题意；
、零是有理数，该选项说法错误，不合题意；
故选：．
【变式训练2-3】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　）
A．最小的有理数是0
B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合
C．分数分为正分数和负分数
D．非负整数即为正整数
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的概念；根据没有最小的有理数，由此即可判断A；整数集合包括正整数，负整数和0，由此即可判断B；分数分为正分数和负分数，由此可判断C；非负整数包括0和正整数，由此即可判断D．
【详解】解：A、没有最小的有理数，原说法错误，不符合题意；
B、整数集合包括正整数，负整数和0，原说法错误，不符合题意；
C、分数分为正分数和负分数，原说法正确，符合题意；
D、非负整数即为正整数和0，原说法错误，不符合题意；
故选C．
【变式训练2-4】（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．是最大的负有理数 B．有理数包括整数、分数和零
C．整数只包括正整数和负整数 D．没有最小的有理数
【答案】D
【分析】本题考查了有理数，根据有理数的分类和意义，逐一分析即可判断求解，掌握有理数的分类和意义是解题的关键．
【详解】解：A、是最大的负整数，该选项错误，不合题意；
B、有理数包括整数和分数，该选项错误，不合题意；
C、整数包括了正整数、负整数和，该选项错误，不合题意；
D、没有最小的有理数，该选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练2-5】（24-25七年级上·广东广州·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．有理数分为正有理数、负有理数和0 B．整数都可以写成分数的形式
C．可以写成分数形式的数就是有理数 D．整数包括正整数和负整数
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数，根据有理数的分类判断即可，掌握有理数的分类和分数的概念是解本题的关键．
【详解】A、有理数包括正有理数、负有理数和0，正确，不符合题意；
B、整数都可以写成分母是1的分数的形式，正确，不符合题意；
C、可以写成分数的数就是有理数，正确，不符合题意；
D、整数包括正整数，0和负整数，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式训练2-6】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述：（ ）
①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查有理数的相关概念和分类．根据有理数分为：整数和分数或者分为：正有理数，0，负有理数解答即可，熟记这些内容是解题关键．
【详解】解：有限小数和循环小数都是有理数，故①正确；
0是非负有理数，故②正确；
0既不是正数，也不是负数，是有理数，故③错误；
一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，故④正确．
综上可知正确的个数是3个．
故选C．
知识点二 ：有理数的分类
第一种分类方式 第二种分类方式
易错点：这两种分类方式只能取其中一种，不能两种分类方式混在一起，避免重复使用。
题型三：有理数的分类
例3（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里：
①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧．
整数集合：{ __________________ }；
负分数集合：{ __________________ }；
正有理数集合：{ __________________ }．
【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧
【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键．
【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中，
整数集合①，④0，⑧；
负分数集合③，⑤，⑦；
正有理数集合②0.2，⑧，
故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧．
【变式训练3-1】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中：
正有理数数集合：｛ ……｝
负分数集合：｛ ……｝
非负整数集合：｛ ……｝
有理数集合：｛ ……｝
【答案】见解析
【分析】本题考查了有理数的分类，化简多重符号，根据有理数的分类逐一填写即可．
【详解】解：
正有理数数集合：｛，……｝
负分数集合：｛，，……｝
非负整数集合：｛，……｝
有理数集合：｛，，，，，，……｝
【变式训练3-2】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里：
，，，，，，，，，，．
正数集合：
负数集合：
整数集合：
正分数集合： ．
【答案】，，，，，；
，，，；
，，，，；
，，．
【分析】本题考查了正数概念，以及有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类进行求解，即可解题．
【详解】解：正数集合：，，，，，；
负数集合：，，，；
整数集合：，，，，；
正分数集合：，，．
故答案为：，，，，，；，，，；，，，，；，，．
【变式训练3-3】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）把下列各数填入相应的集合中（将各数用逗号分开）：
，，，0，，86，
正有理数集合{___________________________________…}；
整数集合{___________________________________…}；
非负数集合{___________________________________…}；
非正整数集合{___________________________________…}；
【答案】见解析
【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类即可解答．
【详解】解：正有理数集合{，86，…}；
整数集合{，0，86…}；
非负数集合{，0，86，…}；
非正整数集合{，0…}．
【变式训练3-4】（24-25七年级上·安徽六安·期末）把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称．
，0，，，，
【答案】见解析
【分析】本题主要查了有理数的分类．根据有理数的分类解答即可．
【详解】解：如图：
【变式训练3-5】（24-25七年级上·广西南宁·期中）把下列序号填在相应的大括号里（只填序号，多填或少填不给分）．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨0
整数集合{______________________________……}
负有理数集合{______________________________……}
非负数集合{______________________________……}
【答案】①③⑨；
①⑤⑥⑦⑧；
②③④⑨；
【分析】本题考查了有理数的分类．掌握整数、负有理数、非负数的定义与特点是解答此类题目的关键．
根据整数、负有理数、非负数的定义与特点，进行作答，即可求解；
【详解】解：整数包括：、、0；
负有理数包括：、、、、；
非负数包括：、、、0；
故答案为：①③⑨；
①⑤⑥⑦⑧；
②③④⑨；
知识点三 ：数轴的相关概念
定义： 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
三要素：
原点： 直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。通常是直线的中心点。
正方向： 通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向。用箭头标注在直线的一端。
单位长度： 在直线上，从原点向正方向每隔一个单位长度取一个点，依次表示1, 2, 3, ...；从原点向相反方向每隔一个单位长度取一个点，依次表示-1, -2, -3, ...。这个“单位长度”必须统一、明确。
易错点：①数轴三要素不完整或不规范：② 画直线时忘记标箭头（正方向）；③ 忘记标注原点 O 或数字 0。
④单位长度不统一或不明确（例如0到1的距离画得和1到2的距离不一样）。
题型四：判断数轴是否正确
例4（2025七年级下·全国·专题练习）下列各图中，数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素：原点，单位长度，正方向，即可得到答案．
【详解】解：A、缺少正方形，数轴表示不正确，不符合题意；
B、缺少原点，数轴表示不正确，不符合题意；
C、单位长度不统一，数轴表示不正确，不符合题意；
D、是数轴，符合题意；
故选：D．
【变式训练4-1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列四个数轴的画法中，规范的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查数轴的意义，掌握数轴的三要素是正确判断的前提．根据数轴的三要素判断即可．
【详解】解：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，
选项A的数轴单位长度不一致，因此选项A不正确，不符合题意；
选项B的数轴无原点，无正方向，因此选项B不正确，不符合题意；
选项C符合数轴的意义，正确，符合题意；
选项D的数轴没有正方向，因此选项D不正确，不符合题意；
故选：C．
【变式训练4-2】（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴，分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目．
【详解】解：A．没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意；
B．没有原点，故此选项错误，不符合题意；
C．规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意；
D．各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【变式训练4-3】（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴的三要素，根据数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度逐一判断即可，正确理解数轴的“三要素”是解题的关键．
【详解】解：、正方向反了，不符合题意；
、单位长度不统一，不符合题意；
、没有正方向，不符合题意；
、满足数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度，符合题意；
故选：．
【变式训练4-4】（2024七年级上·云南·专题练习）下列数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的“三要素”，对选项逐个分析判断即可．
【详解】解：A、数轴中的单位长度不一致，故A选项错误；
B、数轴中的负数排列顺序错误，故B选项错误；
C、数轴中没有原点，故C选项错误；
D、的数轴是正确的数轴，故D选项正确．
故选：D．
知识点四 ：用数轴上的点表示有理数
核心原理： 任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
表示方法：
正有理数： 表示在原点的右侧，距原点的距离等于该数的绝对值（单位长度）。
负有理数： 表示在原点的左侧，距原点的距离等于该数的绝对值（单位长度）。
零： 表示在原点。
题型五：数轴上的点表示有理数
例5（2025·吉林长春·二模）如图，数轴上的点A表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数．设点表示的数为，则由数轴可得，再逐项分析即可得出答案．
【详解】解：设点表示的数为，则由数轴可得，
观察四个选项，只有选项C符合题意，
故选：C．
【变式训练5-1】（2025·浙江嘉兴·二模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查在数轴上表示有理数，数形结合，直观得到选项中各数与原点距离，从而确定答案，掌握数轴上表示有理数的方法是解决问题的关键．
【详解】解：在数轴上表示选项中各数，如图所示：
表示1的点离原点距离最近，
故选：C．
【变式训练5-2】（2025·河北唐山·二模）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（ ）
A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，根据数轴上x的值在刻度尺的5和6之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解．
【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的5和6之间，
由题意可得，数轴上x的值的取值范围是，
∵，，，
故数轴上x的值最有可能是2.3．
故选：C．
【变式训练5-3】（24-25九年级下·四川广安·期中）如图，数轴上点表示的数是，则点表示的数是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是数轴，解题的关键是根据题中提取的数量关系来求解．根据，求出，继而可以求出点A表示的数．
【详解】解：∵，点B表示的数是，
∴，
∵点A在O点右侧，
∴点A表示的数为：，
故选:A．
【变式训练5-4】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数是3，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题主要查了数轴上两点间的距离．根据数轴上两点间的距离解答即可．
【详解】解：根据题意得：点表示的数是3，，
∴点B表示的数是，
故答案为：
【变式训练5-5】（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，点，在数轴上的位置如图所示，为原点，点在数轴上所表示的数为，，点为线段的中点，则点在数轴上所表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了数轴，熟知数轴上的点所表示的数的特征是解答本题的关键．
根据题意先求出点表示的数，再结合点为线段的中点即可解决问题．
【详解】解：点在数轴上所表示的数为，，
点表示的数为，
又点为线段的中点，
点表示的数为，
故答案为：．
【变式训练5-6】（24-25六年级上·上海·期末）在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的有理数，先根据A，B点表示的数求出线段长，再分两种情况讨论：并根据折叠后的长求出的长，进而确定点C表示的有理数．
【详解】解：∵点A，B点表示的数分别是，
∴．
当折叠后点A在点B的右边，且，
∴，
解得，
∴点C表示的数是；
当折叠后点A在点B的左边，且，
∴，
解得，
∴点C表示的数是．
所以点C表示的数是或．
故答案为：或．
知识点五 ：如何在数轴上比较大小
法则一（数轴法）： 在数轴上表示的两个有理数，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。
法则二： 正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，离原点越远的越小（例如-3 < -2，因为 |-3|=3 > |-2|=2）。
易错点：①认为数轴上点的位置越靠右数值越大是对的，但易错在于比较两个负数大小时出错；② 认为“数字越大，这个数就越大”（不区分正负）。如认为 -5 > -3 或 -5 > 3；
题型六：在数轴上比较两个数的大小（解答题）
例6（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”将它们连接起来．
0，，，，，
【答案】数轴见解析，
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据数轴比较大小，熟练掌握以上知识点是解题的关键．直接利用已知数在数轴上表示，进而由右边的数比左边的数大比较大小得出答案．
【详解】解：如图所示，即为所求：
由数轴可知，用“”将它们连接起来为：．
【变式训练6-1】（23-24七年级上·四川广元·期中）已知五个数分别为：．
在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来．
【答案】在数轴上表示见解析，
【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，相反数，数轴，有理数的乘法等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键．先在数轴上表示出各个数，再比较即可；
【详解】解：
将各点在数轴上表示如图：
．
【变式训练6-2】（24-25七年级上·山东德州·期末）如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是．
(1)在图中所示的数轴上标出原点，记为点，
(2)在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析，
【分析】本题考查有理数大小比较，数轴，
（1）根据点表示的数是．点表示的数是判断原点的位置即可；
（2）根据数轴上数的特点把各数表示在数轴上，并根据数轴上右边的数总比左边的数大得出比较结果；
熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：原点位置如图，
；
（2）把各数表示在数轴上，如下：
∴．
【变式训练6-3】（24-25七年级上·广东佛山·期中）（1）如图，数轴上，，各点分别表示什么数？
（2）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数：，，，并用“”将它们连接起来．
【答案】（）表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：；（）在数轴上表示点见解析，．
【分析】（）根据点所在的位置，写出对应的值即可；
（）根据数值的大小，再数轴上表示出来；数轴上的数，左边的数比右边小；
本题考查了数轴，有理数的比较大小，熟练掌握数轴及有理数是解题的关键．
【详解】解：（）根据题意得：表示的数为：，表示的数为：，表示的数为：；
（）在数轴上表示点，如图，
由数轴特点可知：．
【变式训练6-4】（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题：
(1)点C表示的有理数是：___________；
(2)将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，则点D表示的数是_________；到点D距离2个单位长度的数是_________．
(3)用数轴上的点M、N分别表示有理数和．
(4)将这5个数用“<”连接的结果是__________________．
【答案】(1)(2)；或1(3)见详解(4)
【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察数轴，直接作答即可；
（2）先得出点A表示的有理数是：4，再结合点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，得出点D表示的数是，则点D距离2个单位长度的数是或1；
（3）结合点M、N分别表示有理数和，直接在数轴上描点，即可作答．
（4）由（3）中的数轴，越在数轴的右边的数越大，得，即可作答．
【详解】（1）解：由数轴得点C表示的有理数是：，
故答案为：．
（2）解：由数轴得点A表示的有理数是：4，
∵将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，
∴
则点D表示的数是；
或，
即到点D距离2个单位长度的数是或1；
故答案为：；或1；
（3）解：依题意，用数轴上的点M、N分别表示有理数和．如下图所示：
（4）解：由（3）中的数轴，得，
故答案为：．
【变式训练6-5】（24-25七年级上·山东聊城·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，也体现了“数形结合”的数学思想．在数轴上画出表示下列各数的点：，6，0，2.5，5，，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来．
【答案】见解析，
【分析】本题考查了用数轴表示有理数，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．
画出数轴，将数据标注在数轴上即可；根据数轴上的点，左边的总比右边的小，即可排列出大小关系；
【详解】解：用数轴上点表示有理数，如图所示：
用“”号把各数连接起来：．
【变式训练6-6】（2024七年级上·全国·专题练习）现已知数轴上的点、、、、、分别表示，，，，，，运用数轴解决下面问题．．
(1)把各点画在数轴上，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来；
(2)直接写出、和、两点之间的距离．
【答案】(1)见解析，；(2)、两点之间的距离为，、两点之间的距离为．
【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示数、利用数轴比较数的大小．解决本题的关键是根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数来比较数轴上各点表示的数的大小．
根据数轴上各点表示的数把点、、、、、分别表示在数轴上；
根据左边的点表示的数小于右边的点表示的数把各数用连接起来即可．
【详解】（1）解：把各点表示在数轴上如下图所示，
根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，可知：；
（2）解：，
．
【变式训练6-7】（24-25七年级上·北京·期中）如图，观察数轴，解答下列问题：
(1)A点表示的有理数是______，表示有理数的点是______；
(2)用数轴上的点分别表示有理数和6；
(3)将这五个数，6，，0，用“”连接的结果是：______．
【答案】(1)，B(2)见解析(3)
【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、比较有理数的大小等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）直接观察数轴即可解答；
（2）在数轴上用点分别表示有理数和6即可；
（3）根据数轴上的数右边的比左边的大比较大小即可解答．
【详解】（1）解：由数轴可知，A点表示的有理数是，表示有理数的点是B．
故答案为：，B．
（2）解：用数轴上的点分别表示有理数和6如下：
（3）解：根据（2）的数轴可知：将，6，，0，用“”连接的结果是：．
故答案为：．
题型七：利用数轴比较字母的大小
例7（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查数轴的性质以及有理数的大小比较，解题的关键是根据数轴上点的位置判断出a，b的正负性和绝对值大小关系．
先根据数轴判断a，b的正负性与绝对值大小．再根据相反数的性质得到的正负性，最后比较的大小．
【详解】从数轴可知，，且，
根据相反数的性质，的相反数的相反数，
所以，
故选：C．
【变式训练7-1】（24-25七年级上·福建泉州·期末）数、在数轴上的对应点如图所示，则、、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，熟练掌握数轴上点的特点是解本题的关键．根据有理数a、在数轴上对应的点的位置可知：，且，由此判断即可．
【详解】解：由题意可知：，且，
，
故选：B．
【变式训练7-2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较：先把数在数轴上表示出来，然后根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大进行大小比较．先在数轴上表示出，，然后根据数轴表示数的方法即可得到a、、b、之间的大小关系．
【详解】解：在数轴上表示出，，如图，
∴a、、b、之间的大小关系是：．
故选：A．
【变式训练7-3】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）数轴上表示数a，b的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查数轴上有理数比较大小．根据题意利用特殊值代入方式即可比较大小．
【详解】解：根据数轴上表示数a，b的点位置关系可设特殊值为：，，
∴，，
∴从小到大的顺序排列为：，
故选：C．
【变式训练7-4】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴比大小，利用数形结合的数学思想解答是解题的关键．
观察数轴可得，，，即可求解．
【详解】解：观察数轴得：，，
，，
，
故选：A．
【变式训练7-5】（24-25七年级上·云南文山·期中）已知三个数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据数轴可知，，据此逐项判断即可，掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：根据数轴可知，，
则、，原选项结论错误，不符合题意；
、，原选项结论错误，不符合题意；
、，原选项结论错误，不符合题意；
、，原选项结论正确，符合题意；
故选：．
【变式训练7-6】（24-25七年级上·湖南张家界·期中）有理数满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据题意把有理数在数轴上表示出来即可判断求解，正确画出数轴是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴有理数在数轴上表示如下：

由数轴可得，，
故选：．
题型八：数轴上两点之间的距离
例8（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是9，则点表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，在数轴上表示有理数．根据已知条件和两点间的距离公式，求出和，结合数轴求出点表示的数，即可作答．
【详解】解：点表示的数是9，
，，
结合点在点的左边，
∴点表示的数是，
故答案为：．
【变式训练8-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知数轴上有两点，点表示的数为，点在数轴的负半轴上，若，则点表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了数轴；
根据点在数轴的负半轴上，且，直接列式计算即可．
【详解】解：∵点表示的数为，，点在数轴的负半轴上，
∴点表示的数为，
故答案为：．
【变式训练8-2】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ．
【答案】或或或
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答．
【详解】解：数轴上对应的数为，点的距离为4，
对应的数为或，
数轴上对应的数为，点B,D的距离为1，
对应的数为或，
的距离为或或或，
故答案为：或或或．
【变式训练8-3】（24-25七年级上·湖北鄂州·期末）一条数轴，从数轴上面剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．
【答案】或1或
【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可．
【详解】解：∵三条线段的长度之比为，
∴设三条线段的长分别是，，，
∵到4的距离是6，
，
，
三条线段的长分别为，，3，
①当时，折痕点表示的数是；
②当时，折痕点表示的数是；
③当时，折痕点表示的数是；
综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或1或．
故答案为：或1或．
【变式训练8-4】（24-25七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应，点与点的距离为，则点在数轴上对应的有理数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查数轴上两点间距离，熟练掌握数轴上两点间距离计算方法是解题的关键；
根据点在点的左边时和点在点的右边时，分情况讨论即可求解；
【详解】解：点在数轴上对应，点与点的距离为，
当点在点的左边时，点在数轴上对应的点为，
当点在点的右边时，点在数轴上对应的点为．
故答案为：或
【变式训练8-5】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数．
【详解】解：依题意得：两数是关于和8的中点对称，即关于对称，
、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经以上方法折叠后重合，则、关于所表示的点对称，
．
故答案为：．
【变式训练8-6】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）一条数轴上有点、、，点在、之间，其中点、表示的数分别是，12，现在以点为折点，将数轴向右对折，当数轴的左右两侧重合，且（表示点和点的距离，表示点对折后的对应点）时，点表示的数是 ．
【答案】4或0
【分析】本题考查了数轴，先根据两点间的距离公式求出点对应点所表示的数，再利用中点公式求出点表示的数．
【详解】解：∵，
∴点和点的距离为4，
∴点表示的数为或，
由折叠的性质可知，，即点为线段的中点，
当表示的数为16时，点表示的数为：，
当表示的数为8时，点表示的数为：，
故答案为：4或0．
题型九：数轴上找规律类题型
例9（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键．
根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A，
数轴上点3对应的是B，
数轴上点5对应的是C，
数轴上点7对应的是D，
数轴上点9对应的是E，
数轴上点11对应的是F，
……
则，
所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E．
故选：C．
【变式训练9-1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，等边三角形的边在数轴上，现将等边三角形沿着数轴向右翻滚（无滑动），第1次翻滚后点到点位置．若点表示的数为，等边三角形的边长为2，则翻滚2024次后点在数轴上对应的数为（ ）
A．2024 B．4047 C．4049 D．6071
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上动点的规律探究，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键．
由图可知，每3次翻转为一个循环，每次循环点表示的数增大6，2024除以3余数为2，根据余数可知点A在数轴上，然后进行计算即可得解．
【详解】解：由题意可得，
每3次翻转为一个循环组依次循环，
，
∴翻转次后点A在数轴上，
∴点A对应的数是．
故选C．
【变式训练9-2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（ ）所对应的点重合．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上的规律探索；
根据圆的滚动可得四个字母一循环，被整除后余3，从点与数字0对应开始计算，然后即可求解；
【详解】解：圆的周长为4个单位长度，
个数字为一个循环，
∵点与数字0对应，，
对应的字母是．
故选：A．
【变式训练9-3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，，解答即可．
【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，．
∵表示的点与表示2的点的距离为，
又∵，
∴圆上落在数轴上的点是P．
故选C．
【变式训练9-4】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第次后，点所对应的数为，则翻转次后，点所对应的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．作出草图，不难发现，每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据余数为可知点在数轴上，然后进行计算即可得解．
【详解】解：如图，每次翻转为一个循环组依次循环，
，
翻转次后点在数轴上，
点对应的数是．
故答案为：．
【变式训练9-5】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，圆的周长为4个单位长度，数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示-2025的点与圆上表示数字 的点重合．
【答案】0
【分析】本题考查了数轴上的数字在圆上的循环规律，发现循环规律是解题的关键．
寻找规律发现：每4个数为一组，分别与0、3、2、1重合，计算，看余数是几，则可判断是第几组的第几个数．
【详解】解：由题图可知，每4个数为一个循环组依次循环．分别与0、3、2、1重合，
因为，
所以数轴上表示的点与圆上表示数字0的点重合．
故答案为：0．
【变式训练9-6】（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位．
【答案】1013
【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键；
根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解．
【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是，
第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1，
第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是，
第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2，
…，
所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，
所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013；
故答案为：1013.
【变式训练9-7】（24-25七年级上·山东聊城·期末）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可．
【详解】解：∵，，
∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是，
故答案为：．
题型十：数轴上的动点问题（压轴题）
例10（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒．
(1)当时，求点Q到原点O的距离；
(2)当时，求点Q到原点O的距离；
(3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离．
【答案】(1)6
(2)2
(3)6或10或22
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键．
（1）计算出点Q运动的路程，即可解答；
（2）计算出点Q的运动路程，即可解答；
（3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答．
【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，
∴当时，，
∵在数轴上点A表示的数是8，
∴，
∴，
∴当时，点到原点的距离为6；
（2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动
∴当时，点运动的距离为，
∵在数轴上点A表示的数是8，
∴，
∴，
∴当时，点到原点的距离为2；
（3）解：当点到点A的距离为4时，
分两种情况讨论：
①点向左运动还没达到原点时，
∵在数轴上点A表示的数是8，
∴，
∵，
∴
运动时间为（秒），
∴；
∴；
②点向右运动时且还没经过点时，
∵，
∴，
运动时间为（秒），
∴；
∴；
③点向右运动时且经过点后，
∵，
∴，
运动时间为（秒），
∴；
∴；
综上，点P到点Q的距离为6或10或22．
【变式训练10-1】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示：
(1)试确定数，；
(2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数；
(3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数．
【答案】(1)，；(2)点表示的数为或(3)
【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及点的平移性质，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键．
（1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得；
（2）分以下两种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧，利用两点间距离公式列方程求解；
（3）根据平移的性质可知，P点表示的数为，计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵由数轴可知，，
∴；.
（2）解：①若C点在B点的右侧，则，
∴，
∴点C表示的数为：，
②若C点在A，B点之间，则，
∴，
∴点C表示的数为：．
综上，C点表示的数为或；
（3）解：
．
表示的数为．
【变式训练10-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题：
(1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______；
(2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？
【答案】(1)
(2)当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度；
当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度；
当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度．
【分析】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
（1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可；
（2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可．
【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，
∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是．
故答案为：．
（2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是，
∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度；
当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度；
当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度．
【变式训练10-3】（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：
(1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合；
(2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______；
(3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度；
【答案】(1)3(2)，4.5
(3)为2时，、两点之间的距离为15个单位长度
【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离．
（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答；
（2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解；
（3）根据题意，，点对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合；
故答案为：3；
（2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合，
∴对称中心是数对应的点，
∵数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧），
∴点到对称中心的距离为，且点在的左边，点到对称中心的距离为，且点在的右边，
∴点对应的数为，点对应的数为，
故答案为：，4.5；
（3）解：根据题意，，
点对应的数为，
，
解得：，
答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度．
【变式训练10-4】（18-19七年级上·重庆綦江·期末）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，．

(1)求点A，B对应的数；
(2)动点P，Q分别同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为的中点，N在线段上，且，设运动时间为．
①求点M，N对应的数（用含t的式子表示）；
②t为何值时，．
【答案】(1)点A表示的数是，点B表示的数是
(2)①表示的数是，N表示的数是②秒或秒
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握题中的数量关系是解答本题的关键．
（1）由， 得的长，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即得答案；
（2）①先求出，的长，再求，的长，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即得答案；
②分点M在点O的左侧和右侧两种情况，分别求出，的长，再根据列方程并求解，即得答案．
【详解】（1）因为， ，
所以，
所以点A表示的数是，点B表示的数是；
（2）①由已知得，，
因为M为的中点， ，
所以，，
则点M对应的数为，点M，N对应的数；
②由题意知，，
当点M在点O的左侧时，，
若，则，
解得，
当点M在点O的右侧时，，
若，则，
解得；
综上所述，当秒或秒时，．
1．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）在，，，，，，，这几个数中，正数有（ ）．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题考查了正数．根据正数大于0，负数小于0判断即可．
【详解】解：在，，，，，，七个数中，正数有，，，共4个．
故选：B．
2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法正确的是（ ）
A．3.14不是分数
B．不带“”号的数都是正数
C．0是自然数也是正数
D．有理数分为正有理数、0和负有理数
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的分类以及正数和负数，解题的关键是掌握有理数的分类以及0的意义．根据有理数的分类以及正数和负数逐一分析解答即可．
【详解】解：A、3.14是分数，故本选项不符合题意；
B、0不带“”号，但不是正数，故本选项不符合题意；
C、0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故本选项不符合题意；
D、有理数分为正有理数、0和负有理数，说法正确，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（2025·河南安阳·三模）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，根据可知在和之间，且离比较近．
【详解】解：，
在和之间，且离比较近，
有理数在数轴上对应的点的位置应是A选项中的位置．
故选：A．
4．（2025·福建泉州·模拟预测）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ）
A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧
C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答．
【详解】解：∵，且从数轴得，
∴，，
∴原点一定在中点左侧，
故选：C．
5．（2025·吉林辽源·三模）实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则a，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据各点再数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小，进而可得结论．
【详解】解：由图可知，，，
∴，
故选：A．
6．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（ ）
A．或 B．或10 C．2或10 D．2或
【答案】B
【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数，结合点C到点A和点B距离相等，列式计算，即可作答．即可．
【详解】解：∵点B到原点的距离为6，
∴点B表示的数是：和6，
∵数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，
∴或
∴点A表示的数是2或，
∵点C到点A和点B距离相等，
∴或，
∴点C表示的数是或10
故选：B．
7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，熟练掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键．
比较有理数的大小的法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数．观察数轴得出，即可逐一判断．
【详解】解：由数轴可知，，
故选：C．
8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点在数轴上，点 表示的数是 ，点表示的数写成小数是 ，点表示的数写成分数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用有理数表示数轴上的点，原点左边为负数，右边为正数，且每一小格表示，根据数轴写出答案即可．
【详解】根据题意得
点表示的数是，
点表示的数写成小数是，
点表示的数写成分数是，
故答案为：，，．
9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的表示方法是解题的关键．根据数轴上个单位长度表示，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：数轴上个单位长度表示，
故个单位长度表示，
则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为，
故答案为：．
10．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知，如图所示，是数轴上的两个点，点A所表示的数为，点B表示的数为7，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点A向右运动，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了数轴动点问题，求出AB的距离是解题的关键．
根据数轴上两点间的距离的定义及数轴的定义得出距离，然后算出点P运动的时间，再根据点Q运动的速度求出运动的时间，根据数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离从而可得答案；
【详解】解：∵点A所表示的数为，点B表示的数为7，
∴，
∵点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，
∴点P运动到点A需要（秒），
∵点Q以每秒2个单位长度的速度从点A向右运动，
∴点Q运动的距离为：，
∴点Q表示的数为：，
故答案为：1．
11．（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ．
【答案】点B
【分析】本题考查了数轴，数字字母规律问题，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．
根据题意可知每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据是否整除可知点在数轴上．然后进行计算即可得解．
【详解】解：每次翻转为一个循环组依次循环，
，
翻转次后点在数轴上，
点对应的数是，
数轴上数所对应的点是点
故答案为：点．
12．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，，，，，，
【答案】数轴表示见解析，
【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、有理数的大小比较，首先把各数在数轴上表示出来，再根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，按从小到大的顺序用“”连接起来．
【详解】解：，，
把各数表示在数轴上，如下图所示，
按从小到大的顺序用“”连接起来可得：．
13．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中．
，7， ，，，，，0 ，
(1)整数集合：；
(2)分数集合：；
(3)正数集合：；
(4)非负数集合：．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．
【分析】本题考查了有理数的分类，正确把握相关定义是解题关键．
（1）根据整数的定义即可得出答案；
（2）根据分数的定义即可得出答案；
（3）根据正数的定义即可得出答案；
（4）根据非负数的定义即可得出答案；
【详解】（1）解：整数集合：，
故答案为：；
（2）解：分数集合：，
故答案为：；
（3）解：正数集合：，
故答案为：；
（4）解：非负数集合：，
故答案为：．
14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点．
(1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点；
(2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？
【答案】(1)3(2)，，，
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，
对于（1），根据“伴侣点”的定义即可求解；
对于（2），分三种情况讨论可求M、N的阶伴侣点所表示的数.
【详解】（1）解：，
∴.
则点C是点A，B的3阶伴侣点.
故答案为：3.
（2）解：，
M、N的阶伴侣点在的左边时，所表示的数为；
M、N的阶伴侣点在和4中间时，所表示的数为或；M、N的阶伴侣点在4的右边时，所表示的数为.
综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为，，，.
15．（24-25七年级上·北京·期中）如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点．
【理解定义】
（1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ；
【解决问题】
如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置．
（2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度；
（3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值．
【答案】（1）4；（2）；（3）， ，，
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，
对于（1），先设，则，根据题意得出方程，求出解即可；
对于（2），先求出点D表示的数，可得，再根据新定义得，，最后根据得出答案；
对于（3），设当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
再分两种情况：当点D是线段的“分”点时，当点P是线段的“分”点时，列出方程，求出解即可.
【详解】解：（1）设，则，根据题意，得
，
解得，
∴；
故答案为：4；
（2）∵点D表示的数是，
∴.
∵不重合的两点M，N均为线段的“分”点，假设点M在点N的左边，
∴，，
∴；
（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
当点D是线段的“分”点时，
或，
解得或；
当点P是线段的“分”点时，
或，
解得或.
所以，t的值为或或得或.

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