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专题1.1 三角形的边长关系
【浙教版】
题型一：三角形中基本概念 1
题型二：三角形的分类 4
题型三：判断能否组成三角形 5
题型四：利用三角形三边关系求参数的取值范围 6
题型五：利用三角形三边关系化简求值 7
题型六：三角形三边关系中等腰三角形 8
题型七：利用三角形的三边关系进行证明 9
题型八：三角形三边关系的应用 10
知识点一 ：三角形的相关概念
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成元素：
边：组成三角形的三条线段（AB, BC, CA）；
顶点：相邻两条边的公共端点（A, B, C）；
内角（角）：相邻两边所组成的角（∠A, ∠B, ∠C），位于三角形内部；
外角：三角形的一边与另一条边的反向延长线所组成的角；
三角形的表示：三角形用符号“△”表示，如三角形ABC记作“△ABC”。顶点字母通常按顺时针或逆时针顺序书写；
题型一：三角形中基本概念
例1（24-25七年级下·全国·随堂练习）下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________；
（2）以为边的三角形有_________；
（3）分别是，，△ABC中_________，_________，_________边的对角；
（4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角．
【变式训练1-3】（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在△ABC中，D，E分别是边，上的点，连接，．
(1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形．
(2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形．
【变式训练1-4】（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在△ABC中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F．
(1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形．
(2)请写出△BDF的三个顶点、三条边及三个内角．
(3)以线段AB为边的三角形有哪些？
(4)以为内角的三角形有哪些？
知识点二 ：三角形的分类
①按角的大小分类
锐角三角形： 三个内角 都是锐角（小于90°）。
直角三角形： 有一个角是直角（等于90°）。直角所对的边叫斜边，另外两边叫直角边。直角三角形记作Rt△ABC，通常把直角顶点标为C。
钝角三角形： 有一个角是钝角（大于90°，小于180°）
②按边的关系分类
不等边三角形 (任意三角形)： 三条边长度都不相等。
等腰三角形： 有两条边相等。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。两腰之间的夹角叫做顶角，腰和底边之间的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）。
等边三角形 (正三角形)： 三条边都相等。等边三角形是特殊的等腰三角形。其三个内角都等于 60°（“等边对等角”推论）。
题型二：三角形的分类
例2（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练2-1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】（2025九年级下·河北·专题练习）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
【变式训练2-3】（2024八年级上·全国·专题练习）试用学过的知识判断，下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个等边三角形一定是等腰三角形
D．一个等腰三角形一定不是钝角三角形
【变式训练2-4】（24-25八年级上·贵州·阶段练习）下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练2-5】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，△ABC被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（ ）
A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角
C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角
【变式训练2-6】（24-25八年级上·全国·期中）以下说法：①三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④等边三角形是等腰三角形．其中正确的说法是（ ）．
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①③④
知识点三 ：三角形的三边关系
三角形任意两边的和大于第三边，三角形任意两边的差小于第三边。
注意： 判断三条已知长度的线段能否构成三角形（较短两边的和 > 最长边），以及已知两边求第三边长度的取值范围（|a-b| < c < a+b）。
题型三：判断能否组成三角形
例1（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）以下列各组数为边，能组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）一个三角形的两边长分别是，，则第三边的长可能是下面的（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式训练3-3】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个．
【变式训练3-4】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为 ．
【变式训练3-5】（2024八年级上·全国·专题练习）已知△ABC的三边长．若△ABC为等腰三角形，且周长为，已知一条边长为4，求其余两边长．
题型四：利用三角形三边关系求参数的取值范围
例4（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（ ）
A．2 B．5 C．7 D．8
【变式训练4-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）三角形的三边分别为、、，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知分别为三角形的三边，且满足，，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】（湖南省怀化市九县十校2024-2025学年七年级下学期“新课标新中考“联合调研考试数学试题）设△ABC的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ．
【变式训练4-5】（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，在中，．
(1)若的长是偶数，求的长；
(2)若，求的度数．
【变式训练4-6】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知三角形的三条边长为和．
(1)若6是最短边长．求的取值范围；
(2)若为整数，求三角形周长的最大值．
【变式训练4-7】（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在△ABC中，．
(1)求长度的取值范围；
(2)若△ABC的周长为偶数，求△ABC的周长，并判断此时△ABC的形状．
题型五：利用三角形三边关系化简求值
例5（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知△ABC的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（ ）
A．2a B． C． D．-2b
【变式训练5-1】（2025七年级下·全国·专题练习）若，，是△ABC的三边，试化简： ．
【变式训练5-2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）为三角形三边长，化简的结果是 ．
【变式训练5-3】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：△ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若a，b，c满足，试判断△ABC的形状．
【变式训练5-4】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为．
(1)化简：；
(2)若，第三边的长为奇数，判断△ABC的形状．
【变式训练5-5】（24-25八年级上·全国·期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)化简式子 ；
(2)若，，．
①x的取值范围是 ；
②当△ABC为等腰三角形时，求a，b，c的值．
【变式训练5-6】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，，是△ABC的三边长．
(1)若，，满足，试判断△ABC的形状；
(2)化简：
题型六：三角形三边关系中等腰三角形
例6（24-25八年级上·全国·期中）在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A． B．4 C．或4 D．或4
【变式训练6-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形有两条边长为和，则该三角形的周长是 ．
【变式训练6-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为 ．
【变式训练6-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 ．
【变式训练6-4】（23-24八年级上·全国·单元测试）△ABC中，，中线将△ABC周长分成和两部分．求△ABC三边．
【变式训练6-5】（24-25八年级上·河南信阳·期中）用一条长的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为，第二条边长比第一条边长的倍少．
(1)用含的式子表示第三条边长；
(2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长．
题型七：利用三角形的三边关系进行证明
例7（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在△ABC中，为的中点．
(1)求证：；
(2)若，求的取值范围．
【变式训练7-1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点在上，点在上．求证：．
【变式训练7-2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，且与相交于F．
(1)求证：．
(2)求证：．
【变式训练7-3】（22-23八年级上·山西忻州·阶段练习）如图，点D是△ABC的边上任意一点，求证：．

题型八：三角形三边关系的应用
例8（2024八年级·全国·期末）一个三角形的三边长都是整数，它的周长为，则这个三角形的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．以上三种情况都有可能
【变式训练8-1】（24-25八年级上·全国·期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”．
(1)【概念运用】在△ABC中，，，若△ABC为“好运三角形”，求的长；
(2)【变式运用】已知△ABC的周长为，，若的长为偶数，试判断△ABC是否为“好运三角形”．
【变式训练8-2】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）【问题探究】
数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系．
小明进行了以下探究；
已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边．
小红在小明的基础上进行了补充：
若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形．
【问题解决】
(1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围；
(2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；
(3)在△ABC中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围．
【变式训练8-3】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知是方程组的解，且．试判断用a，b，m为长度能否构成一个三角形？若能，判断三角形的形状；若不能，说明理由．
【变式训练8-4】（24-25八年级上·江西上饶·期中）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡．已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米．
(1)第一条边长能否为10米？为什么？
(2)求的取值范围．
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列语句中，不属于定义的是（ ）
A．有一个角是直角的三角形是直角三角形
B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形
C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形
D．等边三角形的三条边是相等的
2．（2025七年级下·全国·专题练习）两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（　　）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·全国·期中）如果等腰三角形的两边长是和，那么它的周长为（　　）
A． B．或 C． D．
4．（2024·河南郑州·二模）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·河北张家口·期中）三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
6．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知△ABC的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ．
7．（2025·河南平顶山·三模）用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ．
8．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰的长为6，则△ABC的周长为 ．
9．（24-25八年级上·全国·期中）已知，，为△ABC的三边，化简： ．
10．（24-25八年级上·全国·期中）用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ．
11．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为 ．
12．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为，，，且，，都是整数．
(1)若，，且为奇数，求△ABC的周长．
(2)化简：．
13．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）在等腰△ABC中，，一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长．
14．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）已知a，b，c为三角形的三边长，并满，，求三角形的周长，并判断它的形状．
15．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在△ABC中，，点为的中点，直线垂直平分，点为线段上一动点，若，等腰△ABC面积为21，求△BDE周长的最小值．
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专题1.1 三角形的边长关系
【浙教版】
题型一：三角形中基本概念 2
题型二：三角形的分类 5
题型三：判断能否组成三角形 8
题型四：利用三角形三边关系求参数的取值范围 11
题型五：利用三角形三边关系化简求值 15
题型六：三角形三边关系中等腰三角形 20
题型七：利用三角形的三边关系进行证明 24
题型八：三角形三边关系的应用 28
知识点一 ：三角形的相关概念
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成元素：
边：组成三角形的三条线段（AB, BC, CA）；
顶点：相邻两条边的公共端点（A, B, C）；
内角（角）：相邻两边所组成的角（∠A, ∠B, ∠C），位于三角形内部；
外角：三角形的一边与另一条边的反向延长线所组成的角；
三角形的表示：三角形用符号“△”表示，如三角形ABC记作“△ABC”。顶点字母通常按顺时针或逆时针顺序书写；
题型一：三角形中基本概念
例1（24-25七年级下·全国·随堂练习）下面是用火柴棒围成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接得到的封闭图形是三角形解题即可．
【详解】解：首尾顺次相接得到三角形的是B选项，
故选：B．
【变式训练1-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以为边的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形，根据三角形的概念即可求解．
【详解】解：以为边的三角形有，
所以有3个，
故选：C．
【变式训练1-2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________；
（2）以为边的三角形有_________；
（3）分别是，，△ABC中_________，_________，_________边的对角；
（4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角．
【答案】（1）6，，，△ABC，△ADE，，
（2），△ADE，
（3），，
（4），，△ABC；△ADE，
【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可．
【详解】解：（1）图中的三角形为：，，△ABC，△ADE，，，共6个；
（2）以为边的三角形有，△ADE，；
（3）分别是，，△ABC中，，边的对角；
（4）是，，△ABC的内角，是△ADE，的内角．
故答案为：6；，，△ABC，△ADE，，；，△ADE，；，，；，，△ABC；△ADE，．
【变式训练1-3】（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在△ABC中，D，E分别是边，上的点，连接，．
(1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形．
(2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形．
【答案】(1)2个；△ABC
(2)2个；△ADE，
【分析】本题考查认识三角形，解题的关键是根据三角形的定义及角和边的概念进行解答．
（1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段为边计数即可；
（2）由题意依据三角形顶点为E结合图形进行观察即可
【详解】（1）解：以线段为边的三角形有2个，分别为，△ABC．
（2）解：以点E为顶点的三角形有2个，分别为△ADE，．
【变式训练1-4】（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在△ABC中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F．
(1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形．
(2)请写出△BDF的三个顶点、三条边及三个内角．
(3)以线段AB为边的三角形有哪些？
(4)以为内角的三角形有哪些？
【答案】(1)8；
(2)的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是
(3)以线段为边的三角形有
(4)以为内角的三角形有
【分析】本题考查了三角形的基本特征，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答．
（1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行判断即可；
（2）由题意依据三角形顶点、边以及角的表示方法进行表示即可；
（3）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为边的三角形即可；
（4）由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以为内角的三角形即可．
【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是：
．
（2）解：的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是．
（3）解：以线段为边的三角形有．
（4）解：以为内角的三角形有．
知识点二 ：三角形的分类
①按角的大小分类
锐角三角形： 三个内角 都是锐角（小于90°）。
直角三角形： 有一个角是直角（等于90°）。直角所对的边叫斜边，另外两边叫直角边。直角三角形记作Rt△ABC，通常把直角顶点标为C。
钝角三角形： 有一个角是钝角（大于90°，小于180°）
②按边的关系分类
不等边三角形 (任意三角形)： 三条边长度都不相等。
等腰三角形： 有两条边相等。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。两腰之间的夹角叫做顶角，腰和底边之间的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）。
等边三角形 (正三角形)： 三条边都相等。等边三角形是特殊的等腰三角形。其三个内角都等于 60°（“等边对等角”推论）。
题型二：三角形的分类
例2（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案．
【详解】解：根据三角形按边分类情况：
等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意；
等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意；
分类混乱，故选项C错误，不符合题意；
分类正确，故选项D正确，符合题意．
故选项为：D．
【变式训练2-1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
【变式训练2-2】（2025九年级下·河北·专题练习）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的分类和三角形的内角和，现根据三角形的内角和求出另一个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可．
【详解】解：三角形的另一个角的度数为，
∴这个三角形是等腰三角形，
故选：D．
【变式训练2-3】（2024八年级上·全国·专题练习）试用学过的知识判断，下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个等边三角形一定是等腰三角形
D．一个等腰三角形一定不是钝角三角形
【答案】C
【分析】本题考查三角形的分类，根据直角三角形、等腰三角形、等边三角形、钝角三角形的定义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：、直角三角形不一定是等腰三角形，等腰直角三角形一定是等腰三角形，故不符合题意；
、一个等腰三角形不一定是锐角三角形，也可能是钝角三角形，故不符合题意；
、一个等边三角形一定是等腰三角形，故符合题意；
、一个等腰三角形一定不是钝角三角形，也可能是锐角三角形，故不符合题意；
故选C．
【变式训练2-4】（24-25八年级上·贵州·阶段练习）下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． 其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的基本性质，熟练掌握三角形的相关概念是解题的关键；因此此题可根据三角形的相关概念进行求解即可．
【详解】解：①等边三角形是等腰三角形，说法正确；
②三角形按边分类可分等腰三角形和不等边三角形，原说法错误；
③三角形的两边之差小于第三边，原说法错误；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，说法正确；
故选：B．
【变式训练2-5】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，△ABC被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（ ）
A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角
C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的分类，理解并掌握三角形的分类是解题的关键．
三角形根据角度分为：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，是钝角，
∴与可能是两个锐角，
故选：D ．
【变式训练2-6】（24-25八年级上·全国·期中）以下说法：①三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④等边三角形是等腰三角形．其中正确的说法是（ ）．
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查三角形的分类，等腰三角形的性质等知识．根据三角形按边和角的分类判断①②即可，根据等边三角形、等腰三角形及直角三角形的定义即可确定三者的关系，从而即可判断③④的正误．
【详解】解：三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故①说法正确；
三角形按边分为等腰三角形和不等边三角形，故②说法错误；
等腰三角形要么有两边相等要么三边都相等，等腰三角形至少有两边相等，故③说法正确；
等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形是等腰三角形，故④说法正确．
故选：D．
知识点三 ：三角形的三边关系
三角形任意两边的和大于第三边，三角形任意两边的差小于第三边。
注意： 判断三条已知长度的线段能否构成三角形（较短两边的和 > 最长边），以及已知两边求第三边长度的取值范围（|a-b| < c < a+b）。
题型三：判断能否组成三角形
例1（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）以下列各组数为边，能组成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边．判断各选项中较短的两边之和是否大于第三边，若是则可组成三角形．据此即可解答．
【详解】A．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
D．由于，则本选项中的三条线段能组成三角形，符合题意．
故选：D．
【变式训练3-1】（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）一个三角形的两边长分别是，，则第三边的长可能是下面的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边即可得到答案．
【详解】解：设这个三角形第三边的长为，
这个三角形的两边长分别是，，
则由三角形的三边关系可得，，即，
它的第三边的长可能是．
故选：C．
【变式训练3-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键．
根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解．
【详解】解：段之和为，
若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小，
每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形，
这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，，
，
，
小段的长度分别为，，，，，，，，，，
的最大值为．
故选：B．
【变式训练3-3】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个．
【答案】7
【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系．
从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数．
【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有：
；
；
；
；
；
；
．
共有 7 种情况．
故答案为： 7 ．
【变式训练3-4】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角新三边数量关系，掌握等腰三角形的定义，分类讨论是关键．
根据等腰三角形的定义分类讨论即可．
【详解】解：等腰三角形的两边长分别为4和10，
当腰长是，底边长为时，
∵，
∴不能构成等腰三角形；
当腰长是，底边长是时，
∵，
∴符合等腰三角形的定义，
∴这个等腰三角形的周长为，
故答案为：24 ．
【变式训练3-5】（2024八年级上·全国·专题练习）已知△ABC的三边长．若△ABC为等腰三角形，且周长为，已知一条边长为4，求其余两边长．
【答案】其余两边长都为6
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，设的三边长分别为、、，其中，分为腰长或为底边两种情况进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：为等腰三角形，且周长为，
设△ABC的三边长分别为、、，其中，
分两种情况：
当为腰长时，
底边，
，
不能构成三角形，故为腰长舍去；
当为底边时，
腰长，
为底边，为腰长符合三角形的三边关系，
．
则其余两边长都为6．
题型四：利用三角形三边关系求参数的取值范围
例4（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（ ）
A．2 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此求出第三边长的取值范围，即可得到答案．
【详解】∵三角形三边的长度分别为，，，
∴，
∴，
∴第三边长不可能是2．
故选：A．
【变式训练4-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）三角形的三边分别为、、，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式解答即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由三角形三边关系可得，，
解得，
故选：．
【变式训练4-2】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知分别为三角形的三边，且满足，，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由三角形的三边关系得到，继而得到，解得，即可得到答案．
【详解】解：分别为三角形的三边，
，
，，
，
解得：，
故选：B．
【变式训练4-3】（湖南省怀化市九县十校2024-2025学年七年级下学期“新课标新中考“联合调研考试数学试题）设△ABC的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：，
，，
，，
，
，
故选：B．
【变式训练4-4】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ．
【答案】11或13
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．
利用三角形的三边关系列出不等式求解，分情况进行求三角形的周长即可．
【详解】解：根据三角形三边关系可得，
即，
∵边长为偶数，
∴或，
∴当时，三角形的周长为，
当时，三角形的周长为，
故答案为：11或13．
【变式训练4-5】（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，在中，．
(1)若的长是偶数，求的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)的长为4或6
(2)
【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的内角和定理：
（1）根据三角形的三边关系进行求解即可；
（2）平行，得到，根据平角和三角形的内角和定理，得到，进行求解即可．
【详解】（1）在中，，
所以，即：．
因为的长是偶数，
所以的长为4或6．
（2）因为，
所以．
因为，，
所以，
所以．
【变式训练4-6】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知三角形的三条边长为和．
(1)若6是最短边长．求的取值范围；
(2)若为整数，求三角形周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用：
（1）三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得，再由是最短边长，可得；
（2）根据（1）所求可得，则的最大值为14，据此根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，即，
是最短边长，
，
的取值范围是；
（2）解：由（1）可知，，
为整数，
的最大值为14，
三角形周长的最大值为．
【变式训练4-7】（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在△ABC中，．
(1)求长度的取值范围；
(2)若△ABC的周长为偶数，求△ABC的周长，并判断此时△ABC的形状．
【答案】(1)
(2)△ABC的周长为16，是等腰三角形
【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类：
（1）根据三角形的三边关系进行求解即可；
（2）根据（1）中的范围，结合△ABC的周长为偶数，得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，
∴，
∴；
（2）∵△ABC的周长为偶数，为奇数，
∴的长为奇数，
∵，
∴，
∴△ABC的周长为，是等腰三角形．
题型五：利用三角形三边关系化简求值
例5（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知△ABC的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（ ）
A．2a B． C． D．-2b
【答案】B
【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系得出，，进而化简绝对值，即可求解．
【详解】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴，，
∴，，
∴
，
故选：B.
【变式训练5-1】（2025七年级下·全国·专题练习）若，，是△ABC的三边，试化简： ．
【答案】
【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三角形三边关系得到，，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边．
【详解】解：∵，，是△ABC的三边，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
【变式训练5-2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）为三角形三边长，化简的结果是 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可．
【详解】解：解：因为a，b，c是三角形的三边长，
所以，
，
，
．
故答案为：0．
【变式训练5-3】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：△ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若a，b，c满足，试判断△ABC的形状．
【答案】(1)
(2)等边三角形
【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用；
（1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可；
（2）由非负数的性质证明，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵△ABC三边长，
∴
∴
．
；
（2）解：∵且，，
∴且
∴且，即
∴△ABC等边三角形．
【变式训练5-4】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为．
(1)化简：；
(2)若，第三边的长为奇数，判断△ABC的形状．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形
【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键；
（1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵△ABC的三边长分别为，
∴，
∴
；
（2）解：∵，
∴根据三角形三边关系可得，
∵第三边的长为奇数，
∴，
∴，
∴△ABC是等腰三角形．
【变式训练5-5】（24-25八年级上·全国·期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)化简式子 ；
(2)若，，．
①x的取值范围是 ；
②当△ABC为等腰三角形时，求a，b，c的值．
【答案】(1)
(2)①；②，，的值为13，13，7
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系．
（1）由三角形三边关系定理得：，，即可化简；
（2）①由三角形三边关系定理列出不等式组，再求解即可；
②分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可．
【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：，，
，
故答案为：；
（2）解：①，，，
，
，
故答案为：；
②分以下三种情况：
如果△ABC的腰是，，则，
，
，，
，，符合三角形三边关系；
如果△ABC的腰是，，则，
，
，，
，，不能组成三角形；
如果△ABC的腰是，，则，此时无解；
综上，，，的值为13，13，7．
【变式训练5-6】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，，是△ABC的三边长．
(1)若，，满足，试判断△ABC的形状；
(2)化简：
【答案】(1)是等边三角形(2)
【分析】（1）根据题意可得且，进而可以判断三角形的形状；
（2）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可．
【详解】（1）解：，
且，
△ABC是等边三角形；
（2）解：，，是△ABC的三边长，，
．
题型六：三角形三边关系中等腰三角形
例6（24-25八年级上·全国·期中）在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A． B．4 C．或4 D．或4
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长，底边长，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出、的值，再根据三角形的三边关系检验即可．
【详解】解：设腰长，底边长，
是中线，
，
中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，
或，
或，
解得：或，
当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形；
当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形；
该等腰三角形的底边长为，
故选：A．
【变式训练6-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形有两条边长为和，则该三角形的周长是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，掌握相关知识是解题的关键．分两种情况：当为腰长时，当为腰长时，先根据三角形三边关系判定是否能组成三角形，再根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：当为腰长时，，
，，不能组成三角形；
当为腰长，，
，，能组成三角形，
三角形的周长为：，
故答案为：．
【变式训练6-2】（23-24七年级下·全国·单元测试）等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形的构成条件，根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线，根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长，进而分和两种情况讨论求解即可．
【详解】解：根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线，
根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长，
∵是腰上的中线，
∴，
当时，，
若，则
解得，此时的周长为；
若，则解得，此时的周长为；
当时，
若，则
解得，
∴，
此时的周长为；
若，则解得，
∴，
∵，，不符合三角形的条件，
∴此情形应舍去，
故答案为：或或．
【变式训练6-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．分已知边是腰长或底边两种情况讨论求解．
【详解】解：①当是腰长时，
底边为，
∵，
∴、、能组成三角形；
②当是底边时，
腰长为，
∵，
∴、、能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为或，
故答案为：或．
【变式训练6-4】（23-24八年级上·全国·单元测试）△ABC中，，中线将△ABC周长分成和两部分．求△ABC三边．
【答案】三角形的三边长为8，8，5或6，6，9．
【分析】本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解．设，，则，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．
【详解】解：设，，则，
上的中线将这个三角形的周长分成12和9两部分，
有两种情况：
1、当，且，
解得，，
三边长分别为8，8，5；
2、当且时，
解得，，此时腰为6，
三边长分别为6，6，9，
综上，三角形的三边长为8，8，5或6，6，9．
【变式训练6-5】（24-25八年级上·河南信阳·期中）用一条长的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为，第二条边长比第一条边长的倍少．
(1)用含的式子表示第三条边长；
(2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长．
【答案】(1)
(2)，，
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系进行判断；
（1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；
（2）依据三角形恰好是一个等腰三角形，分三种情况讨论，得到关于x的方程，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形；
【详解】（1）解：第二条边长为，
第三条边长为；
（2）解：当时，，故三角形的三条边长为，，，
由，得，，不能组成三角形；
当时，，故三角形的三条边长为，
由，得不能组成三角形；
当时，，故三角形的三条边长为，由，得可组成等腰三角形，
等腰三角形的三边长为．
题型七：利用三角形的三边关系进行证明
例7（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在△ABC中，为的中点．
(1)求证：；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系．
（1）延长到，使，连接，再由为中点得到，夹角为对顶角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，在三角形中，利用三角形三边关系即可得证；
（2）根据与的长，利用由三角形的三边关系，求出的范围即可．
【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接．
为的中点，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，即．
【变式训练7-1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点在上，点在上．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论．
【详解】证明：延长交于点，如图．
在中，，
，
即．
在中，，
，
即，
．
【变式训练7-2】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，且与相交于F．
(1)求证：．
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，证明是解本题的关键．
（1）先证明，再由全等三角形的性质可得结论；
（2）在上截取，连接，作于G，于H，由全等三角形的性质可得，再由可得，由平分可得，再证明，可得，最后由三角形三边关系证明即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，作于G，于H．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即有，
∴．
【变式训练7-3】（22-23八年级上·山西忻州·阶段练习）如图，点D是△ABC的边上任意一点，求证：．

【答案】见解析
【分析】分别在两个三角形中利用两边之和大于第三边的得到不等式，然后相加可得结论．
【详解】证明：在中，，
在中，，
∴，
即．
题型八：三角形三边关系的应用
例8（2024八年级·全国·期末）一个三角形的三边长都是整数，它的周长为，则这个三角形的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．以上三种情况都有可能
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识点，设最长边为x，另外两边之和为，则；根据题意求出的取值范围是解题关键．
【详解】解：设最长边为x，另外两边之和为，则
由三角形的三边关系得：，
∴，即：
∵三角形的三边长都是整数，
∴，即，
∴
∴x可以取4或5，
当时，三边只能是4，4，4，为等边三角形；
当时，三边有两种情况：①3，4，5，为直角三角形，②5，5，2，为等腰三角形．
故选：D
【变式训练8-1】（24-25八年级上·全国·期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”．
(1)【概念运用】在△ABC中，，，若△ABC为“好运三角形”，求的长；
(2)【变式运用】已知△ABC的周长为，，若的长为偶数，试判断△ABC是否为“好运三角形”．
【答案】(1)
(2)是“好运三角形”
【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键．
（1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可；
（2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可．
【详解】（1）解：，
，即，
为“好运三角形”，
为偶数，
；
（2）设为偶数，则，
解得，
为偶数，
．
，
又，
是“好运三角形”．
【变式训练8-2】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）【问题探究】
数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系．
小明进行了以下探究；
已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边．
小红在小明的基础上进行了补充：
若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形．
【问题解决】
(1)三角形的三边长分别为，，，求的取值范围；
(2)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；
(3)在△ABC中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围．
【答案】(1)(2)4(3)
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键．
（1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可；
（2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答；
（3）设，然后根据题意列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，，，
∴，解得：．
（2）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为，
由题意可得：，解得：，
∵一个三角形的三边长都是整数，
∴该三角形最短边的最小值4．
（3）解：设，
由题意可得：，解得：．
【变式训练8-3】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知是方程组的解，且．试判断用a，b，m为长度能否构成一个三角形？若能，判断三角形的形状；若不能，说明理由．
【答案】a，b，m为长度能构成一个三角形，以a，b，m为长度构成一个三角形是等腰三角形
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出，结合可求出a，b，m的值，然后利用三角形三边关系和等腰三角形的定义判定即可．
【详解】解∶∵是方程组的解，
∴，
又，
∴联立方程组，解得，
∴，
∴，
∵，
∴a，b，m为长度能构成一个三角形，
以a，b，m为长度构成一个三角形是等腰三角形．
【变式训练8-4】（24-25八年级上·江西上饶·期中）小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡．已知第一条边长为米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米．
(1)第一条边长能否为10米？为什么？
(2)求的取值范围．
【答案】(1)不能．理由见解析
(2)的取值范围是
【分析】（1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长，当时，三边长分别为10，28，12，根据三角形三边关系即可作出判断；
（2）根据第一条边长最短以及三角形的三边关系列出不等式组，即可求出m的取值范围．
【详解】（1）不能．理由如下：
由题意得：第一条边长为m米，则第二条边长为米，第三条边长为米，
若第一条边长为10米，则第二条边长为28米，第三条边长为12米，
而，不符合三角形两边的和大于第三边，
不能构成三角形．
第一条边长不能为10米．
（2）由题意，知三角形的三边长分别为米，米，米，
则解得．
由三角形两边的和大于第三边，得，
解得．
故的取值范围是．
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列语句中，不属于定义的是（ ）
A．有一个角是直角的三角形是直角三角形
B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形
C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形
D．等边三角形的三条边是相等的
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的定义，熟知各个类型三角形的定义是解题的关键．
根据三角形的定义进行判断即可．
【详解】解：A．有一个内角是直角的三角形是直角三角形，是定义，故A不符合题意；
B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形，是定义，故B不符合题意；
C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，是定义，故C不符合题意；
D．等边三角形的三条边是相等的，是性质，故D符合题意．
故选：D．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系求出第三边的范围，判断即可．
【详解】解：设第三根木棒的长度为，
则，即，
第三根木棒的长度可以是四个数据中的，
故选：C．
3．（24-25八年级上·全国·期中）如果等腰三角形的两边长是和，那么它的周长为（　　）
A． B．或 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．
分两种情况讨论，当为腰长和为腰长时，根据三角形三边定理判断能否构成三角形后求出周长即可．
【详解】解：若以为腰，该三角形的三边长为、、，
，
∴不能构成三角形，不合题意，舍去；
若以为腰，该三角形的三边长为、、，
∴它的周长是；
综上所述，该三角形的周长为．
故选：C．
4．（2024·河南郑州·二模）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了实数与数轴，三角形三边的关系，解不等式组，先根据题意得到，由三角形三边关系定理得：，得到不等式组的解集是，即可得到答案．
【详解】解：由点在数轴上的位置得：，
∵线段能围成三角形，
∴由三角形三边关系定理得：，
不等式①恒成立，
由不等式②得：，
由不等式③得：，
∴不等式组的解集是，
故选：C．
5．（23-24七年级下·河北张家口·期中）三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
【答案】D
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分当第二长的边为8时，当第二长的边为7时，当第二长的边为6时，当第二长的边为5时，四种情况根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的长即可得到答案．
【详解】解：当第二长的边为8时，则最短的边可以为1或2或3或4或5或6或7或8，此时有8种情况满足题意；
当第二长的边为7时，则最短的边可以为 2或3或4或5或6或7，此时有6种情况满足题意；
当第二长的边为6时，则最短的边可以为或3或4或5或6，此时有4种情况满足题意；
当第二长的边为5时，则最短的边可以为4或5，此时有2种情况满足题意；
∴共有中情况满足题意，
故选；D．
6．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知△ABC的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴；
故答案为：．
7．（2025·河南平顶山·三模）用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是 ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系，确定的取值范围，进行求解即可．
【详解】解：由三角形三边关系得，
所以x的取值范围是．
故答案为：4（答案不唯一）．
8．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，腰的长为6，则△ABC的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系；利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．本题分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：
①当腰是底的2倍时，底边为，
∵，
∴可以构成三角形；
②当底是腰的2倍时，底边为，
∵，
∴不能构成三角形．
∴△ABC的周长=
故答案为：．
9．（24-25八年级上·全国·期中）已知，，为△ABC的三边，化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，合并同类项，根据三角形三边的关系，即可得到，， 然后将原式去掉绝对值，再合并同类项即可，解题的关键是正确理解任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
【详解】解：∵△ABC的三边长分别是，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则，，
∴
，
故答案为：．
10．（24-25八年级上·全国·期中）用一根长的细铁丝围成一个三角形，其中三边的长（单位：）分别为整数、、，且，则最大可取 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．根据三角形的周长和三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：∵细铁丝的长度为，即三角形的周长为，
∵，
∴a是这个三角形最长的边，
由三角形三边的关系，得，而，
∴，
解得，，
∵a、b、c为整数，
∴a最大可取6．
故答案为：6．
11．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系．延长到E，使，连接，得出，进而在中利用三角形三边关系求解．
【详解】延长到E，使，连接，如图所示：
∵为中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
即，
故答案是：．
12．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为，，，且，，都是整数．
(1)若，，且为奇数，求△ABC的周长．
(2)化简：．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）根据三角形存在的条件，解答即可．
（2）根据三角形三边关系，化简解答即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵第三边长c为奇数，，
∴．
△ABC的周长为．
（2）解：∵，，是三角形的三边长，
故，
∴，，
∴
．
13．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）在等腰△ABC中，，一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长．
【答案】这个等腰三角形的腰长为
【分析】设，，根据题意可的，然后分当、和、两种情况讨论，分别列方程组并求解，结合三角形三边关系即可获得答案．
【详解】解：设，，
∵为一腰上的中线，
∴，
∵中线将这个三角形的周长分成和两部分，
∴有两种情况：
①当，时，则有
，解得，
∴三边长分别为，，，且，
∴等腰三角形的腰长为；
②当，时，则有
，解得，
此时两腰之和，
故这种情况不存在．
综上所述，这个等腰三角形的腰长为．
14．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）已知a，b，c为三角形的三边长，并满，，求三角形的周长，并判断它的形状．
【答案】△ABC的周长为，△ABC为等腰三角形
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．依据非负数的性质，即可得到和的值，再根据为方程的解， 即可得到或2，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状 ．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，，
解得，，
∵满足等式，
∴，
解得：或2，
∵、、为△ABC的三边长，且，
又∵，
∴不合题意舍去，
∴，
∴△ABC的周长为，
∵，
∴△ABC是等腰三角形．
15．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在△ABC中，，点为的中点，直线垂直平分，点为线段上一动点，若，等腰△ABC面积为21，求△BDE周长的最小值．

【答案】
【分析】本题考查动点最值问题-三角形三边关系模型，涉及垂直平分线性质、中点定义、等腰三角形性质、三角形周长及面积、三角形三边关系等知识，连接，如图所示，由中垂线性质、中点定义及等腰三角形性质求出，然后利用三角形三边关系确定△BDE的周长的最小值为的长，利用三角形面积列方程求出即可得到答案，掌握动点最值问题-三角形三边关系模型的解法是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：

∵直线垂直平分，
∴，
∵点为的中点，，
∴，
∵△BDE的周长，
∴△BDE的周长的最小值为的长；
∵，
∴，
∴△BDE的周长的最小值为：．

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